Векторы в пространстве. Векторное и смешанное произведения векторов и их свойства.

Векторы в пространстве. Векторное и смешанное произведения векторов и их свойства.

Определение векторного произведения.

Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов называется правой, в противном случае – левой.

возьмем два не коллинеарных вектора и. Отложим от точки А векторы и. Построим некоторый вектор, перпендикулярный одновременно и Очевидно, что при построении вектора мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное

В зависимости от направления вектора упорядоченная тройка векторов может быть правой или левой.

Так мы вплотную подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Определение.

Векторным произведением двух векторов a и b, заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор c, что

он является нулевым, если векторы a и b коллинеарны;

он перпендикулярен и вектору a и вектору b ( );

его длина равна произведению длин векторов и на синус угла между ними ( );

тройка векторов abc ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторное произведение векторов и обозначается как

Свойства векторного произведения.

антикоммутативность ;

свойство дистрибутивности ;

сочетательное свойство

Определение смешанного произведения.

Смешанное произведение определяется для трех векторов, заданных в трехмерном пространстве.

Определение.

Смешанным произведением трех векторов a, b и d называется действительное число, равное скалярному произведению векторов и d, где - векторное произведение векторов и.

Из определения понятно, почему смешанное произведение часто называют векторно-скалярным произведением. Смешанное произведение векторов a, b и d обычно обозначают . В таких обозначениях по определению смешанного произведения

Свойства смешанного произведения.

если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то смешанное произведение равно нулю.

6. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой. Расположение прямой на плоскости.

Поверхности и линии в пространстве. Уравнения поверхности.

Поверхность и ее уравнение

Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке О1 есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки O1 на расстоянии R.

Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками чисел х, у и z — их координатами. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности.

Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называется такое уравнение F(x, у, z) = 0 с тремя переменными х, у и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. Переменные х, у и z в уравнении поверхности называются текущими координатами точек поверхности.

Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка M1(x1; y1; z1) на данной поверхности, достаточно подставить координаты точки M1 в уравнение поверхности вместо переменных: если эти координаты удовлетворяют уравнению, то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют — не лежит.

Исследование функций с помощью производной.

Таблица основных интегралов. Сведение интеграла к табличному виду.

24Основные приемы интегрирования.

Простейшие задачи, в которых нужно проинтегрировать элементарные функции, решаются при помощи таблицы первообразных. В более сложных случаях нужно знать ряд приемов, сводящих в конечном итоге вычисляемый интеграл к интегралам от табличных функций. Одним из таких приемов является метод замены переменного.Пусть определены дифференцируемые функции f x) и g (t), а также сложная функция g (f (x)). Пусть Тогда Это означает, что

Иногда, вычисляя интеграл полезно перейти к новой переменной. Пусть x = g (t) монотонная дифференцируемая функция, – обратная ей функция. Тогда Обозначая получим f (x) dx = u (t) dt. Если то

Этот метод называется методом подстановки.

Пусть функции u (x) и v (x) имеют непрерывные на D производные. Тогда

Функция uv имеет непрерывную производную на D, и Интегрируя обе части этого равенства, получим Относя константу интегрирования к интегралу получаем доказываемую формулу.

Эта формула описывает метод интегрирования по частям. Она сводит вычисление интеграла к вычислению интеграла

Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Общее и частное решения.

Векторы в пространстве. Векторное и смешанное произведения векторов и их свойства.

12 3 4 5