Сложение гармонических колебаний

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒

1. Сложение однонаправленных колебаний.

Сложим два колебания одинаковой частоты, но различных фаз и амплитуд [11].

. (2.17)

При наложении колебаний друг на друга:

. (2.18)

Введем новые параметры и согласно уравнениям:

. (2.19)

Система уравнений (2.19) легко решается:

, (2.20)

. (2.21)

Таким образом, для окончательно получаем уравнение:

. (2.22)

Итак, в результате сложения однонаправленных колебаний одинаковой частоты получаем гармоническое (синусоидальное) колебание, амплитуда и фаза которого определяется формулами (2.20) и (2.21).

Рассмотрим частные случаи, при которых соотношения между фазами двух складываемых колебаний различны:

а) пусть , тогда ;

б) пусть , тогда ;

в) пусть , тогда .

Сложим теперь однонаправленные колебания одинаковой амплитуды, одинаковых фаз, но разной частоты:

= . (2.23)

Рассмотрим случай, когда частоты близки друг к другу, т.е. . Тогда приближенно будем считать, что , а величина малая. Уравнение результирующего колебания будет иметь вид:

. (2.24)

Его график изображен на рис. 2.2. Такое колебание называется биением.

Рис. 2.2 – Биения

Оно осуществляется с частотой , но его амплитуда совершает колебание с большим периодом.

2. Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний.

Допустим, что одно колебание осуществляется вдоль оси , другое – вдоль оси . Результирующее движение, очевидно, располагается в плоскости .

Допустим, что частоты колебаний и фазы одинаковы, а амплитуды различны.

. (2.25)

Чтобы найти траекторию результирующего движения, нужно из уравнений (2.25) исключить время. Для этого достаточно поделить почленно одно уравнение на другое, в результате получим:

. (2.26)

Уравнение (2.26) показывает, что в данном случае сложение колебаний приводит к колебанию по прямой линии, тангенс угла наклона которой определяется отношением амплитуд.

Пусть фазы складываемых колебаний отличаются друг от друга на 1/2 и уравнение имеют вид:

. (2.27)

Чтобы найти траекторию результирующего движения, исключив время, нужно уравнения (2.27) возвести в квадрат, предварительно поделив их на и соответственно, а затем сложить. Уравнение траектории примет вид:

. (2.28)

Это – уравнение эллипса. Можно доказать, что и при любых начальных фазах и любых амплитудах двух складываемых взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты результирующее колебание будет осуществляться по эллипсу. Его ориентация будет зависеть от фаз и амплитуд складываемых колебаний.

Если же складываемые колебания имеют различные частоты, то траектории результирующих движений получаются весьма разнообразными. Только в случае если частоты колебаний по и по кратны друг другу, получаются замкнутые траектории. Такие движения можно отнести к числу периодических. В этом случае траектории движений называются фигурами Лиссажу. Рассмотрим одну из фигур Лиссажу, которая получается при сложении колебаний с отношениями частот 1: 2, с одинаковыми амплитудами и фазами в начале движения:

;

. (2.29)

Вдоль оси у колебания происходят в два раза чаще, чем вдоль оси . Сложение таких колебаний приведет к траектории движения в виде восьмерки (рис. 2.3).

Рис. 2.3 – Фигура Лиссажу

Ангармонический осциллятор

Уравнение колебаний физического маятника имеет вид [14]:

, (2.30)

где ;

– масса маятника;

– его момент инерции относительно оси вращения;

– расстояние от точки подвеса до центра масс;

– ускорение свободного падения;

– угол отклонения из положения равновесия.

Разложение в ряд Тейлора:

= (2.31)

При малых углах отклонения ( ) и уравнение (2.30) переходит в уравнение гармонического осциллятора (2.1). Для уточнения решения можно учесть следующий член в разложении (2.31), тогда:

. (2.32)

Полученное уравнение может быть решено методами теории возмущений в виде:

. (2.33)

Если углы отклонения не очень велики, то правую часть уравнения (2.33) можно считать малой поправкой (возмущением). При возмущении равном нулю уравнение (2.33) переходит в (2.1) и его решение:

. (2.34)

Решением возмущенного уравнения является суперпозиция колебаний с частотами и . Решение уравнения (2.30) будет содержать набор высших гармоник. Наличие в спектре колебаний с кратными частотами (гармоник) – наиболее важная характерная черта нелинейных колебаний.

В случае не очень больших колебаний период колебаний равен:

. (2.35)

Для произвольных углов:

, (2.36)

где

, (2.37)

- полный эллиптический интеграл первого рода.

Уравнение (2.30) описывает ангармонический осциллятор. Его решение можно представить в виде суперпозиции нескольких гармонических решений. Результаты решения уравнения (2.30) представлены на рис. 2.4 (зависимость ) и на рис. 2.5 (зависимость ).

Рис.2.4 – Зависимость

Рис.2.5 – Зависимость

Любопытно поведение ангармонического осциллятора под действием внешней гармонической силы. Наличие в решении высших гармоник приводит к тому, что резонанс может наступить на различных частотах, кратных собственной частоте гармонического осциллятора. Неизохронность колебаний, то есть зависимость периода (частоты колебаний) от амплитуды приводит к тому, что при резонансе собственная частота осциллятора меняется, и он выходит из резонанса.

Параметрические колебания

Параметрическими колебаниями называются колебания, при которых происходит периодическое изменение какого-либо параметра колеблющейся системы. Если изменение параметра системы к увеличению амплитуды колебаний, то такой процесс называют параметрическим резонансом [15].

Параметрические явления можно рассмотреть на примере с качелями. Если качнуть качели, и сидящий на ней на корточках, в момент поднятия будет привставать, и как только качели перешли мертвую точку, будет садиться, в колебательный контур сообщится энергия равная изменению массы в этот момент. Для сидящего на качелях этот момент будет происходить по инерции, качели сами подкидывают тело, и приседание не вызовет затруднений так как на тело действует гравитация. Суммарная затраченная энергия будет больше, полученной. Но в сумме всех затраченных и полученных энергий кпд за единицу не перевалит. Таким образом мы создали параметрические колебания. Так же их можно создать меняя длину маятника.

Рассмотрим параметрические колебания математического маятника в общем случае, то есть при произвольном характере изменения параметра и больших колебаниях при наличии вязкого трения [14]. Уравнение движения маятника – уравнение динамики вращательного движения:

. (2.38)

Момент импульса:

. (2.39)

На систему действует два момента сил: момент силы тяжести - и момент силы трения – , где – коэффициент трения. Тогда уравнение движения принимает вид:

. (2.40)

Это нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка описывает самый общий случай параметрических колебаний. В случае малых колебаний ( ) заменой переменных , где , уравнение приводится к виду:

, (2.41)

где и .

Уравнение (2.41) – дифференциальное уравнение второго порядка с периодическим коэффициентом называется уравнением Хилла.

В частном случае, если:

, (2.42)

где , то и уравнение Хилла можно преобразовать к уравнению Матьё:

. (2.43)

Считая, что затухание отсутствует, и .

Нелинейные волны

Наиболее известными и хорошо исследованными нелинейными уравнениями математической физики являются уравнения, описывающие распространение волн в нелинейных средах [14]. Решениями таких уравнений могут быть ударные волны или солитоны – уединенные волны, обладающие свойствами частиц.

Уравнение Буссинеска:

. (2.44)

Уравнение Кортевега-де Фриза:

. (2.45)

Уравнение синус – Гордона:

. (2.46)

Нелинейное уравнение Шредингера:

. (2.47)

В качестве первого шага при исследовании нелинейных волновых уравнений часто ищут решения в виде стационарных бегущих волн, то есть волн, форма которых не зависит от времени.

Рассмотрим уравнение Кортевега-де Фриса (2.45).

Будем искать решение уравнения (2.45) в виде:

, (2.48)

где , .

Преобразовав, имеем:

. (2.49)

Введем новую переменную:

. (2.50)

Тогда:

. (2.51)

Получили уравнение осциллятора с потенциальной энергией W. Тогда – седло, точка – центр (рис. 2.6).

Рис. 2.6 – Потенциальная энергия и фазовый портрет уравнения Кортевега-де Фриза в случае стационарных волн

Волны малой амплитуды будут иметь форму близкую к синусоидальной. Волны большой амплитуды сильно нелинейны, их называют кноидальными. Движению по сепаратрисе соответствует уединенная волна – солитон.

Преобразовав уравнение (2.51) получаем:

, (2.52)

где - неполный эллиптический интеграл первого рода.

. (2.53)

Рассмотрим случай малых колебаний вблизи дна потенциальной ямы. Тогда , , , , . Тогда:

. (2.54)

Получено уравнение гармонической волны (рис. 2.6).

Рассмотрим предельный случай . Тогда , .

. (2.55)

Получено решение в виде солитона – уединенной волны – с амплитудой и шириной (рис. 2.7).

Рис. 2.7 – Сверху вниз: слабо несинусоидальная волна, кноидальная волна, солитон

Хаотические колебания

Хаотические колебания – это неупорядоченные движения, которые возникают в совершенно детерминированных нелинейных динамических системах различной природы и не связаны с действием на эти системы случайных внешних сил, в том числе и случайных шумов. Представляют собой новый класс движений, который связан часто с состоянием, получившим название странный аттрактор.

Аттрактор Лоренца – это трехмерная система нелинейных автономных дифференциальных уравнений первого порядка вида:

, (2.56)

где - параметры.

В результате численного интегрирования системы (2.56) Лоренц обнаружил, что при , и у этой динамической системы, с одной стороны, наблюдается хаотическое, нерегулярное поведение всех траекторий (рис. 2.8), а, с другой стороны, все траектории притягиваются к некоторому сложно устроенному множеству – аттрактору.

Рис. 2.8 – Зависимость координаты одной из траекторий от времени

Зафиксируем в (2.56) , и будем увеличивать , начиная с нуля. При система Лоренца имеет асимптотически устойчивую в целом стационарную точку – начало координат. К ней притягиваются все траектории (рис. 2.9).

Рис. 2.9 – Траектории системы Лоренца

Когда переваливает через единицу, происходит первая бифуркация. Начало координат теряет устойчивость и от него отделяются две новые устойчивые стационарные точки:

. (2.57)

У линеаризованной в нулевой стационарной точке системы два отрицательных и одно положительное собственное значение. В соответствии с этим у нулевой стационарной точки есть двумерный входящий ус и одномерный выходящий (рис. 2.10).

Рис. 2.10 – Траектории линеаризованной системы Лоренца

У линеаризованных в точках и систем все собственные значения отрицательны. При возрастании параметра пара отрицательных собственных значений этих систем превращается в пару комплексно сопряженных собственных значений. Это, в частности, соответствует тому, что выходящие усы G₁ и G₂ нулевой стационарной точки начинают закручиваться как спирали около стационарных точек и , соответственно (рис. 2.11).

Рис. 2.11 – Траектории системы Лоренца при возрастании

С дальнейшим ростом стационарные точки и поднимаются выше (они лежат в плоскости ), а спиралевидные траектории «разбухают». Это происходит до тех пор, пока при спирали, начинающиеся как выходящие усы нуля, попадают на его входящий ус, образуя две гомоклинические траектории Г₁ и Г₂ (рис. 2.12).

Рис. 2.12 – Гомоклинические траектории системы Лоренца

⇐ Предыдущая 1 234 5 Следующая ⇒