Теорема Штейнера — формулировка

Теорема Штейнера — формулировка

Согласно теореме Штейнера, установлено, что момент инерции тела при расчете относительно произвольно оси соответствует сумме момента инерции тела относительно такой оси, которая проходит через центр масс и является параллельной данной оси, а также плюс произведение квадрата расстояния между осями и массы тела, по следующей формуле (1):

Урок: Столк­но­ве­ние тел. Аб­со­лют­но упру­гий и аб­со­лют­но неупру­гий удары

Введение

Для изу­че­ния стро­е­ния ве­ще­ства, так или иначе, ис­поль­зу­ют­ся раз­лич­ные столк­но­ве­ния. На­при­мер, для того, чтобы рас­смот­реть ка­кой-то пред­мет, его об­лу­ча­ют све­том, или по­то­ком элек­тро­нов, и по рас­се­я­нию этого света, или по­то­ка элек­тро­нов по­лу­ча­ют фо­то­гра­фию, или рент­ге­нов­ский сни­мок, или изоб­ра­же­ние дан­но­го пред­ме­та в ка­ком-ли­бо фи­зи­че­ском при­бо­ре. Таким об­ра­зом, столк­но­ве­ние ча­стиц – это то, что окру­жа­ет нас и в быту, и в науке, и в тех­ни­ке, и в при­ро­де.

На­при­мер, при одном столк­но­ве­нии ядер свин­ца в де­тек­то­ре ALICE Боль­шо­го Ад­рон­но­го Кол­лай­де­ра рож­да­ют­ся де­сят­ки тысяч ча­стиц, по дви­же­нию и рас­пре­де­ле­нию ко­то­рых можно узнать о самых глу­бин­ных свой­ствах ве­ще­ства. Рас­смот­ре­ние про­цес­сов столк­но­ве­ния с по­мо­щью за­ко­нов со­хра­не­ния, о ко­то­рых мы го­во­рим, поз­во­ля­ет по­лу­чать ре­зуль­та­ты, неза­ви­си­мо от того, что про­ис­хо­дит в мо­мент столк­но­ве­ния. Мы не знаем, что про­ис­хо­дит в мо­мент столк­но­ве­ния двух ядер свин­ца, но мы знаем, ка­ко­ва будет энер­гия и им­пульс ча­стиц, ко­то­рые раз­ле­та­ют­ся после этих столк­но­ве­ний.

Се­год­ня мы рас­смот­рим вза­и­мо­дей­ствие тел в про­цес­се столк­но­ве­ния, иными сло­ва­ми дви­же­ние невза­и­мо­дей­ству­ю­щих тел, ко­то­рые ме­ня­ют свое со­сто­я­ние толь­ко при со­при­кос­но­ве­нии, ко­то­рое мы на­зы­ва­ем столк­но­ве­ни­ем, или уда­ром.

При столк­но­ве­нии тел, в общем слу­чае, ки­не­ти­че­ская энер­гия стал­ки­ва­ю­щих­ся тел не обя­за­на быть рав­ной ки­не­ти­че­ской энер­гии раз­ле­та­ю­щих­ся тел. Дей­стви­тель­но, при столк­но­ве­нии тела вза­и­мо­дей­ству­ют друг с дру­гом, воз­дей­ствуя друг на друга и со­вер­шая ра­бо­ту. Эта ра­бо­та и может при­ве­сти к из­ме­не­нию ки­не­ти­че­ской энер­гии каж­до­го из тел. Кроме того, ра­бо­та, ко­то­рую со­вер­ша­ет пер­вое тело над вто­рым, может ока­зать­ся нерав­ной ра­бо­те, ко­то­рую вто­рое тело со­вер­ша­ет над пер­вым. Это может при­ве­сти к тому, что ме­ха­ни­че­ская энер­гия может пе­рей­ти в тепло, элек­тро­маг­нит­ное из­лу­че­ние, или даже по­ро­дить новые ча­сти­цы.

Столк­но­ве­ния, при ко­то­рых не со­хра­ня­ет­ся ки­не­ти­че­ская энер­гия стал­ки­ва­ю­щих­ся тел, на­зы­ва­ют неупру­ги­ми.

Среди всех воз­мож­ных неупру­гих столк­но­ве­ний, есть один ис­клю­чи­тель­ный слу­чай, когда стал­ки­ва­ю­щи­е­ся тела в ре­зуль­та­те столк­но­ве­ния сли­па­ют­ся и даль­ше дви­жут­ся как одно целое. Такой неупру­гий удар на­зы­ва­ют аб­со­лют­но неупру­гим (рис. 1).

а) б)

Рис. 1. Аб­со­лют­ное неупру­гое столк­но­ве­ние

Рас­смот­рим при­мер аб­со­лют­но неупру­го­го удара. Пусть пуля мас­сой ле­те­ла в го­ри­зон­таль­ном на­прав­ле­нии со ско­ро­стью и столк­ну­лась с непо­движ­ным ящи­ком с пес­ком мас­сой , под­ве­шен­ным на нити. Пуля за­стря­ла в песке, и даль­ше ящик с пулей при­шел в дви­же­ние. В про­цес­се удара пули и ящика внеш­ние силы, дей­ству­ю­щие на эту си­сте­му, – это сила тя­же­сти, на­прав­лен­ная вер­ти­каль­но вниз, и сила на­тя­же­ния нити, на­прав­лен­ная вер­ти­каль­но вверх, если время удара пули было на­столь­ко мало, что нить не успе­ла от­кло­нить­ся. Таким об­ра­зом, можно счи­тать, что им­пульс сил, дей­ству­ю­щих на тело во время удара, был равен нулю, что озна­ча­ет, что спра­вед­лив закон со­хра­не­ния им­пуль­са:

.

Усло­вие, что пуля за­стря­ла в ящике, и есть при­знак аб­со­лют­но неупру­го­го удара. Про­ве­рим, что про­изо­шло с ки­не­ти­че­ской энер­ги­ей в ре­зуль­та­те этого удара. На­чаль­ная ки­не­ти­че­ская энер­гия пули:

,

ко­неч­ная ки­не­ти­че­ская энер­гия пули и ящика:

про­стая ал­геб­ра по­ка­зы­ва­ет нам, что в про­цес­се удара ки­не­ти­че­ская энер­гия из­ме­ни­лась:

.

Итак, на­чаль­ная ки­не­ти­че­ская энер­гия пули мень­ше ко­неч­ной на неко­то­рую по­ло­жи­тель­ную ве­ли­чи­ну. Как же это про­изо­шло? В про­цес­се удара между пес­ком и пулей дей­ство­ва­ли силы со­про­тив­ле­ния. Раз­ность ки­не­ти­че­ских энер­гий пули до и после столк­но­ве­ния как раз и равны ра­бо­те сил со­про­тив­ле­ния. Дру­ги­ми сло­ва­ми, ки­не­ти­че­ская энер­гия пули пошла на на­грев пули и песка.

Если в ре­зуль­та­те столк­но­ве­ния двух тел со­хра­ня­ет­ся ки­не­ти­че­ская энер­гия, такой удар на­зы­ва­ет­ся аб­со­лют­но упру­гим.

При­ме­ром аб­со­лют­но упру­гих уда­ров могут быть столк­но­ве­ния би­льярд­ных шаров. Мы рас­смот­рим про­стей­ший слу­чай та­ко­го столк­но­ве­ния – цен­траль­ное столк­но­ве­ние.

Цен­траль­ным на­зы­ва­ет­ся столк­но­ве­ние, при ко­то­ром ско­рость од­но­го шара про­хо­дит через центр масс дру­го­го шара. (Рис. 2.)

Рис. 2. Цен­траль­ный удар шаров

Пус­кай один шар по­ко­ит­ся, а вто­рой на­ле­та­ет на него с ка­кой-то ско­ро­стью , ко­то­рая, со­глас­но на­ше­му опре­де­ле­нию, про­хо­дит через центр вто­ро­го шара. Если столк­но­ве­ние цен­траль­ное и упру­гое, то при столк­но­ве­нии воз­ни­ка­ют силы упру­го­сти, дей­ству­ю­щие вдоль линии столк­но­ве­ния. Это при­во­дит к из­ме­не­нию го­ри­зон­таль­ной со­став­ля­ю­щей им­пуль­са пер­во­го шара, и к воз­ник­но­ве­нию го­ри­зон­таль­ной со­став­ля­ю­щей им­пуль­са вто­ро­го шара. После удара вто­рой шар по­лу­чит им­пульс, на­прав­лен­ный на­пра­во, а пер­вый шар может дви­гать­ся как на­пра­во, так и на­ле­во – это будет за­ви­сеть от со­от­но­ше­ния между мас­са­ми шаров. В общем слу­чае, рас­смот­рим си­ту­а­цию, когда массы шаров раз­лич­ны.

Закон со­хра­не­ния им­пуль­са вы­пол­ня­ет­ся при любом столк­но­ве­нии шаров:

.

В слу­чае аб­со­лют­но упру­го­го удара, также вы­пол­ня­ет­ся закон со­хра­не­ния энер­гии:

По­лу­ча­ем си­сте­му из двух урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми ве­ли­чи­на­ми. Решив ее, мы по­лу­чим ответ.

Ско­рость пер­во­го шара после удара равна

,

за­ме­тим, что эта ско­рость может быть как по­ло­жи­тель­ной, так и от­ри­ца­тель­ной, в за­ви­си­мо­сти от того, масса ка­ко­го из шаров боль­ше. Кроме того, можно вы­де­лить слу­чай, когда шары оди­на­ко­вые. В этом слу­чае после удара пер­вый шар оста­но­вит­ся. Ско­рость вто­ро­го шара, как мы ранее от­ме­ти­ли, по­лу­чи­лась по­ло­жи­тель­ной при любом со­от­но­ше­нии масс шаров:

.

На­ко­нец, рас­смот­рим слу­чай нецен­траль­но­го удара в упро­щен­ном виде – когда массы шаров равны. Тогда, из за­ко­на со­хра­не­ния им­пуль­са мы можем за­пи­сать:

А из того, что ки­не­ти­че­ская энер­гия со­хра­ня­ет­ся:

Нецен­траль­ным будет удар, при ко­то­ром ско­рость на­ле­та­ю­ще­го шара не будет про­хо­дить через центр непо­движ­но­го шара (рис. 3). Из за­ко­на со­хра­не­ния им­пуль­са, видно, что ско­ро­сти шаров со­ста­вят па­рал­ле­ло­грамм. А из того, что со­хра­ня­ет­ся ки­не­ти­че­ская энер­гия, видно, что это будет не па­рал­ле­ло­грамм, а квад­рат.

Рис. 3. Нецен­траль­ный удар при оди­на­ко­вых мас­сах

Таким об­ра­зом, при аб­со­лют­но упру­гом нецен­траль­ном ударе, когда массы шаров равны, они все­гда раз­ле­та­ют­ся под пря­мым углом друг к другу.

19 (24)

Закон сохранения импульса

Модель представляет собой демонстрацию, иллюстрирующую закон сохранения импульса. Рассматриваются упругие и неупругие соударения шаров. При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, то такая система называется замкнутой. В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой. Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса. Он является следствием из второго и третьего законов Ньютона. Рассмотрим какие-либо два взаимодействующих тела, входящих в состав замкнутой системы. Силы взаимодействия между этими телами обозначим через и По третьему закону Ньютона Если эти тела взаимодействуют в течение времени t, то импульсы сил взаимодействия одинаковы по модулю и направлены в противоположные стороны: Применим к этим телам второй закон Ньютона: где и – импульсы тел в начальный момент времени, а и – импульсы тел в конце взаимодействия. Из этих соотношений следует: Это равенство означает, что в результате взаимодействия двух тел их суммарный импульс не изменился. Рассматривая теперь всевозможные парные взаимодействия тел, входящих в замкнутую систему, можно сделать вывод, что внутренние силы замкнутой системы не могут изменить ее суммарный импульс, то есть векторную сумму импульсов всех тел, входящих в эту систему.

 

б) Закон сохранения энергии

Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от траектории, а обусловлена только начальными и конечными координатами точки.

В системе, в которой действуют только консервативные силы, полная энергия системы остается неизменной. Возможны лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

Потенциальная энергия материальной точки – функция только ее (точки) координат, значит силы можно определить так: . – потенциальная энергия материальной точки. Помножим обе части на и получим . Преобразуем и получим выражение доказывающее закон сохранения энергии .

в) Потери механической энергии

Теорему Бернулли совместно с теоремой Эйлера, изложенной в 110, можно применить для вывода теоремы Борда (1733—1792)—Карно о потере механической энергии потока   жидкости при внезапном его расширении (рис. 328). Теорема эта служит аналогом теоремы Кар- [c.250]

Потерю механической энергии в прямом скачке уплотнения можно характеризовать отношением полного давления за скачком к полному давлению   Poi перед ним. Формулы, определяющие это отношение, имеют вид [c.428]

Это уравнение свидетельствует о том, что при движении жидкой среды ее внутренняя энергия изменяется как вследствие внешнего притока тепла, так и вследствие диссипации механической энергии. Процесс диссипации, как показывает выражение (5-84), связан с вязкостью р и для идеальной жидкости (р = 0) не имеет места. Поскольку этот процесс необратим, диссипирован-ную энергию Эд можно рассматривать как величину потери механической   энергии. [c.126]

Так как в любой машине потери механической энергии неизбежны, то мощность, затрачиваемая двигателем на привод насоса (потребляемая мощность Л ), всегда больше полезной мощности   N - Эти потери оцениваются общим КПД насоса [c.312]

При выводе уравнений (136) вязкость жидкости и связанная с ней потеря механической энергии при движении частицы жидкости   не учитывались. [c.367]

При движении жидкости в трубе происходит потеря механической энергии, следовательно, должны быть области, в которых влияние вязкости существенно. Вследствие прилипания жидкости к стенкам трубы мгновенная и средняя скорости жидкости на стенках равны нулю. Поэтому в непосредственной близости у стенок трубы не может быть интенсивного перемешивания жидкости. Это служит основанием для вывода, что непосредственно около стенок резкое изменение скорости должно определяться свойством вязкости жидкости и что около стенок должен существовать слой с ламинарным движением. Опытные данные   хорошо подтверждают этот вывод. [c.155]

Работа сил вязкости, произведенная между двумя сечениями потока и отнесенная к единице массы, веса или объема движущейся жидкости, называется потерями механической энергии, или гидравлическими потерями. Если эта работа отнесена к единице веса, то гидравлические потери   называются потерями напора Л. [c.99]

Модель невязкой жидкости не может объяснить происхождение потерь механической энергии при движении жидкости по трубопроводам и вообще эффекта сопротивления. Для описания этих явлений используется более сложная модель вязкой жидкости. Простейшей и наиболее употребительной моделью вязкой жидкости   является ньютоновская жидкость. [c.18]

Работа сил давления р расходуется на преодоление сил сопротивления, что и обусловливает потери механической энергии. Эти потери прямо пропорциональны длине пути движения, поэтому их называют потерями удельной энергии по длине. Если потери выражены в единицах давления, их называют потерями давления по длине и обозначают pi. Если потери энергии выражены в линейных единицах EJg), их называют потерями напора   по длине и обозначают /г. [c.132]

Получение регулярных потоков с малыми потерями при торможении в диффузорах — задача гораздо более трудная, чем получение ускоренных потоков с малыми потерями в соплах. В диффузорах идеальные обратимые движения нарушаются за счет тех же причин и свойств среды, что и в соплах, однако при торможении потоков влияние перечисленных выше факторов проявляется в более сильной степени. В диффузорах из-за движения против возрастающего давления условия отрыва потока от стенок более благоприятны, чем в соплах, в которых

а) Трение − − один из видов взаимодействия тел. Оно возникает при соприкосновении двух тел. Трение, как и все другие виды взаимодействия, подчиняется третьему закону Ньютона: если на одно из тел действует сила трения, то такая же по модулю, но направленная в противоположную сторону сила действует и на второе тело. Силы трения, как и упругие силы, имеют электромагнитную природу. Они возникают вследствие взаимодействия между атомами и молекулами соприкасающихся тел или наличия неровностей и шероховатостей.

Силами сухого трения называют силы, возникающие при соприкосновении двух твердых тел при отсутствии между ними жидкой или газообразной прослойки. Они всегда направлены по касательной к соприкасающимся поверхностям.

Сухое трение, возникающее при относительном покое тел, называют трением покоя. Сила трения покоя всегда равна по величине внешней силе и направлена в противоположную сторону.

Сила трения покоя не может превышать некоторого максимального значения (Fтр)max(Fтр)max. Если внешняя сила больше (Fтр)max(Fтр)max, возникает относительное проскальзывание. Силу трения в этом случае называют силой трения скольжения. Она всегда направлена в сторону, противоположную направлению движения и, вообще говоря, зависит от относительной скорости тел. Однако во многих случаях приближенно силу трения скольжения можно считать независящей от величины относительной скорости тел и равной максимальной силе трения покоя. Эта модель силы сухого трения применяется при решении многих простых физических задач.

 

б) Сила трения скольжения — сила, возникающая между соприкасающимися телами при их относительном движении.

Опытным путём установлено, что сила трения зависит от силы давления тел друг на друга (силы реакции опоры), от материалов трущихся поверхностей, от скорости относительного движения. Так как никакое тело не является абсолютно ровным, сила трения не зависит от площади соприкосновения, и истинная площадь соприкосновения гораздо меньше наблюдаемой; кроме того, увеличивая площадь, мы уменьшаем удельное давление тел друг на друга.

Величина, характеризующая трущиеся поверхности, называется коэффициентом трения, и обозначается чаще всего латинской буквой {\displaystyle k} или греческой буквой {\displaystyle \mu }. Она зависит от природы и качества обработки трущихся поверхностей. Кроме того, коэффициент трения зависит от скорости. Впрочем, чаще всего эта зависимость выражена слабо, и если большая точность измерений не требуется, то {\displaystyle k} можно считать постоянным. В первом приближении величина силы трения скольжения может быть рассчитана по формуле:

{\displaystyle F=kN}

{\displaystyle k} — коэффициент трения скольжения,

{\displaystyle N} — сила нормальной реакции опоры.

в) Коэффициент трения устанавливает пропорциональность между силой трения и силой нормального давления, прижимающей тело к опоре. Коэффициент трения является совокупной характеристикой пары материалов которые соприкасаются и не зависит от площади соприкосновения тел.

Виды трения

Трение покоя проявляется в том случае, если тело находившееся в состоянии покоя, приводится в движение. Коэффициент трения покоя обозначается μ ₀.

Трение скольжения проявляется при наличии движения тела, и оно значительно меньше трения покоя.

1.	μ ск < μ 0

Трение качения проявляется в том случае, когда тело катится по опоре, и оно значительно меньше трения скольжения.

2.	μ кач < < μ ск

Сила трения качения зависит от радиуса катящегося предмета. В типичных случаях (при расчетах трения качения колес поезда или автомобиля), когда радиус колеса известен и постоянен, его учитывают непосредственно в коэффициенте трения качения μ _кач.

Коэффициент трения покоя

тело начинает двигаться
(коэффициент трения покоя μ ₀)

А) 5.6. Момент импульса материальной точки и твердого тела

Векторное произведение радиуса-вектора материальной точки на ее импульс: называют моментом импульса , этой точки относительно точки О (рис.5.4)

. Вектор иногда называют также моментом количества движения материальной точки. Он направлен вдоль оси вращения перпендикулярно плоскости, проведенной через векторы и и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины вектора видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от к происходит против часовой стрелки).

Векторную сумму моментов импульсов всех материальных точек системы называют моментом импульса (количества движения) системы относительно точки О:

Векторы и взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости перпендикулярной оси вращения тела. Поэтому . Сучетом связи линейных и угловых величин

и направлен вдоль оси вращения тела в ту же сторону, что и вектор .

Таким образом.

Момент импульса тела относительно оси вращения

т.е.

(5.9)

Следовательно, момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения тела вокруг этой оси.

« 5.5. Второй закон Ньютона для вращательного движения и его анализ

5.7. Основное уравнение динамики вращательного движения »

Раздел: Динамика вращательного движения твердого тела, Физические основы механики

Б) Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Моментом силы относительно неподвижной точкиO называется псевдовекторная величина равная векторному произведению радиус-вектора , проведенному из точки O в точку приложения силы, на силу

Модуль момента силы:

- псевдовектор, его направление совпадает с направлением плоскости движения правого винта при его вращении от к . Направление момента силы можно также определить по правилу левой руки: четыре пальца левой руки поставить по направлению первого сомножителя , второй сомножитель входит в ладонь, отогнутый под прямым углом большой палец укажет направления момента силы . Вектор момента силы всегда перпендикулярен плоскости, в котоой лежат векторы и .

-где кратчайшее расстояния между линией действия силы и точкой О называется плечом силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина равнаяпроекции на эту ось вектора момента силы , определённого относительно произвольной точки O данной оси Z. Если ось Z перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. совпадает с направлением вектора , то момент силы представляется в виде вектора совпадающего с осью.

Ось, положение которой в пространстве остается неизменнымпривращении вокруг тела в отсутствие внешних сил, называется свободной осью тела.

Для тела любой формы и с произвольным распределением массы существует 3 взаимно перпендикулярных, проходящих через центр инерции тела оси, которые могут служить свободными осями: они называются главными осями инерции тела.

Найдем выражение для работы при вращательном движении тела. Пусть на массу m твердого тела действует внешняя сила . Тогда работа этой силы за время dt равна

Осуществим в смешанном произведении векторов циклическую перестановку сомножителей, воспользовавшись правилом

Тогда

Работа при вращении тела равна произведению момента действия силы на угол поворота . Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

Поэтому

или

Следовательно,

- уравнение динамики вращательного движения

Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то выполняется векторное равенство

І - главный момент инерции (момент инерции относительно главной оси)

 

 

Крутильные колебания

КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ - механич. колебания, при к-рых упругие элементы испытывают деформации сдвига. Имеют место в разл. машинах с вращающимися валами: в поршневых двигателях, турбинах, генераторах, редукторах, трансмиссиях транспортных машин.

К. к. возникают в результате неравномерности периодич. момента как движущих сил, так и сил сопротивления. Неравномерность крутящего момента вызывает неравномерность изменения угловой скорости вала, т. е. то ускорение, то замедление вращения. Обычно вал представляет собой чередование участков с малой массой и упругой податливостью с более жёсткими участками, на к-рых закреплены значит. массы. В каждом сечении вала будет своя степень неравномерности вращения, поскольку в одинаковый промежуток времени массы проходят разные углы и, следовательно, движутся с разными скоростями, что создаёт переменное кручение вала и динамич. знакопеременные напряжения, гл. обр. касательные.

При совпадении частот собств. колебаний системы с частотой периодич. крутящего момента движущих сил и сил сопротивления возникают резонансные колебания. В этом случае повышается уровень динамич. переменных напряжений; возрастает акустич. шум, излучаемый работающей машиной. Динамич. знакопеременные напряжения при неправильно выбранных (заниженных) размерах вала, недостаточной прочности его материала и возникновении резонанса могут превысить предел выносливости, что приведёт к усталости материала вала и его разрушению.

При расчёте К. к. валов машин часто пользуются расчётной схемой с двумя дисками, соединёнными упругим стержнем, работающим на кручение. В этом случае собств. частота

где I₁ - момент инерции 1-го диска, I₂ - момент инерции 2-го диска, С -крутильная жёсткость стержня, Для круглого стержня диаметром d и длиной l С где G - модуль сдвига. Более сложные расчётные схемы содержат большее число дисков, соединённых стержнями и образующих последоват. цепи, а иногда - разветвлённые и кольцевые цепи. Расчёт собств. частот форм и вынужденных К. к. по этим расчётным схемам производится на ЭВМ.

Др. примером К. к. является крутильный маятник, к-рый представляет собой диск, закреплённый на одном конце стержня, работающего на кручение и жёстко заделанного др. концом. Собств. частота такого маятника где I - момент инерции диска. Приборы с использованием крутильного маятника применяют для определения модуля упругости при сдвиге, коэф. внутр. трения твёрдых материалов при сдвиге, коэф. вязкости жидкости.

К. к. возникают в разнообразных упругих системах; в нек-рых случаях возможны совместные колебания с разл. видами деформации элементов системы, напр. изгибно-крутильные колебания. Так, при определ. условиях полёта под действием аэродинамич. сил иногда возникают самовозбуждающиеся изгибно-крутильные колебания крыла самолёта (т. н. флаттер), к-рые могут вызывать разрушение крыла.

Лит.: Ден-Гартог Д. П., Механические колебания, пер. с англ., М., 1960; Маслов Г. С., Расчёты колебаний валов. Справочник, 2 изд., М., 1980; Вибрации в технике. Справочник, под ред. В. В. Болотина, т. 1, М., 1978; Силовые передачи транспортных машин, Л., 1982. А. В. Синев

 

Амплитудаколебаний (лат. amplitude— величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется ша­рик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.

 

 

Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах, санти­метрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как макси­мальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).

 

 

Период колебаний.

Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, соверша­ющая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.

Другими словами, период колебаний (Т) — это время, за которое совершается одно полное ко­лебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.

 

 

За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четы­рем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах, минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).

 

 

Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющей­ся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармоничес­ких колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяю­щихся величин, например, для затухающих колебаний.

 

Частота колебаний.

Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с.

Единица частоты в СИ названа герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v) равна 1Гц, то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:

 

.

 

В теории колебаний пользуются также понятием циклической, или круговой частоты ω . Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:

 

.

 

Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.

а) Колебания. Затухающие и незатухающие

Повторяющиеся процессы определяют нашу жизнь. Зима сменяет лето, день сменяет ночь, вдох сменяет выдох. Бежит время, и его мы тоже отмеряем повторяющимися процессами. Повто­ряющиеся процессы и есть колебания.

Колебаниями называются повторяющи­еся во времени изменения физической величи­ны.

Если эти изменения повторяются через оп­ределенный интервал времени, то колебания называются «периодическими». Наименьший интервал времени T, через который повторяют­ся значения физической величины A(t), называ­ется периодом ее колебаний A(t + Т) =A(t).Число колебаний в единицу времени v называ­ется частотой колебаний. Частота колебаний и период связаны соотношением v = 1 / Т.Колебания системы, которые совершаются в от­сутствие внешнего воздействия, называются свободными. Для возбуждения колебаний необ­ходимо внешнее воздействие. Системе извне сообщается запас энергии, за счет которой и происходят колебания. Это внешнее воздействие выводит систему из положения равновесия, и в дальнейшем она совершает дви­жение около положения равновесия, уходя и возвращаясь к нему, по инерции проскакивая его. И так повторяется раз за разом. Движение в данном контексте означает измене­ние состояния. В механических системах это может быть перемещение в пространстве или изменение давления, в электрических — изменение величины заряда или напря­женности поля. Существует бесконечное множество раз­личных движений и соответствующих им колебательных процессов.

Любую систему, соверша­ющую колебательное дви­жение, именуют «осцилля­тор» (в пер. с лат.oscillo— «колеблюсь»), соответст­венно и слово «колеба­ния» часто заменяют тер­мином «осцилляции».

Если амплитуда колебаний не меняется во времени, гармо­нические колебания называются незатухающими .

Диффе­ренциальное уравнение, описывающее гармонические не­затухающие колебания, имеет вид:

d²A(t) /dt²+ω ₀²A(t) = 0.

Ȧ +ω ₀²A = 0.

Если амплитуда уменьшается с течением времени, коле­бания называются затухающими .

Часто встречающийся пример затухающих колебаний — колебания, в кото­рых амплитуда уменьшается по закону

A₀(t) =a₀e^{-β t}.

Коэффициент затухания β > 0.

1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Актуальность. Обоснование проблемы и формулировка темы проекта.
2. Внешние эффекты (экстерналии) и теорема Коуза-Стиглера. Природа и формы проявления внешних эффектов
3. Закон Гесса: формулировка, следствия, практическое значение
4. Интегральная теорема Лапласа
5. Связь поверхностного интеграла с криволинейным интегралом. Теорема Стокса
6. Теорема Гаусса в электростатике.
7. Теорема о II переносе силы. (Метод Пуансо)
8. Теорема о децентрализации. Гипотеза Тибу
9. Теорема о дифференцируемости функций
10. Теорема о проекции равнодействующей системы сил.
11. Теорема об изменении кинетической энергии.
12. Теорема об оценке двойного интеграла