Общее решение задачи о затвердевании отливки.

Данная задача в теплофизике относится к числу наиболее сложных. Эта задача с движущимся источником теплоты. Так как задача слишком сложна с точки зрения математики, то мы будем принимать различные допущения.

 

 

Для решения задачи о затвердевании отливки необходимо решить систему из двух уравнений, потому что происходит контакт двух сред.

- температуропроводность металла

- температуропроводность формы.

Принимаем что задача одномерная, то есть граница раздела металл-форма есть граница между двумя полупространствами и представляет собой плоскость, иными словами мы рассматриваем задачу затвердевания плоской отливки.

Примем что теплофизические характеристики металла и формы не зависят от температуры.

 

Начальные условия:

Принимаем, что металл имеет начальную температуру равную температуре кристаллизации, то есть металл заливается без перегрева, что потребует внесение специальной поправки.

 

Граничные условия:

а).

∞;

Внешний теплообмен отсутствует.

; ∞

На большом удалении от границы раздела температура сохраняет величину начальной .

 

б).

0; 0;

отсутствует зазор на границе раздела.

Температурное распределение не имеет точки разрыва.

 

в). ∞

∞, ; ∞

Полубесконечность отливки: в любой момент времени в некоторой удаленной от границы точке температура равна критической.

Это условие автоматически выполняется до момента конца затвердевания отливки любой толщины.

 

г).

общее решение задачи ( постановка Больцмана).

 

- функция ошибок Гаусса.

1) Функция ошибок Гаусса меняется от 0 до 1.

2) Функция ошибок Гаусса резко возрастает в нуле, а после Z=3 erfZ=1.

 

 

Рассмотрим распределение температур в форме при затвердевании отливки.

∞

- дополнительная функция ошибок.

Относительная температура в форме определяется дополненной функцией Гаусса.

 

 

В процессе прогрева формы, глубина прогрева увеличивается пропорционально корню из времени. Скорость прогрева определяется температуропроводностью формы.

Рассчитаем тепловой поток на границе металл-форма, количества тепла в единицу времени, поступающее из металла в форму.

Тепловой поток из металла в форму изменяется обратно пропорционально корню из времени, то есть затухает с течением времени, потому что прогревается форма и уменьшается градиент температур на поверхности. При этом величина теплового потока пропорциональна тепловой активности и перепаду температур в форме .

Количество отведенного формой тепла пропорционально корню из времени, тепловой активности формы и перепаду температур в форме . С течением времени количество отводимого тепла непрерывно возрастает с затухающей скоростью.

В общем случае форма отводит кроме теплоты кристаллизации, теплоту охлаждения твердой корки ниже температуры кристаллизации.

 

А) Б)

( )

- формула Хворинова.

Справедлива при малой интенсивности теплоотвода, для заливки без перегрева, при любой конфигурации отливки.

- приведенная толщина отливки.

Рассчитаем температурное поле в отливке:

;

; ;

;

= ∞ ; ∞ ;

;

;

;

;

;

; - закон квадратного корня.

Закон квадратного корня справедлив только для плоской отливки, при заливки металла без перегрева, в случае затвердевания с нулевым интервалом кристаллизации.

; ; - для плоской отливки, без перегрева, для любой интенсивности теплоотвода.

Рассчитаем температуру поверхности раздела на основе равенства тепловых потоков.

 

температура поверхности отливки не зависит от времени и определяется отношением тепловых активностей формы и металла и относительной температурой кристаллизации металла .

А) ; ;

Б) ; ;

В) ; ;

Чем больше отношение , то есть больше интенсивность теплоотвода, тем ниже температура по отношению к

;

При увеличении интенсивности теплоотвода одновременно уменьшается перепад температур в форме , в результате чего увеличение потока замедляется и происходит не пропорционально .

К- коэффициент затвердевания.

Используем граничное условие:

;

-скорость нарастания твердой корки.

- трансцендентное уравнение в котором К является аргументом двух неалгебраических функций.

Q_ф = Q_кр + Q_фщ

В общем случае форма отводит кроме теплоты кристаллизации, теплоту охлаждения твердой корки, ниже температуры кристаллизации.

а) Q_фщ → 0; б) Q_фщ 0;

Q_ф = ; ( τ = τ _з );

Q_п ≈ Q_кр; Q_кр = V_о * L *ρ _м;

τ _з = * ² * ² - формула Хворинова;

Она справедлива при малой интенсивности теплоотвода, для заливки без перегрева, при любой конфигурации отливки.

= R₀ - приведенная толщина отливки.

F₀ - теплоотводящая поверхность.

τ _з ≈ R₀² - правило Хворинова.

Рассчитываем температурное поле в отливке:

t_м = (x_м, τ ) = A + B - erf ;

x_м = 0; t_м = (0, τ ) = t_п;

t_п = A + B *0 = A;

x_м = ∞ ; t_м(∞, τ ) = t_кр; t_кр = A + B * 1 = A + B;

B = t_кр - t_п;

t_м (x_м, τ ) = t_п + (t_кр - t_п) * erf ;

θ _м (x_м, τ ) = θ _п + (θ _кр - θ _п) * ;

= ;

При X_м = ξ _м; t_м(ξ _м, τ ) = t_кр;

θ _кр = θ _п + (θ _кр - θ _п) * ;

ξ _м / = const; ξ _м = k * - закон квадратного корня;

Закон квадратного корня справедлив только для плоской отливки, при заливке металла без перегрева, в случае затвердевания с нулевым интервалом кристаллизации.

ξ _м = 0*x_o; τ = τ _з; x_o - половина толщины отливки;

τ _з = - доля плоской отливки, без перегрева, для любой интенсивности теплоотвода.

Рассчитаем температуру поверхности раздела на основе равенства тепловых потоков:

Q_a (0, τ ) = q_м (0, τ );

q_м (0, τ ) = - λ _м* _Xм=0 = ;

= ;

b_фθ _п + b_мθ _п = b_мθ _кр;

θ _п = = ;

Температура поверхности отливки не зависит от времени и определяется отношением тепловых активностей формы и металла, а так же относительной температурой кристаллизации металла θ _кр.

а) b_ф < < b_м θ _п = ≈ 0, 9*θ _кр;

б) b_ф ≈ b_м θ _п = = 0, 5*θ _кр;

в) b_ф > > b_м θ _п = = 0, 1 * θ _кр;

Чем больше отношение , то есть чем больше интенсивность теплоотвода, тем ниже температура θ _п по отношению к θ _кр.

q_ф = ;

При увеличении интенсивности теплоотвода одновременно уменьшается перепад температур в форме θ _п, в результате чего увеличение потока q_ф замедляется и происходит непропорционально b_ф.

k - коэффициент затвердевания. ξ _м = k√ τ

Используем граничное условие: X_м = ξ _м;

Lρ _м = - λ ( ) _{ξ м};

скорость наростания твердой корки;

k = * - трансцендентное уравнение, в котором k является аргументом двух неалгебраических функций.

f(k) = * ;

k = f (b_ф, b_м, a_м, t_кр, t_н, L, ρ _м);

Преобразуем это выражение к критериальному виду, введем критерии подобия, которые позволяют уменьшить число переменных и привести уравнение к обобщенному виду:

k_b = - критерий тепловой активности.

k_L = - критерий скрытой теплоты кристаллизации.

Этот критерий оценивает интенсивность выделения скрытой теплоты.

k_k = - критерий коэффициента затвердевания.

Этот критерий является мерой скорости затвердевания отливки.

k_k = * ;

k_k = f (k_b, k_L);

Если k_b < < 1, то exp(- ) = 1; erf( ) = 0;

Kk = *

Это линейное соотношение, описывающее начальный участок диаграммы для малой интенсивности теплоотвода.

τ ₃ = ;

При малой интенсивности теплоотвода получаем формулу Хворинова.

F_oз = = ; τ _з = ;

Полученные формулы справедливы при условии выполнения допущений, которые были сделаны при выводе:

· Отливка имеет плоскую конфигурацию;

· Форма является полубесконечной по толщине, то есть поглощает всю теплоту, отдаваемую отливке;

· Металл заливается без перегрева;

· Металл кристаллизуется при постоянной температуре t_кр;

· На границе между металлом и формой обеспечивается идеальный тепловой контакт, отсутствует зазор.

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I I. Цели, задачи, результаты выполнения индивидуального проекта
2. II. Основные задачи управления персоналом.
3. II. Решить следующие ниже финансовые задачи на листе “Задачи”.
4. II. Цели, задачи и предмет деятельности
5. III ГЛАВА. ИНТЕРЬЕР И АРХИТЕКТУРНО – ПРОЕКТИРОВОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ШКОЛЫ БУДУЩЕГО
6. III. Задачи, решаемые организацией с помощью ИСУ и ИТУ.
7. III. ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ И ПРИНЦИПЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ РАЙОННОЙ ОРГАНИЗАЦИИ ПРОФСОЮЗА
8. III. Экономико-управленческие задачи производственной практики
9. XIV. Общее собрание членов Товарищества (собрание уполномоченных).
10. А. П. Петрова. «Сценическая речь» - Пути воплощения сверхзадачи
11. Абстрактное как абстрактно-всеобщее определение конкретного целого
12. Анализ использования основных фондов: задачи, объекты, этапы, источники информации, основные показатели.