Раздел 1. Комплексные числа ( КЧ)

Раздел 1. Комплексные числа ( КЧ)

Понятие комплексного числа (КЧ). Сложение и умножение КЧ, свойства операций.

Комплексным числом Z называется число вида , где а и b – действительные числа, i – мнимая единица. Число “а” называется действительной частью ( ) комплексного числа Z, число b называется мнимой частью ( ).

- Это единое число, а не сложение!

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

На чертеже следует поставить букву С, обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:

– действительная ось

– мнимая ось

Сложение КЧ:

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Умножение КЧ:

Нужно просто умножить КЧ на КЧ и раскрыть скобки по правилам умножения и главное помнить, что

Алгебраическая форма КЧ, операции сложения, умножения и деления КЧ в алгебраической форме.

- алгебраическая форма КЧ

Сложение КЧ:

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Вычитание КЧ:

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Умножение КЧ:

Нужно просто умножить КЧ на КЧ и раскрыть скобки по правилам умножения и главное помнить, что

Деление КЧ:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме.

умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Тригонометрическая и показательная форма КЧ. Формула Эйлера. Операции умножения и возведения в степень КЧ в тригонометрической форме. Формула Муавра.

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме: , где - это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа.

Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора.

Модуль комплексного числа стандартно обозначают: или

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа:

Аргументом комплексного числа называется угол между положительной полуосью действительной оси

Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: или

1) Если , b> 0, то ( это )

2) Если , то

3) Если , то

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку , то

- кч Z2 в тригонометрическом виде

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в показательной форме:

, где – это модуль комплексного числа, а - аргумент комплексного числа.

Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Например, для числа предыдущего примера у нас найден модуль и аргумент. Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

( формула Эйлера ). Т.е.

При умножении КЧ в тригонометрической форме их модули ( |Z| ) перемножаются, а аргументы складываются ( cos ( фи1+фи2 ) + isin ( фи1+фи2 ) ).

Для того, чтобы возвести в степень КЧ, нужно представить КЧ в тригонометрической форме и воспользоваться формулой Муавра:

Формула корней n-ой степени из КЧ

( ---Z^1/n---) а не Zk

, где – это модуль комплексного числа, – его аргумент, а параметр принимает значения:

Раздел 2. Линейная алгебра

Матрицы и основные действия над ними. Обратная матрица и её вычисление. Ранг матрицы.

Матрица – таблица размером ( m x n ), где m – количество строк, n – количество столбцов.

Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

( Тут всё понятно, у всех элементов матрицы меняется знак при внесении или вынесении минуса)

Умножение матрицы на число.

(для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число)

Транспонирование матрицы.

(Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки поменять местами со столбцами соответственно)

Сумма (разность) матриц.

(Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были одинаковыми по размеру). Для сложения или вычитания матриц, нужно сложить или вычесть соответствующие элементы матрицы.

Умножение матриц.

Чтобы матрицу “K” можно было умножить на матрицу “L” нужно, чтобы число столбцов матрицы “K” равнялось числу строк матрицы “L”

Ранг матрицы.

Ранг матрицы – количество ненулевых строк. С помощью элементарных преобразований свести к ступенчатому виду. Количество ненулевых строк и будет рангом матрицы.

Пример смотреть в тетрадке.

Определители и их свойства.

Любой квадратной матрице можно поставить в соответствие выражение, которое называется определителем ( детерминантом ).

2х2:

Х3

По первой строке: ( также можно по 1-ому столбцу ) – универсальный метод, запомнить!

Правило Сариуса:

Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».

Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Пример:

Свойства определителей:

1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1, то есть

3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k, то есть

5. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. 123

6. Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

( По любой строке или столбцу )

Раздел 3. Векторная алгебра

Свойства проекции векторов

а) Проекция вектора на ось равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ним и положительным направлением оси на некоторую ось :

б) Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций векторов на :

в) ( При умножении вектора на некоторое число k , его проекция умножается на это же число )

Скалярное произведение векторов — это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если угол между векторами от 0 до 90 градусов, то скалярное произведение будет положительным

Если угол между векторами от 90 до 180 градусов, то скалярное произведение отрицательно

Если угол между векторами прямой (П/2), то скалярное произведение равно нулю

Свойства скалярного произведения векторов:

Скалярное произведение при заданных координатах:

Следствие 3.

|| =>

Связь с проекциями:

Прямая на плоскости, её нормаль и направляющий вектор, различные виды её уравнений: общее, каноническое, параметрическое, в «отрезках», с угловым коэффициентом. Угол между прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых; расстояние от точки до прямой.

(! Смотреть весь раздел в тетрадке и формулы на листочке! )

Нормальный вектор – вектор, перпендикулярный к данной прямой.