Параллельные прямые в пространстве

Следствия

1. Через прямую a и не лежащую на ней точку Апроходит плоскость, и притом только одна.

2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Параллельные прямые в пространстве

1.Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2.Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

1. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

2. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

3. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Параллельность плоскостей, признак параллельности плоскостей

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

1. Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны

2. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны

3. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну

4. Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны

5. Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях

Скрещивающиеся прямые

Прямые в пространстве, не лежащие в одной плоскости

1. Если представить, что одна из прямых принадлежит произвольной плоскости, то другая прямая будет пересекать эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой.

Перпендикулярность прямых в пространстве

Две прямые, пересекающиеся под прямым углом, называютсяперпендикулярными.

1. Через точку А можно провести только одну перпендикулярную прямую АВк прямой СD; остальные прямые, проходящие через точку А и пересекающие СD, называются наклонными прямыми

2. Из точки A можно опустить перпендикуляр на прямую CD; длина перпендикуляра (длина отрезка АВ), проведенного из точки А на прямую CD, — это самое короткое расстояние от A до CD

3. Несколько перпендикуляров, проведенных через точки прямой к прямой, никогда между собой не пересекаются

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

1. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

2. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

3. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Перпендикулярность плоскостей

Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Двугранный угол

Фигура, образованная двумя полуплоскостями исходящими из одной прямой называется двугранным углом, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями

Параллелепипед его свойства

призма, основанием которой служит параллелограмм, или многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.

Свойства

1. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

2. Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам

3. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

4. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

12.прямоугольный параллелепипед, его свойства

это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники;

СВОЙСТВА

1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений

2. Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

ПРИЗМА (ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ВИДЫ ПРИЗМЫ, ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ, ОБЪЕМ)

ПРИЗМА –ЭТО многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками

ВИДЫ ПРИЗМЫ- прямая, наклонная

Площадь поверхности- Площадь поверхности призм равна сумме площадей ее боковых граней и площадей двух оснований — равных многоугольников. Теорема- Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения и длины бокового ребра.

Объем- это произведение площади её основания на высоту

Пирамида (определение, виды пирамид, площадь поверхности, объем)

Пирамида- многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину

Виды пирамиды - прямоугольная пирамида, усеченная пирамида, правильная пирамида

Площадь поверхности - равна сумме площадей боковой поверхности и основания пирамиды.

Объем- это треть произведения площади основания на высоту.

Цилиндр(определение, площадь поверности, объем)

Цилиндр- геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её

площадь поверхности- равна произведению длины окружности основания на высоту S=2π rh

объем- равен произведению площади основания на высоту V=π r² h

Конус(определение, площадь поверхности, объем)

Конус- тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки и проходящих через плоскую поверхность

Площадь поверхности- боковая площадь поверхности круглого конуса равна произведению половины окружности основания (C) на образующую (l)

Объем- равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Сфера, шар(определение, площадь поверхности, объем)

Сфера- замкнутая поверхность, все точки которой одинаково удалены от одной точки (центра сферы)

Шар- геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии не больше заданного

Площадь поверхности СФЕРЫ- равна учетверенной площади большого круга S=4π R²

Площадь поверхности ШАРА- учетверенной площади большого круга

Объем СФЕРЫ- равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и поверхность шара, а высота есть радиус шара

Объем ШАРА- равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и поверхность шара, а высота есть радиус шара

Предел функции, основные теоремы

Предел функции- в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Основные теоремы-

1. Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

2. Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x), то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).

3. Предел постоянной равен самой постоянной.

4.Функция не может иметь двух различных пределов в

одной точке.

Формулы-

!!! !!!

!!! !!! !!!

Экстремумы функции

Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке множества функция не имеет большего (меньшего) значения

ФОРМУЛЫ

Формула Ньютона-Лейбница

Следствия

1. Через прямую a и не лежащую на ней точку Апроходит плоскость, и притом только одна.

2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Параллельные прямые в пространстве

1.Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

12	Поделиться: