Определители 2 и 3-го порядка.

 

Определителем квадратной матрицы называется число, которое вычисляется следующим образом:

а) Если порядок квадратной матрицы равен 1, т.е. она состоит из 1 числа, то определитель равен этому числу;

 

б)Если порядок квадратной матрицы равен 2, т.е. она состоит из 4 чисел, то определитель равен разности произведения элементов главной диагонали и произведения элементов побочной диагонали;

 

в)Если порядок квадратной матрицы равен 3, т.е. она состоит из 9 чисел, то определитель равен сумме произведений элементов главной диагонали и двух треугольников параллельных этой диагонали, из которой вычли сумму произведений элементов побочной диагонали и двух треугольников параллельных этой диагонали.

 

Примеры

 

 

 

Свойства определителей

1. Определитель не изменится, если строки заменить столбцами, а столбцы – строками

1. Определитель, имеющий 2 одинаковых ряда, равен нулю
2. Общий множитель какого – либо ряда (строки или столбца) определителя можно вынести за знак определителя

4. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак на противоположный

5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей

6. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число

 

Минор элемента определителя и его алгебраическое дополнение

Минором элемента a_IJ определителя n-го порядка называется определитель n-1 порядка, полученный из исходного с помощью вычеркивания i-той строки и j-того столбца

 

Алгебраическое дополнение элемента a_IJ определителя – это его минор, умноженный на (-1)^i+j

Пример

 

 

,

 

 

 

Обратная матрица

Матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю, в противном случае, матрицу называют вырожденной

Матрица называется союзной, если она состоит из соответствующих алгебраических дополнений и транспонирована

Матрица называется обратной к данной матрице, если их произведение равно единичной матрице того же порядка, что и данная матрица

Теорема о существовании обратной матрицы

Любая невырожденная матрица имеет обратную, равную союзной матрице, деленной на определитель данной матрицы

Алгоритм нахождения обратной матрицы А

1. Вычислить определитель

1. Транспонировать матрицу

1. Составить союзную матрицу, вычислить все алгебраические дополнения транспонированной матрицы

 

1. Воспользоваться формулой:

 

 

 

Минором матрицы называется определитель, состоящий из элементов, находящихся на пересечении выделенных k строк и k столбцов данной матрицы размера mxn

Рангом матрицы называется наибольший порядок того минора матрицы, который отличен от нуля

Обозначение r(A), rangA

Ранг равен количеству ненулевых строк ступенчатой матрицы.

Пример

 

Системы линейных уравнений.

 

Системой линейных уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

 

 

где числа a_IJ - коэффициенты системы, числа b_i - свободные члены

 

Матричная форма записи системы линейных уравнений

 

 

,

 

Решением системы называются n значений неизвестных c₁, c₂, …, c_n, при подстановке которых в систему все уравнения системы обращаются в верные равенства. Решение системы можно записать в виде вектор – столбца.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решений не имеет.

 

Теорема Кронекера – Капелли

Система ЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной

 

 

Методы решения системы ЛУ

1. Метод Гаусса (расширенную матрицу с помощью элементарных преобразований свести к ступенчатой, а потом к канонической)

К элементарным преобразованиям относятся:

- перестановка строк (столбцов)

- прибавление к одной строке (столбцу) другой, умноженной на число, отличное от 0.

Составим расширенную матрицу:

Выберем ведущий элемент, стоящий в первом столбце и первой строке, элемент 1., назовем его ведущим. Строка, в которой находится ведущий элемент меняться не будет. Обнулим элементы под главной диагональю. Для этого прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2). Прибавим к третьей строке первую, умноженную на (-1), получим:

Поменяем вторую и третью строки местами. Мысленно вычеркиваем первый столбец и первую строку и продолжаем алгоритм для оставшейся матрицы. К третьей строке прибавляем 2-ю, умноженную на 5.

Привели расширенную матрицу к ступенчатому виду. Возвращаясь к уравнениям системы, начиная с последней строки и двигаясь вверх, поочередно определяем неизвестные.

 

 

2. Матричный метод (AX=B, A^-1AX=A^-1B, X=A^-1B; матрицу, обратную к основной матрице умножить на столбец свободных членов)

 

3. Метод Крамера.

 

Решение системы находится по формуле:

 

Где -определитель измененной основной матрицы, в которой i-й столбец изменен на столбец свободных членов, а - главный определитель, состоящий из коэффициентов при неизвестных.

 

Векторы.

Вектор – это направленный отрезок

Любой вектор задается длиной (модулем) и направлением.

 

Обозначение: или

где А – начало вектора, В – конец вектора, – длина вектора.

Классификация векторов

Нулевой вектор – это вектор, длина которого равна нулю

Единичный вектор – это вектор, длина которого равна единице

Равные векторы – это два вектора, у которых совпадают длина и направление

Противоположные векторы – это два вектора, у которых длины равны, а направления – противоположные

Коллинеарные векторы – это два вектора, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых

Сонаправленные векторы – это два коллинеарных вектора с одинаковым направлением

Противоположно направленные векторы– это два коллинеарных вектора с противоположным направлением

Компланарные векторы – это три вектора, которые лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях

 

► Прямоугольная система координат на плоскости – это две взаимно перпендикулярные прямые с выбранным направлением и началом отсчета, при этом горизонтальная прямая называется осью абсцисс, а вертикальная – осью ординат

Каждой точке в прямоугольной системе координат поставим в соответствие два числа: абсциссу и ординату

► Прямоугольная система координат в пространстве – это три взаимно перпендикулярные прямые с выбранным направлением и началом отсчета, при этом горизонтальная прямая, направленная на нас, называется осью абсцисс, горизонтальная прямая, направленная вправо от нас - осью ординат, а вертикальная прямая, направленная вверх – осью аппликат

Каждой точке в прямоугольной системе координат поставим в соответствие три числа: абсциссу, ординату и аппликату

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Билет 1 Определители второго порядка и их свойства
2. Государственная власть является необходимым условием существования общества и используется для руководства совместной деятельностью людей и поддержания общественного порядка.
3. Поверхности II порядка. Канонические уравнения
4. Понятие и особенности правопорядка.
5. Потребности и ценности как определители интересов
6. ПРАВОПОРЯДОК: ПОНЯТИЕ, СТРУКТУРА И ФУНКЦИИ. СООТНОШЕНИЕ ПРАВОВОГО И ОБЩЕСТВЕННОГО ПОРЯДКА.
7. Структура и функции правопорядка.
8. ТЕМА 10. Преступления против общественной безопасности и общественного порядка.
9. Третий период родов. Ведение 3-го периода