Контрольная работа для заочного отделения

Контрольная работа для заочного отделения

Семестр

Вопросы

Матрицы. Операции над матрицами. Определения квадратной, нулевой, ступенчатой матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Обратная матрица. Алгоритм вычисления обратной матрицы.
Определители второго и третьего порядка. Свойства определителей. Способы нахождения (вычисления) определителей 1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядков. Миноры и алгебраические дополнения элементов. Вычисления определителя разложением его по строке, столбцу.
Системы линейных уравнений. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными. Способы нахождения решений СЛУ. (Матричный метод, метод Гаусса, метод Крамера). Теорема Кронекера-Капелли. Ранг матрицы.
Векторы. Обозначения векторов. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Ортонормированный базис. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, их свойства.
Аналитическая геометрия на плоскости. Уравнения линии и прямой. Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Каноническое уравнение прямой на плоскости. Параметрическое уравнение прямой на плоскости.
Кривые второго порядка. (Эллипс, окружность, гипербола, парабола). Уравнения и графики.
Плоскость и прямая в пространстве. Уравнение плоскости. Исследование общего уравнения плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Каноническое уравнение прямой в пространстве.

8. Параметрическое задание линии. Примеры линий, заданных параметрически.

9. Уравнение поверхности в пространстве. Цилиндрические поверхности. Сфера. Конусы. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Геометрические свойства этих поверхностей,

Рекомендуемая литература

Н.Ш. Кремер «Высшая математика для экономистов»
Д.В. Клетеник «Сборник задач по аналитической геометрии»
И.А.Каплан «Практические занятия по высшей математике» часть 1.

Б.М. Владимирский «Математика. Общий курс»
П.Е.Данко, А.Г. Попов «Высшая математика в упражнениях и задачах» часть 1.

Пример оформления титульного листа

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Южно-Уральский государственный университет»

(национальный исследовательский университет)

Филиал ФГБОУ ВПО «ЮУрГУ» (НИУ) в г. Златоусте

Кафедра «Математика и вычислительная техника»

Контрольная работа

По дисциплине: ”математика”

Вариант № 100

Выполнил студент 1 курса

Заочного отделения

Гр…..-166

Иванов И.И.

Проверил………….

Златоуст

2013г.

Введение.

Выполнять контрольную работу следует строго по графику. Каждый студент выполняет контрольную работу под вариантом, номер которого совпадает с его порядковым номером в групповом журнале. Решение задач нужно предоставить в письменном виде на отдельных листах (формата А 4, в скрепленном виде). Сдавать работу можно как в печатном, так и в письменном виде. Выполняя к.р., студент должен переписать условие соответствующей задачи, написать подробное решение, выделив ответ. Там, где это необходимо, дать краткие пояснения по ходу решения.

Задача 1.

Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов .Где i и j, определяются следующим образом: для четного варианта i=2, j=4, для нечетного i=1, j=3 Вычислить определитель:

а) разложив его по элементам j-й строки

б)получив предварительно нули в i-й строке

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

Задача 2.

Проверить совместность системы и в случае совместности решить её:

а)методом Крамера

б)матричным методом

в)методом Гаусса

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Задача 3.

Решить матричное уравнение

1. 2.

3. 4

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15.

Задача 4.

Выясните, образуют ли векторы базис. Если образуют, то разложите вектор по этому базису.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

Задача 5.

Заданы вершины треугольника АВС. Вычислите его площадь и косинус внутреннего угла В.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Задача 6.

1. Найдите объем параллелепипеда, построенного на векторах , если

Проверьте, лежат ли точки в одной плоскости.
Найдите объем параллелепипеда, построенного на векторах
Найдите объем тетраэдра, построенного на векторах
Вычислите объем тетраэдра с вершинами в точках
Найдите объем параллелепипеда, построенного на векторах , если
Проверьте, лежат ли точки в одной плоскости.
Найдите объем параллелепипеда, построенного на векторах
Найдите объем треугольной пирамиды с вершинами в точках
При каком значении к точки лежат в одной плоскости
Найдите объем тетраэдра с вершинами в точках
При каком значении m векторы компланарны?
Проверьте, лежат ли точки в одной плоскости.
При каком значении m векторы компланарны?
Вычислите объем тетраэдра с вершинами в точках

Задача 7.

В треугольнике АВС составьте уравнения:

1) стороны ВС;

2) высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС;

3) медианы, проведенной из вершины С.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Задача 8.

Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной плоскости α.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Задача 9.

Нарисуйте область, ограниченную заданными поверхностями.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Пример выполнения контрольной работы.

1.Дан определитель четвертого порядка.

а) Вычислить, разложив его по элементам 1-й строки

Вычисляем определители третьего порядка методом треугольника и получаем:

б) Вычислить, получив предварительно нули в первом столбце. Для этого, выберем ведущий элемент, находящийся во второй строке и первом столбце, элемент .Обнуляем столбец. Прибавим к первой строке вторую, умноженную на (-3). Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 2.

Прибавим к четвертой вторую, умноженную на (-1). Получим:

Разложим определитель по элементам первого столбца. Получим:

По свойству определителей, общий множитель строки(столбца), можно вынести за знак определителя. Вынесем (-10) из четвертого столбца.

Методом треугольника вычисляем определитель третьего порядка. Получаем:

2. Проверить совместность системы и в случае совместности решить её:

а)методом Крамера

б)матричным методом

в)методом Гаусса

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы этой системы равен рангу расширенной матрицы системы. Найдем ранг расширенной матрицы. Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду.

Ранг расширенной матрицы равен количеству элементов, стоящих на главной диагонали ступенчатой матрицы, равен 3.

Так как ранг расширенной матрицы и ранг основной равны, то система совместна.

а) Решим систему метом Крамера.

Проверка.

б)Решим систему матричным методом.

Составим матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных, назовем ее основной, обозначим А. Составим матрицу-столбец, состоящую из свободных членов, обозначим В. Составим матрицу –столбец, состоящую из переменных (неизвестных), обозначим Х.

Запишем систему линейных уравнений в матричном виде:

Выразим Х:

Для того, чтобы найти решение системы, необходимо найти обратную матрицу .

Найдем обратную матрицу:

1) Вычислим определитель основной матрицы

2) Найдем транспонированную матрицу, заменив в основной матрице строки столбцами:

3) Найдем союзную матрицу, состоящую из алгебраических дополнений к каждому элементу транспонированной матрицы:

4) Найдем обратную матрицу по формуле: и подставим в Х, получим: .

в) Решим систему методом Гаусса.

Вернемся к системе уравнений.

3. Решить матричное уравнение.

Для начала запишем наше матричное уравнение в буквенном виде:

Выразим Х:

Следовательно, для того, чтобы найти решение, необходимо найти обратные матрицы

1)Найдем .

2 ) Найдем .

3) Найдем Х:

4. Выясните, образуют ли векторы базис. Если образуют, то разложите вектор по этому базису.

Выясним, образуют ли векторы базис. Составим из координат векторов определитель 3-го порядка.

Так как определитель не равен 0, то векторы образуют базис. Найдем разложение вектора по базису .

Решим данную систему методом Крамера.

5.Заданы вершины треугольника АВС. Вычислите его площадь и косинус внутреннего угла А..

Треугольник АВС образован векторами

Площадь треугольника

Вычислим векторное произведение:

Вычислим косинус внутреннего угла при вершине А.

6.Найдите объем параллелепипеда, построенного на векторах , если

Объём параллелепипеда, построенного на векторах , равен . Найдем векторы:

7.В треугольнике АВС составьте уравнения:

1) стороны ВС;

2) высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС;

3) медианы, проведенной из вершины С.

1)Для того, чтобы составить уравнение стороны ВС необходимо воспользоваться следующей формулой: (уравнение прямой, проходящей через 2 точки)

2)Так как высота АН перпендикулярна стороне ВС, то . Угловой коэффициент ВС: . Следовательно, . Зная угловой коэффициент и точку, через которую проходит прямая можно составить уравнение высоты (прямой АН), используя следующую формулу:

3)Медиана, проведенная из вершины С, делит сторону АВ пополам точкой М.

. Можем составить уравнение медианы СМ.

8.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной плоскости α.

Каноническое уравнение прямой имеет вид:

, где точка, через которую проходит прямая. направляющий вектор прямой. Так как прямая проходит через точку А, перпендикулярно плоскости, то, вектор нормали будет параллелен направляющему вектору . Векторы параллельны, следовательно, координаты их пропорциональны. Тогда,

Уравнение прямой будет иметь вид:

9. Нарисуйте область, ограниченную заданными поверхностями.

X=0

Y=0

Z=0

Матрица

Матрица – это прямоугольная таблица элементов, содержащая m строк и n столбцов.

Матрица А называется матрицей размера mxn, числа a_iJ называются ее элементами, где i показывает номер строки, а j – номер столбца. Числа а₁₁, а₂₂, а₃₃… образуют главную диагональ.

Классификация матриц

Две матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц.
Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов. При этом квадратную матрицу размера nxn называют матрицей n-го порядка.
Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю.

Диагональная матрица называется единичной, если все элементы главной диагонали равны единице.

Матрица называется нулевой, если все элементы равны нулю.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица называется транспонированной к данной, если каждая строка данной матрицы становится столбцом с тем же номером у новой матрицы. Обозначается А^т.

Действия над матрицами

1. Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица, полученная с помощью сложения соответствующих элементов данных матриц.

Произведением матрицы на число называется матрица, все элементы которой умножены на данное число.
Произведением двух матриц называется матрица, у которой элемент i-той строки и j-того столбца равен сумме произведений элементов i-той строки первой матрицы на соответствующие элементы j-того столбца второй матрицы

Примеры

Свойства определителей

1. Определитель не изменится, если строки заменить столбцами, а столбцы – строками

Определитель, имеющий 2 одинаковых ряда, равен нулю
Общий множитель какого – либо ряда (строки или столбца) определителя можно вынести за знак определителя

4. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак на противоположный

5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей

6. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число

Пример

Обратная матрица

Матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю, в противном случае, матрицу называют вырожденной

Матрица называется союзной, если она состоит из соответствующих алгебраических дополнений и транспонирована

Матрица называется обратной к данной матрице, если их произведение равно единичной матрице того же порядка, что и данная матрица

Пример

Системы линейных уравнений.

Системой линейных уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа a_IJ - коэффициенты системы, числа b_i - свободные члены

Матричная форма записи системы линейных уравнений

Решением системы называются n значений неизвестных c₁, c₂, …, c_n, при подстановке которых в систему все уравнения системы обращаются в верные равенства. Решение системы можно записать в виде вектор – столбца.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решений не имеет.

Теорема Кронекера – Капелли

Система ЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной

Методы решения системы ЛУ

1. Метод Гаусса (расширенную матрицу с помощью элементарных преобразований свести к ступенчатой, а потом к канонической)

К элементарным преобразованиям относятся:

- перестановка строк (столбцов)

- прибавление к одной строке (столбцу) другой, умноженной на число, отличное от 0.

Составим расширенную матрицу:

Выберем ведущий элемент, стоящий в первом столбце и первой строке, элемент 1., назовем его ведущим. Строка, в которой находится ведущий элемент меняться не будет. Обнулим элементы под главной диагональю. Для этого прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2). Прибавим к третьей строке первую, умноженную на (-1), получим:

Поменяем вторую и третью строки местами. Мысленно вычеркиваем первый столбец и первую строку и продолжаем алгоритм для оставшейся матрицы. К третьей строке прибавляем 2-ю, умноженную на 5.

Привели расширенную матрицу к ступенчатому виду. Возвращаясь к уравнениям системы, начиная с последней строки и двигаясь вверх, поочередно определяем неизвестные.

2. Матричный метод (AX=B, A^-1AX=A^-1B, X=A^-1B; матрицу, обратную к основной матрице умножить на столбец свободных членов)

3. Метод Крамера.

Решение системы находится по формуле:

Где -определитель измененной основной матрицы, в которой i-й столбец изменен на столбец свободных членов, а - главный определитель, состоящий из коэффициентов при неизвестных.

Векторы.

Вектор – это направленный отрезок

Любой вектор задается длиной (модулем) и направлением.

Обозначение: или

где А – начало вектора, В – конец вектора, – длина вектора.

Классификация векторов

Нулевой вектор – это вектор, длина которого равна нулю

Единичный вектор – это вектор, длина которого равна единице

Равные векторы – это два вектора, у которых совпадают длина и направление

Противоположные векторы – это два вектора, у которых длины равны, а направления – противоположные

Коллинеарные векторы – это два вектора, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых

Сонаправленные векторы – это два коллинеарных вектора с одинаковым направлением

Противоположно направленные векторы– это два коллинеарных вектора с противоположным направлением

Компланарные векторы – это три вектора, которые лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях

► Прямоугольная система координат на плоскости – это две взаимно перпендикулярные прямые с выбранным направлением и началом отсчета, при этом горизонтальная прямая называется осью абсцисс, а вертикальная – осью ординат

Каждой точке в прямоугольной системе координат поставим в соответствие два числа: абсциссу и ординату

► Прямоугольная система координат в пространстве – это три взаимно перпендикулярные прямые с выбранным направлением и началом отсчета, при этом горизонтальная прямая, направленная на нас, называется осью абсцисс, горизонтальная прямая, направленная вправо от нас - осью ординат, а вертикальная прямая, направленная вверх – осью аппликат

Каждой точке в прямоугольной системе координат поставим в соответствие три числа: абсциссу, ординату и аппликату

Общее уравнение плоскости

Раскроем скобочки и обозначим константу через D

Общее уравнение плоскости будет иметь вид:

Уравнение плоскости проходящей через 3 точки: