Определение производной. Общее правило нахождения производной.

Определение производной. Общее правило нахождения производной.

Производная – придел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0

Общее правило: находим , потом и затем обношение

Правила и формулы дифференцирования элементарных функций.

Дифференцирование – это взятие производной от функции.

Правила дифференцирования:

1)производная постоянной равна нулю

(c)ʹ = 0, c - const

2)производная Х равна 1

(x)ʹ = 1

3) постоянный множитель выносится за знак производной

(c*u)ʹ =c*uʹ, c - const

4) производная алгебраической суммы функции равна алгебраической сумме производных от каждого слагаемого

(u+γ -ω ) ʹ = uʹ +γ ʹ -ω ʹ

5) производная произведения равна производной первого множителя на второй, плюс производная второго множителя, умноженного на первый

(u*γ ) ʹ = uʹ γ + γ ʹ u

6) производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель и делить на знаменатель в квадрате

Формулы дифференцирования:

элементарные	сложные


	*uʹ


(sin x)' = cos x	(sin u)' = cos u * u'
(cos x)' = - sin x.	(cos u)' = - sin u * u'.

Дифференцирование логарифмической функции. Производная показательной функции.

Производная показательной функции.

Дифференцирование тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций.

см 2 билет ( косинусы, синусы, тангенсы, катангенсы, арккосинусы, арксинусы, арктангенсы)

Производная второго порядка и её механический смысл. Уравнение касательной.

Производную от функции часто называют производной первого порядка (первой производной). Очевидно, что производная также является функцией и если она дифференцируема, то от нее в свою очередь можно взять производную, которую называют производной второго порядка (второй производной) и обозначают yʹ ʹ,

Пусть тело движется прямолинейно по закону S=f(t). Как известно, скорость U движения тела в данный момент времени равно производной пути по времени, т.е. U=S

Если тело движется неравномерно, то скорость с течением времени изменяется и за промежуток времени получает приращение

В этом случае величина отношения показывающаяся изменение скорости за единицу времени, называется средним ускорением в промежутке времени от t до t+

Пусть , тогда t+ , а среднее ускорение стремится к величине, которая называется ускорение в данный момент времени t

Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.

Уравнение касательной:

y=f(x)

Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Вычисление дифференциала.

Дифференциал – главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, обозначается знаком d т.е.

Геометрический смысл: дифференциал функции геометрический изображается приращением ординаты касательной, проведенной в точке М(x; y) при данных значениях x и

дифференциал можно вычислить по формуле

Точка перегиба. Алгоритм нахождения точки перегиба. Исследование функции и построение графика.

Точка перегиба – точка на кривой, где меняется направление выпуклости

Алгоритм:

1. находим 2-ую производную

2. приравниваем ее к 0 и решаем уравнение y

3. отмечаем решение на прямой и узнаем знак второй производной на каждом интервале.

Если смена равна производной, то х = с – абсцисса точки перегиба

Чтобы найти ординату для точек надо подставить ее в функцию

Правило:

Если 2-ая производная на интервале положительна, то функция выпукла вверх

Если 2-ая производная на интервале отрицательна, то функция выпукла вниз

(начало 8 билет)

6х=0

х=0

х=0 – абсцисса точки перегиба

у(0)=-9*0+0 => (0; 0) – точка перегиба

Формулы интегрирования. Вычисление неопределенного интеграла. Пример.

Тут надо придумать. Можно что-то простое

Геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбица.

Геометрический смысл: определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x) прямыми х=а и х=b и отрезками ab на ОХ

Определенный интеграл высчитывается по формуле Ньютона-Лейбица:

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Их следствия. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором фигуры изучаются в пространстве.

Основные фигуры: точка, прямая, плоскость.

Аксиомы:

1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие и не принадлежащие ей.

2. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящую через эту точку.

3. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Следствия из них:

1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство: возьмем точку принадлежащую прямой. Через две точки проведем прямую, назовем b. Имея две пересекающиеся прямые по аксиоме мы может провести плоскость и притом только одну.

2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и сама прямая принадлежит этой плоскости.

Доказательство: пусть a – данная прямая и α - данная плоскость. Проведем через прямую a и точку A плоскость α `. Если плоскость α ` совпадает с α, то плоскость α содержит прямую a, что и утверждается теоремой. Если плоскость α ` отлична от α, то эти плоскости пересекаются по прямой a`, содержащей две точки прямой a.

3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве:

Прямые, лежащие на одной плоскости, имеющих одну общую точку, называют пересекающимися.

Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Прямые называются скрещивающимися, если они лежат в разных плоскостях.

Определение производной. Общее правило нахождения производной.

Общее правило: находим , потом и затем обношение

12 3	Поделиться: