Интерпретация и логические отношения в логике предикатов

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 32Следующая ⇒

Интерпретация языка логики предикатов. Формулы и термы представляют собой чисто синтаксические объекты. Они имеют логическое содержание, но не имеют содержания конкретного. Чтобы наделить их конкретным содержанием, необходимо осуществить интерпретацию синтаксических конструкций нашего языка. Интерпретацией языка называют приписывание значений выражениям языка.

Процедура интерпретации может быть разделена на следующие этапы:

I. Задание класса допустимых значений нелогических символов языка. Это предполагает указать, объекты каких типов могут быть сопоставлены в качестве значений нелогическим символам различных категорий. Нелогические символы языка логики предикатов могут быть подразделены на два класса: 1) предметные, предметно-функциональные и предикаторные константы; 2) предметные (индивидные) переменные. Константы являются параметрами определенных терминов естественного языка и, следовательно, не могут связываться кванторами. Переменные могут связываться кванторами, а их свободные вхождения не являются параметрами имен и выполняют функцию неопределенных местоимений, которые можно заменять именами. При фиксированной интерпретации констант допускается варьирование значений предметных переменных.

Но прежде чем интерпретировать параметры языка, необходимо выбрать возможную реализацию языка. Ее выбор состоит, во-первых, в выборе универсума рассуждения U, который представляет собой непустое множество предметов. Во-вторых, приписывание значения нелогическим константам языка осуществляется с помощью интерпретирующей функции I. Данная функция ставит в сопоставление каждой нелогической константе некоторый объект из универсума рассуждения U. Константам различных категорий должны соответствовать объекты различных типов. Любая константа языка должна получать тот же тип значения, что и выражение соответствующей категории естественного языка.

Интерпретирующая функция I ставит в сопоставление каждой предметной константе k произвольный элемент универсума рассуждений U, т. е. имеет место , где k – метапеременная, пробегающая по предметным константам языка.

Предикаторные константы являются параметрами предикаторов естественного языка. Значениями предикаторов является множество объектов, причем элементами множеств, представленных одноместными предикаторами, являются индивиды, двух-
местными предикаторами – двойки и т. д. Приписывание значений предикаторным
константам релятивизируется относительно универсума рассуждений U. Одноместной предикаторной константе интерпретирующая функция I ставит в сопоставление произвольное множество элементов универсума рассуждения U. Таким образом, значением одноместной предикаторной константы является некоторое подмножество универсума рассуждений U. Двухместной предикаторной константе интерпретирующая функция I ставит в соответствие произвольное множество пар, состоящих из элементов универсума рассуждений U. Следовательно, каждой n-местной предикаторной константе интерпретирующая функция I ставит в сопоставление в качестве значения произвольное множество упорядоченных n-значений таких объектов, которые являются элементами универсума U, т. е. .

Интерпретируя предметно-функциональные константы, следует помнить, что они представляют собой параметры предметных функторов естественного языка. Последние представляют функции, аргументами и значениями которых являются индивиды, т. е. элементы универсума рассуждений U. Таким образом, каждой n-местной предметно-функциональной константе интерпретационная функция I ставит в сопоставление некоторую n-местную функцию , аргументами и значениями которой являются элементы универсума рассуждений U, т. е. имеет место . Обобщая все вышесказанное, можно сформулировать определение возможной реализации языка.

Возможной реализацией языка называется пара такая, что универсум рассуждений U – непустое множество, а интерпретирующая функция I должна удовлетворять условиям:

1) ;

2) ;

3) .

Возможные реализации языка логики предикатов отличаются друг от друга выбором универсума рассуждения U и интерпретирующей функции I. Их выбор строго фиксирует возможную реализацию языка и позволяет в свою очередь фиксировать значения дескриптивных констант языка – индивидных констант, функторов и предикаторов.

II. Интерпретация индивидных переменных. Эта процедура релятивизируется относительно универсума рассуждений U и связана с выбором особой функции φ, которая представляет собой функцию приписывания значений индивидным переменным.

Каждой предметной переменной в качестве значения функция φ приписывает произвольный элемент универсума рассуждений U, т. е. , где – произвольная предметная переменная.

Различные функции φ могут быть связаны с одной и той же возможной реализацией языка , что в конечном итоге может вести к варьированию значений индивидных переменных при фиксированной интерпретации констант. Функции приписывания значений индивидным переменным считаются различными, если хотя бы одной переменной они приписывают разные значения.

III. Правила приписывания значений термам. Значение терма определяется выбором реализации языка и выбором функции приписывания значений индивидным переменным φ:

III.1. Если терм tявляется предметной константой k, то его значением в возможной реализации языка при приписывании является тот индивид, который интерпретирующая функция I сопоставляет константе k, т. е. .

III.2. Если терм t является предметной переменной α, то его значением в при приписывании φ является тот индивид, который приписывается переменной α посредством φ, т. е. .

III.3. Если терм t есть сложный терм , то для того чтобы установить его значение в возможной реализации языка при приписывании , необходимо:

– найти , т. е. выделить ту операцию, которую функция интерпретации сопоставляет предметно-функциональной константе;

– найти , т. е. установить значения термов в той же реализации языка и при той же функции приписывания значений;

– применить функцию к аргументам .

Результатом этого и является значение терма в возможной реализации языка при j, т. е.

IV. Правила приписывания значений формулам. Значениями формул при произвольном приписывании j являются объекты «истина» и «ложь». Необходимо сформулировать условия истинности и ложности формул.Введем сокращения: F – формула, – значение формулы в реализации языка при приписывании значений предметным переменным функцией .

Формулы можно подразделить на три вида:

1) элементарные – ;

2) сложные, в которых главным знаком является пропозициональная связка (аналогичны формулам пропозициональной логики);

3) квантифицированные формулы, в которых главным знаком является квантор – и , где A – произвольная формула.

V. Условия истинности и ложности элементарных формул.

V.1. Если F – элементарная формула , то для установления ее значения в возможной реализации языка при приписывании надо:

– найти , т. е. выяснить, какое именно подмножество декартовой степени универсума рассуждений Uⁿ сопоставляется предикаторной константе ;

– найти , т. е. определить значения, принимаемые термами в данной реализации и при данном приписывании ;

– установить, является ли полученная таким образом последовательность объектов элементом множества .

Если данная последовательность принадлежит указанному множеству, то формула принимает значение «истина», в противном случае она принимает значение «ложь». Символически это можно изобразить посредством записей:

1) ;

2) .

V.2. Условия истинности и ложности формул, главным знаком которых является пропозициональная связка.

V.2.1. Условия истинности и ложности отрицания:

V.2.2. Условия истинности и ложности конъюнкции:

2) [11].

V.2.3. Условия истинности и ложности дизъюнкции:

V.2.4. Условия истинности и ложности материальной импликации:

V.3. Условия истинности и ложности формул, главным знаком которых являются кванторы. Выражение вида истинно тогда и только тогда, когда каждый индивид предметной области удовлетворяет условию, выраженному в A. Если же хотя бы один индивид не удовлетворяет условию, то и все выражение считается ложным. Выражение вида является истинным в случае, если существует индивид, удовлетворяющий условию A, и ложным, если ни один индивид данному условию не удовлетворяет.

Введем основные обозначения. Если – список всех отличных от предметных переменных и функция приписывания значений предметным переменным приписывает некоторый индивид u из универсума рассуждений U, а переменным – индивиды из U, то посредством будем обозначать функцию, сопоставляющую переменным те же самые элементы универсума , что сопоставляет и , а переменной – объект из U, который может не совпасть, а может и совпасть с u (значением при ). Функция приписывания отличается от приписывания не более чем значением, которое эта функция сопоставляет переменной .

Для установления значений этих формул рассматриваются все возможные приписывания y, сопоставляющие переменной различные элементы универсума рассуждений U, но оставляющие без изменений значения других предметных переменных.

Наконец, нами могут быть введены условия истинности и ложности для квантифицированных формул:

V.3.1. Условия истинности и ложности для формул вида :

1) , если и только если для любой функции , отличающейся от функции не более чем приписыванием значений для переменной , верно, что ;

2) , если и только если существует функция , отличающаяся
от функции не более чем приписыванием значений для переменной , для которой верно, что .

V.3.2. Условия истинности и ложности для формул вида :

1) , если и только если существует функция , отличающаяся
от функции не более чем приписыванием значений для переменной , для которой верно, что ;

2) , если и только если для любой функции , отличающейся от функции не более чем приписыванием значений для переменной , верно, что .

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8910 11 12 13 Следующая ⇒