Действия над комплексными числами

§ Сравнение

a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

§ Сложение

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

§ Вычитание

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.

§ Умножение

§ Деление

Запишем квадратное уравнение в общем виде:

kx² + px + q = 0,

где k, p, q - действительные числа. Из курса элементарной математики известно, что если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня, а если D = 0, то один. Случай при D < 0 в элементарной математике не рассматривается, а просто делается вывод, что корней нет. Однако с использованием комплексных чисел можно доопределить множество решений квадратного трехчлена при D < 0. Если это так, то будем говорить, что уравнение имеет комплексные корни. При этом обозначают и корни находят по формуле

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент (x = rcos φ, y = rsin φ ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать втригонометрической форме

z = r(cos φ + isin φ ).

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

z = reⁱ^φ,

где eⁱ^φ — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство:

где e — основание натурального логарифма,

i — мнимая единица.

Доказательство формулы Эйлера достаточно тривиально. Разложим функцию e^ix в ряд Тейлора по степеням x. Получим:

Но

Поэтому

51) Та запись комплексного числа, которую мы использовали до сих пор, называется алгебраической формой записи комплексного числа. Часто бывает удобна немного другая форма записи комплексного числа. Пусть и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

Отсюда получается

z = a + bi = r(cos φ + i sin φ ).

Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.

Пример 1

Записать число в тригонометрической форме.

Решение

Найдём модуль этого числа:

Аргумент данного числа находится из системы

Значит, один из аргументов числа равен Получаем:

Ответ.

Арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, производятся следующим образом. Пусть z₁ = r₁(cos φ ₁ + i sin φ ₁) иz₂ = r₂(cos φ ₂ + i sin φ ₂). Имеем:

Видно, что в тригонометрической форме операции умножения и деления производятся особенно просто: для того, чтобы перемножить (разделить) два комплексных числа, нужно перемножить (разделить) их модули и сложить (вычесть) их аргументы.

Отсюда следует, что для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы: если φ ₁, φ ₂, ..., φ _n – аргументы чисел z₁, z₂, ..., z_n, то

В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.

53)Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора

Определение

Пусть есть векторное пространство над полем и — базис в .

Функция называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

где , а — некоторые элементы поля .

Связанные определения

Матрицу называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть .

Для любой квадратичной формы существует единственная симметричная билинейная форма , такая, что . Билинейную форму называют полярной к , она может быть вычислена по формуле

Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе — вырожденной.

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого выполнено неравенство . Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.

Квадратичная форма A(x, x) называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если для любого .

Свойства

Критерий Сильвестра

Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.

Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид:

Разность между числом положительных (p) и отрицательных (n − p) членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Сигнатура, также как и числа положительных и отрицательных слагаемых, не зависят от способов приведения квадратичной формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа.

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213Следующая