Аппроксимация в виде системы линейно независимых функций

Применяется, когда вид функции заранее не известен. Пусть

где - ортогональные многочлены Чебышева на множестве точек х₁, х₂, …х_n.

Условие ортогональности

Согласно МНК

откуда

Оценка любого параметра α _i зависит только от соответствующей базисной функции φ (х_i). Сами базисные функции удобно выбирать в виде многочленов:

Коэффициенты α, β, γ выбирают из условия ортогональности

Полученные отношения проиллюстрируем примером.

Известна экспериментальная зависимость предела прочности от размера d[мм] зерна рекристализированного металла (см. табл.2.1).

Произведем линейное преобразование переменных:

Примем линейную модель вида с базисными функциями

Из условия ортогональности найдем α:

В силу симметрии , поэтому

По методу наименьших квадратов находим параметры b₀, b₁:

Таким образом получена линейная зависимость вида у=-0, 544-0, 367x.

Примем квадратичную модель вида где

Из условия ортогональности получим:

Следовательно,

Найдем b₂:

Тогда квадратичная зависимость примет вид

Порядок и результаты проведенных расчетов представлены в табл. 2.1 и на рис. 2.5.

 

 

Таблица 2.1 Расчет аппроксимации при помощи линейно независимых функций

n	d	σ b	Xi=ϕ 1	yi=yϕ 0	yix=yiϕ 1	ϕ 2	Yϕ 2	Линейная модель	Квадратичная модель
Yрасч	y-yрасч	Yрасч	y-yрасч
		47, 1	-8	3, 1	-24, 7		135, 8	2, 392	0, 695	3, 087	0, 018
		44, 8	-4	0, 9	-3, 4	-4	-3, 4	0, 924	-0, 063	0, 861	-0, 063
		44, 4	-3	0, 4	-1, 1	-11	-4, 2	0, 557	-0, 174	0, 383	0, 018
		43, 6	-1	-0, 5	0, 5	-19	9, 1	-0, 177	-0, 300	-0, 477	0, 077
		43, 2		-0, 9	0, 0	-20	17, 2	-0, 544	-0, 316	-0, 860	0, 06
		42, 6		-1, 2	-1, 2	-19	23, 0	-0, 911	-0, 300	-1, 211	-0, 189
		42, 3		-1, 8	-5, 5	-11	20, 0	-1, 645	-0, 174	-1, 819	0, 118
		41, 9		-2, 1	-8, 3	-4	8, 3	-2, 012	-0, 063	-2, 075	-0, 022
		41, 2		-2, 8	-22, 3		-122, 5	-3, 48	0, 695	-2, 785	-0, 022
∑				-4, 9	-66, 1		83, 2	-4, 896	1, 315	-4, 896	0, 0648
			H1			H2		∑ ( y-yрасч)2	∑ ( y-yрасч)2

Тогда для линейной модели

Сглаживание исходной информации

Сглаживание исходной информации – это замена таблицы опытных точек другой таблицей близких к ним точек, лежащих на достаточно гладкой кривой.

Рис. 2.5. Линейная и квадратичная аппроксимации

Сглаживание применяют:

- для устранения ошибок замеров, что необходимо для численного дифференцирования или интегрирования экспериментальных данных;

- если количество экспериментальных точек велико, то подбор эмпирической формулы может оказаться весьма затруднительным.

Сглаживание производится с помощью многочленов (рис. 2.6). Наилучшее сглаживание получается для средних точек, когда учитывается информация о поведении функции по обе стороны сглаживаемой точки. Количество точек для сглаживания выбирают нечетным.

Линейным сглаживанием называется сглаживание многочленом первой степени.

Рис. 2.6. Сглаживание экспериментальных точек

Формулы линейного сглаживания по трем точкам:

В этих формулах приняты следующие обозначения. Средней точке приписывается индекс «0», симметричные точки получают при этом индекс ±1. Сглаженные значения обозначаются волнистой чертой сверху. Основной формулой служит формула сглаживания средней точки, т.е. формула для. Остальные формулы используются для экспериментальных данных, расположенных на внешнем контуре таблицы.

Пример

Исходные данные	Сгл.данные
X	y	y

Рис. 2.7. Виды сглаживания

Вопросы для самопроверки

1. Что такое аппроксимация?

2. Что такое уравнение регрессии?

3. Для чего применяется аппроксимация экспериментальных данных?

4. В чем заключается метод средних?

5. Каковы основные шаги при аппроксимации методом наименьших квадратов?

6. Что общего и в чем различие между методами независимых функций и наименьших квадратов?

7. Какие функции называются линейно независимыми?

8. Как влияет количество экспериментальных точек на точность аппроксимации?

9. Как оценить точность используемого метода аппроксимации?

10. Перечислите достоинства и недостатки методов средних, наименьших квадратов и независимых функций

11. Что такое сглаживание? Для чего оно применяется?

12. Какие виды аппроксимаций можно находить методами средних, наименьших квадратов и независимых функций?

13. Что такое полиномы Чебышева? В чем заключается их ортогональность?

14. Как определить вид аппроксимируемой зависимости?

15. Какое минимальное число экспериментальных точек можно аппроксимировать методом наименьших квадратов?

16. Какое максимальное число экспериментальных точек можно аппроксимировать методом средних?

17. Какой метод аппроксимации следует использовать для аппроксимации зависимости вида у=α e^-x?

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться:

Популярное:

1. I) Получение передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы, по возмущению относительно выходной величины, по задающему воздействию относительно рассогласования .
2. I. РАЗВИТИИ ЛЕКСИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ЯЗЫКА У ДЕТЕЙ С ОБЩИМ НЕДОРАЗВИТИЕМ РЕЧИ
3. II. О ФИЛОСОФСКОМ АНАЛИЗЕ СИСТЕМЫ МАКАРЕНКО
4. III. Перечень вопросов для проведения проверки знаний кандидатов на получение свидетельства коммерческого пилота с внесением квалификационной отметки о виде воздушного судна - самолет
5. V) Построение переходного процесса исходной замкнутой системы и определение ее прямых показателей качества
6. VII. Перечень вопросов для проведения проверки знаний кандидатов на получение свидетельства линейного пилота с внесением квалификационной отметки о виде воздушного судна - вертолет
7. А вне их, только тогда ты сможешь увидеть их упущения и, может быть, пройти дальше
8. А. Разомкнутые системы скалярного частотного управления асинхронными двигателями .
9. АВИАЦИОННЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ
10. Автоматизированные информационно управляющие системы сортировочных станций
11. Автоматизированные системы диспетчерского управления
12. Автоматическая телефонная станция квазиэлектронной системы «КВАНТ»