Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Геометрический смысл.

Предел интегральной суммы функции y=f(x) на отрезке от ab называется определенным интегралом. Обозначается , где a и b – границы интегрирования, a≤ b

Геометрический смысл: определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x) прямыми х=а и х=b и отрезками ab на ОХ

Свойства:

1) постоянный множитель выносится за знак интеграла

2) интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме интегралов от каждого из слагаемых

3) интеграл от одинаковых границ интегрирования равен нулю

4) если поменять границы интегрирования местами, то знак интеграла изменяется на противоположный

5) отрезок интегрирования можно разбить на части

Геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбица.

Геометрический смысл: определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x) прямыми х=а и х=b и отрезками ab на ОХ

Определенный интеграл высчитывается по формуле Ньютона-Лейбица:

Понятие Криволинейной трапеции. Способы вычисления площадей криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла.

Пусть на отрезке по оси Х задана непрерывная функция, не меняющая знак, тогда фигура, образованная прямыми х=а и х=b, отрезком abи кривой y=f(x), называется криволинейной трапецией

Так как , то площадь вычисляется по формуле Ньютона-Лейбица

Векторные величины. Векторы. Действие над векторами.

Если на некотором отрезке задано начало отрезка и его конец, то такой отрезок называется направленным

Любой направленный отрезок – вектор

Нулевой вектор – вектор, начало и конец, которого совпадают

Длинна вектора – длина порождающего его отрезка длина = модулю

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых

Сонаправленными – если направления векторов совпадают

Противоположно направленными - если направление разное

Два коллинеарных вектора называют равными

Утверждения:

1) любой вектор равен самому себе

2)Если 2 вектора на отдельности равны третьему, то они равны между собой

Действия:

Суммой векторов называется такой вектор , начало которого совпадает с началом вектора , при условии, что начало вектора перенесено в конец вектора

Разностью векторов , называют сумму вектора , т.е.

Произведением вектора на вещественное число k называется вектор , который имеет длину равную и коллинеарен . При этом то и сонаправлены, если , то и противоположно направлены.

Векторный базис на плоскости.

Векторным базисом на плоскости называют любые два неколлинеарных вектора, приведенные к одному началу.

Декартова система координат – система, где базисные вектора взаимно перпендикулярны и их длины равны.

Теорема разложения вектора в базисе: пусть е₁ и е₂- векторный базис на плоскости, тогда любой вектор может быть представлен в виде линейной координации базисных векторов и единственным образом.

Доказательство теоремы: через конец вектора проведем прямую вектора . Вектор ОМ коллинеарен вектору ( )

получим, что разложен в виде линейной комбинации базисных векторов, так как был любой, то любой вектор можно так разложить.

Длина вектора в координатах. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Для нахождения координат вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующий координат начала. Если вектора имеют координаты (x; y), то

Скалярным произведением двух нулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов в координатной форме:

Угол между векторами

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Их следствия. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором фигуры изучаются в пространстве.

Основные фигуры: точка, прямая, плоскость.

Аксиомы:

1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие и не принадлежащие ей.

2. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящую через эту точку.

3. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Следствия из них:

1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство: возьмем точку принадлежащую прямой. Через две точки проведем прямую, назовем b. Имея две пересекающиеся прямые по аксиоме мы может провести плоскость и притом только одну.

2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и сама прямая принадлежит этой плоскости.

Доказательство: пусть a – данная прямая и α - данная плоскость. Проведем через прямую a и точку A плоскость α `. Если плоскость α ` совпадает с α, то плоскость α содержит прямую a, что и утверждается теоремой. Если плоскость α ` отлична от α, то эти плоскости пересекаются по прямой a`, содержащей две точки прямой a.

3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве:

Прямые, лежащие на одной плоскости, имеющих одну общую точку, называют пересекающимися.

Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Прямые называются скрещивающимися, если они лежат в разных плоскостях.

123	Поделиться: