При любых физических взаимодействиях энергия не возникает и не исчезает. Она лишь превращается из одной формы в другую.

Этот экспериментально установленный факт выражает фундаментальный закон природы – закон сохранения и превращения энергии.

Одним из следствий закона сохранения и превращения энергии является утверждение о невозможности создания «вечного двигателя» (perpetuum mobile) – машины, которая могла бы неопределенно долго совершать работу, не расходуя при этом энергии (рис. 1.20.2).

Рисунок 1.20.2. Один из проектов «вечного двигателя». Почему эта машина не будет работать?

История хранит немалое число проектов «вечного двигателя». В некоторых из них ошибки «изобретателя» очевидны, в других эти ошибки замаскированы сложной конструкцией прибора, и бывает очень непросто понять, почему эта машина не будет работать. Бесплодные попытки создания «вечного двигателя» продолжаются и в наше время. Все эти попытки обречены на неудачу, так как закон сохранения и превращения энергии «запрещает» получение работы без затраты энергии.

Закон сохранения момента импульса

 

Для замкнутой системы тел момент внешних сил всегда равен нулю, так как внешние силы вообще не действуют на замкнутую систему. Поэтому , то есть или Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени. Это один из фундаментальных законов природы. Аналогично для замкнутой системы тел, вращающихся вокруг оси z: отсюда или . Если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тождественно равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения. Момент импульса и для незамкнутых систем постоянен, если результирующий момент внешних сил, приложенных к системе, равен нулю. Очень нагляден закон сохранения момента импульса в опытах с уравновешенным гироскопом – быстро вращающимся телом, имеющим три степени свободы (рис. 6.9).   Рис. 6.9   Рис. 6.10 Используется гироскоп в различных навигационных устройствах кораблей, самолетов, ракет (гирокомпас, гирогоризонт). Один из примеров навигационного гироскопа изображен на рисунке 6.10. Именно закон сохранения момента импульса используется танцорами на льду для изменения скорости вращения. Или еще известный пример – скамья Жуковского (рис. 6.11). Рис. 6.11 Изученные нами законы сохранения есть следствие симметрии пространства-времени. Принцип симметрии был всегда путеводной звездой физиков, и она их не подводила. Но вот в 1956 г. Ву Цзянь, обнаружил асимметрию в слабых взаимодействиях: он исследовал β -распад ядер изотопа СO60 в магнитном поле и обнаружил, что число электронов, испускаемых вдоль направления магнитного поля, не равно числу электронов, испускаемых в противоположном направлении. В этом же году Л. Ледерман и Р. Гарвин (США) обнаружили нарушение симметрии при распаде пионов и мюонов. Эти факты означают, что законы слабого взаимодействия не обладают зеркальной симметрией.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Сила называется консервативной или потенциальной, если ее работа AA не зависит от траектории, а определяется только начальным и конечным положениями тела. Работа таких сил по перемещению тела по замкнутой траектории всегда равна нулю.

Примеры: сила тяжести, сила упругости, гравитационная сила.

Для удобства расчета работы таких сил вводится понятие потенциальной энергии WпWп:

A=Wп1− Wп2.A=Wп1− Wп2.

Работа разных сил при перемещении одного и того же тела различна. Заметим, что перемещение может зависеть от выбора системы отсчета, следовательно, работа в разных системах отсчета также может отличаться.

Если работа силы зависит от траектории, то такие силы называются неконсервативными. Как правило, эти силы зависят от вектора скорости (от его модуля или направления). Работа таких сил может приводить к выделению тепла (диссипации энергии). Неконсервативными являются силы трения и сопротивления.

 

Моме́ нт и́ мпульса ( кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения ) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение^[1].

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно — если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).

А) 5.6. Момент импульса материальной точки и твердого тела

Векторное произведение радиуса-вектора материальной точки на ее импульс: называют моментом импульса , этой точки относительно точки О (рис.5.4)

. Вектор иногда называют также моментом количества движения материальной точки. Он направлен вдоль оси вращения перпендикулярно плоскости, проведенной через векторы и и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины вектора видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от к происходит против часовой стрелки).

Векторную сумму моментов импульсов всех материальных точек системы называют моментом импульса (количества движения) системы относительно точки О:

Векторы и взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости перпендикулярной оси вращения тела. Поэтому . Сучетом связи линейных и угловых величин

и направлен вдоль оси вращения тела в ту же сторону, что и вектор .

Таким образом.

Момент импульса тела относительно оси вращения

т.е.

(5.9)

Следовательно, момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения тела вокруг этой оси.

« 5.5. Второй закон Ньютона для вращательного движения и его анализ

5.7. Основное уравнение динамики вращательного движения »

Раздел: Динамика вращательного движения твердого тела, Физические основы механики

Б) Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Моментом силы относительно неподвижной точкиO называется псевдовекторная величина равная векторному произведению радиус-вектора , проведенному из точки O в точку приложения силы, на силу

Модуль момента силы:

- псевдовектор, его направление совпадает с направлением плоскости движения правого винта при его вращении от к . Направление момента силы можно также определить по правилу левой руки: четыре пальца левой руки поставить по направлению первого сомножителя , второй сомножитель входит в ладонь, отогнутый под прямым углом большой палец укажет направления момента силы . Вектор момента силы всегда перпендикулярен плоскости, в котоой лежат векторы и .

-где кратчайшее расстояния между линией действия силы и точкой О называется плечом силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина равнаяпроекции на эту ось вектора момента силы , определённого относительно произвольной точки O данной оси Z. Если ось Z перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. совпадает с направлением вектора , то момент силы представляется в виде вектора совпадающего с осью.

Ось, положение которой в пространстве остается неизменнымпривращении вокруг тела в отсутствие внешних сил, называется свободной осью тела.

Для тела любой формы и с произвольным распределением массы существует 3 взаимно перпендикулярных, проходящих через центр инерции тела оси, которые могут служить свободными осями: они называются главными осями инерции тела.

Найдем выражение для работы при вращательном движении тела. Пусть на массу m твердого тела действует внешняя сила . Тогда работа этой силы за время dt равна

Осуществим в смешанном произведении векторов циклическую перестановку сомножителей, воспользовавшись правилом

Тогда

Работа при вращении тела равна произведению момента действия силы на угол поворота . Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

Поэтому

или

Следовательно,

- уравнение динамики вращательного движения

Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то выполняется векторное равенство

І - главный момент инерции (момент инерции относительно главной оси)

 

 

Крутильные колебания

КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ - механич. колебания, при к-рых упругие элементы испытывают деформации сдвига. Имеют место в разл. машинах с вращающимися валами: в поршневых двигателях, турбинах, генераторах, редукторах, трансмиссиях транспортных машин.

К. к. возникают в результате неравномерности периодич. момента как движущих сил, так и сил сопротивления. Неравномерность крутящего момента вызывает неравномерность изменения угловой скорости вала, т. е. то ускорение, то замедление вращения. Обычно вал представляет собой чередование участков с малой массой и упругой податливостью с более жёсткими участками, на к-рых закреплены значит. массы. В каждом сечении вала будет своя степень неравномерности вращения, поскольку в одинаковый промежуток времени массы проходят разные углы и, следовательно, движутся с разными скоростями, что создаёт переменное кручение вала и динамич. знакопеременные напряжения, гл. обр. касательные.

При совпадении частот собств. колебаний системы с частотой периодич. крутящего момента движущих сил и сил сопротивления возникают резонансные колебания. В этом случае повышается уровень динамич. переменных напряжений; возрастает акустич. шум, излучаемый работающей машиной. Динамич. знакопеременные напряжения при неправильно выбранных (заниженных) размерах вала, недостаточной прочности его материала и возникновении резонанса могут превысить предел выносливости, что приведёт к усталости материала вала и его разрушению.

При расчёте К. к. валов машин часто пользуются расчётной схемой с двумя дисками, соединёнными упругим стержнем, работающим на кручение. В этом случае собств. частота

где I₁ - момент инерции 1-го диска, I₂ - момент инерции 2-го диска, С -крутильная жёсткость стержня, Для круглого стержня диаметром d и длиной l С где G - модуль сдвига. Более сложные расчётные схемы содержат большее число дисков, соединённых стержнями и образующих последоват. цепи, а иногда - разветвлённые и кольцевые цепи. Расчёт собств. частот форм и вынужденных К. к. по этим расчётным схемам производится на ЭВМ.

Др. примером К. к. является крутильный маятник, к-рый представляет собой диск, закреплённый на одном конце стержня, работающего на кручение и жёстко заделанного др. концом. Собств. частота такого маятника где I - момент инерции диска. Приборы с использованием крутильного маятника применяют для определения модуля упругости при сдвиге, коэф. внутр. трения твёрдых материалов при сдвиге, коэф. вязкости жидкости.

К. к. возникают в разнообразных упругих системах; в нек-рых случаях возможны совместные колебания с разл. видами деформации элементов системы, напр. изгибно-крутильные колебания. Так, при определ. условиях полёта под действием аэродинамич. сил иногда возникают самовозбуждающиеся изгибно-крутильные колебания крыла самолёта (т. н. флаттер), к-рые могут вызывать разрушение крыла.

Лит.: Ден-Гартог Д. П., Механические колебания, пер. с англ., М., 1960; Маслов Г. С., Расчёты колебаний валов. Справочник, 2 изд., М., 1980; Вибрации в технике. Справочник, под ред. В. В. Болотина, т. 1, М., 1978; Силовые передачи транспортных машин, Л., 1982. А. В. Синев

 

Амплитудаколебаний (лат. amplitude— величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется ша­рик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.

 

 

Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах, санти­метрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как макси­мальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).

 

 

Период колебаний.

Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, соверша­ющая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.

Другими словами, период колебаний (Т) — это время, за которое совершается одно полное ко­лебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.

 

 

За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четы­рем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах, минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).

 

 

Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющей­ся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармоничес­ких колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяю­щихся величин, например, для затухающих колебаний.

 

Частота колебаний.

Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с.

Единица частоты в СИ названа герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v) равна 1Гц, то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:

 

.

 

В теории колебаний пользуются также понятием циклической, или круговой частоты ω . Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:

 

.

 

Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.

а) Колебания. Затухающие и незатухающие

Повторяющиеся процессы определяют нашу жизнь. Зима сменяет лето, день сменяет ночь, вдох сменяет выдох. Бежит время, и его мы тоже отмеряем повторяющимися процессами. Повто­ряющиеся процессы и есть колебания.

Колебаниями называются повторяющи­еся во времени изменения физической величи­ны.

Если эти изменения повторяются через оп­ределенный интервал времени, то колебания называются «периодическими». Наименьший интервал времени T, через который повторяют­ся значения физической величины A(t), называ­ется периодом ее колебаний A(t + Т) =A(t).Число колебаний в единицу времени v называ­ется частотой колебаний. Частота колебаний и период связаны соотношением v = 1 / Т.Колебания системы, которые совершаются в от­сутствие внешнего воздействия, называются свободными. Для возбуждения колебаний необ­ходимо внешнее воздействие. Системе извне сообщается запас энергии, за счет которой и происходят колебания. Это внешнее воздействие выводит систему из положения равновесия, и в дальнейшем она совершает дви­жение около положения равновесия, уходя и возвращаясь к нему, по инерции проскакивая его. И так повторяется раз за разом. Движение в данном контексте означает измене­ние состояния. В механических системах это может быть перемещение в пространстве или изменение давления, в электрических — изменение величины заряда или напря­женности поля. Существует бесконечное множество раз­личных движений и соответствующих им колебательных процессов.

Любую систему, соверша­ющую колебательное дви­жение, именуют «осцилля­тор» (в пер. с лат.oscillo— «колеблюсь»), соответст­венно и слово «колеба­ния» часто заменяют тер­мином «осцилляции».

Если амплитуда колебаний не меняется во времени, гармо­нические колебания называются незатухающими .

Диффе­ренциальное уравнение, описывающее гармонические не­затухающие колебания, имеет вид:

d²A(t) /dt²+ω ₀²A(t) = 0.

Ȧ +ω ₀²A = 0.

Если амплитуда уменьшается с течением времени, коле­бания называются затухающими .

Часто встречающийся пример затухающих колебаний — колебания, в кото­рых амплитуда уменьшается по закону

A₀(t) =a₀e^{-β t}.

Коэффициент затухания β > 0.

В системе СИ время из­меряется в с, а частота со­ответственно в обратных секундах (с^-1). Эта единица измерения имеет специ­альное название «герц» , 1 Гц = 1 с^-1. Немецкий фи­зик Генрих Рудольф Герц много занимался изуче­нием электромагнитных колебаний и волн. «Ген­рих Герц» — первые слова, посланные с Земли в кос­мос. Материал с сайта http: //worldofschool.ru

Затухающие периодические колебания

 

Затухающие апериодические колебания

б) Найдем отношение значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и (рис. 3.1):

,

где β – коэффициент затухания.

 

Рис. 3.1

Натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т, называется логарифмическим декрементом затухания χ:

;

.

Выясним физический смысл χ иβ.

Время релаксации τ – время, в течение которого амплитуда А уменьшается в e раз.

отсюда

Следовательно, коэффициент затухания β есть физическая величина, обратная времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.

Пусть N число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в e раз. Тогда

; ;

.

Следовательно, логарифмический декремент затухания χ есть физическая величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда А уменьшается в e раз.

Если χ = 0, 01, то N = 100.

При большом коэффициенте затухания происходит не только быстрое уменьшение амплитуды, но и заметно увеличивается период колебаний. Когда сопротивление становится равным критическому , ато круговая частота обращается в нуль ( ), а ( ), колебания прекращаются. Такой процесс называется апериодическим (рис. 3.2).

 

Рис. 3.2

Отличия в следующем. При колебаниях тело, возвращающееся в положение равновесия, имеет запас кинетической энергии. В случае апериодического движения энергия тела при возвращении в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление сил сопротивления, трения.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. A. Оказание помощи при различных травмах и повреждениях.
2. A. особая форма восприятия и познания другого человека, основанная на формировании по отношению к нему устойчивого позитивного чувства
3. B. Принципы единогласия и компенсации
4. Cочетания кнопок при наборе текста
5. D-технология построения чертежа. Типовые объемные тела: призма, цилиндр, конус, сфера, тор, клин. Построение тел выдавливанием и вращением. Разрезы, сечения.
6. EP 3302 Экономика предприятия
7. Exercise 5: Образуйте сравнительные степени прилагательных.
8. H. Приглаживание волос, одергивание одежды и другие подобные жесты
9. I курса очно-заочной (вечерней) формы обучения
10. I Расчет номинального состава бетона
11. I) Получение передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы, по возмущению относительно выходной величины, по задающему воздействию относительно рассогласования .
12. I. «Движение при закрытой автоблокировке (по путевой записке).