Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Арифметические действия в системах счисления.

Система счисления (далее СС) - совокупность приёмов и правил для записи чисел цифровыми знаками.

Наиболее известна десятичная СС, в которой для записи чисел используются цифры 0, 1,:, 9. Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчисленное множество. Любая предназначенная для практического применения СС должна обеспечивать:

· возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;

· единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);

· простоту оперирования числами;

В зависимости от способов изображения чисел цифрами, системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.

Непозиционной системой называется такая, в которой количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ей позиции в изображении числа (римская система счисления).

Позиционной системой счисления называется такая, в которой количественное значение каждой цифры зависит от её позиции в числе (арабская система счисления).

Количество знаков или символов, используемых для изображения числа, называется основанием системы счисления.
Позиционные системы счисления имеют ряд преимуществ перед непозиционными: удобство выполнения арифметических и логических операций, а также представление больших чисел, поэтому в цифровой технике применяются позиционные системы счисления.
Запись чисел может быть представлена в виде

где A(D) - запись числа A в СС D; D_i - символ системы, образующие базу.

По этому принципу построены непозиционные СС.
В общем же случае системы счисления: A(B)=a₁B₁+a₂B₂ +...+a_nB_n. Если положить, что B_i=q*B_i-1, а B₁=1, то получим позиционную СС. При q=10 мы имеем дело с привычной нам десятичной СС.
На практике также используют другие СС:

q	Название	Цифры
	двоичная	0, 1
	троичная	0, 1, 2
	восьмеричная	0,..., 7
	шестнадцатеричная	0,..., 9, A, ..., F

Каждая СС имеет свои правила арифметики (таблица умножения, сложения). Поэтому, производя какие-либо операции над числами, надо помнить о СС, в которой они представлены.
Если основание системы q превышает 10, то цифры, начиная с 10, при записи обозначают прописными буквами латинского: A, B,..., F. При этом цифре 10 соответствует знак 'A', цифре 11 - знак 'B' и т.д. В таблице ниже приводятся десятичные числа от 0 до 15 и их эквивалент в различных СС:

десятичная	двоичная	восьмеричная	шестнадцатеричная










			А
			В
			С
			D
			E
			F

В позиционной СС число можно представить через его цифры с помощью следующего многочлена относительно q:

A=a₁*q⁰+a₂*q¹+...+a_n*qⁿ (1)

Выражение (1) формулирует правило для вычисления числа по его цифрам в q-ичной СС. Для уменьшения количества вычислений пользуются т.н. схемой Горнера. Она получается поочерёдным выносом q за скобки:

A=(...((a_n*q+a_n-1)*q+a_n-2)*q+...)*q+a₁

результат вычисления многочлена будет всегда получен в той системе счисления, в которой будут представлены цифры и основание и по правилам которой будут выполнены операции.

Правила перевода целых чисел

Результатом является целое число.

Из десятичной системы счисления - в двоичную и шестнадцатеричную:

a. исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16); получается частное и остаток;

b. если полученное частное не делится на основание системы счисления так, чтобы образовалась целая часть, отличная от нуля, процесс умножения прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);

c. все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;

d. формируется результирующее число: его старший разряд - полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа - первый остаток от деления, а старший - последнее частное.

Пример1. Выполнить перевод числа 19 в двоичную систему счисления:

Пример 2. Выполнить перевод числа 19 в шестнадцатеричную систему счисления:

Пример 3. Выполнить перевод числа 123 в шестнадцатеричную систему счисления:

Из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления - в десятичную. В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле.

Пример 4. Выполнить перевод числа 13₁₆ в десятичную систему счисления. Имеем:
13₁₆ = 1*16¹ + 3*16⁰ = 16 + 3 = 19.
Таким образом, 13₁₆ = 19.

Пример 5. Выполнить перевод числа 10011₂ в десятичную систему счисления. Имеем:
10011₂ = 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16+0+0+2+1 = 19.
Таким образом, 10011₂ = 19.

Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:

a. исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;

b. каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей

Пример 6. Выполнить перевод числа 10011₂ в шестнадцатеричную систему счисления.
Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4 числа цифр. Имеем:

В соответствии с таблицей 0011₂ = 11₂ = 3₁₆ и 0001₂ = 1₂ = 1₁₆.
Тогда 10011₂ = 13₁₆.

Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:

a. каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;

b. незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.

Пример 7. Выполнить перевод числа 13₁₆ в двоичную систему счисления.
По таблице имеем: 1₁₆ = 1₂ и после дополнения незначащими нулями 1₂ = 0001₂; 3₁₆ = 11₂ и после дополнения незначащими нулями 11₂ = 0011₂. Тогда 13₁₆ = 00010011₂. После удаления незначащих нулей имеем 13₁₆ = 10011₂.

Правила перевода правильных дробей

Результатом является всегда правильная дробь.
Из десятичной системы счисления - в двоичную и шестнадцатеричную:

a. исходная дробь умножается на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16);

b. в полученном произведении целая часть преобразуется в соответствии с таблицей в цифру нужной системы счисления и отбрасывается - она является старшей цифрой получаемой дроби;

c. оставшаяся дробная часть вновь умножается на нужное основание системы счисления с последующей обработкой полученного произведения в соответствии с шагами а) и б).

d. процедура умножения продолжается до тех пор, пока ни будет получен нулевой результат в дробной части произведения или ни будет достигнуто требуемое количество цифр в результате;

e. формируется результат: последовательно отброшенные в шаге б) цифры составляют дробную часть результата, причем в порядке уменьшения старшинства.

Пример 8. Выполнить перевод числа 0, 847 в двоичную систему счисления. Перевод выполнить до четырех значащих цифр после запятой.
Имеем:

В данном примере процедура перевода прервана на четвертом шаге, поскольку получено требуемое число разрядов результата. Очевидно, это привело к потере ряда цифр.
Таким образом, 0, 847 = 0, 1101₂.

Пример 9. Выполнить перевод числа 0, 847 в шестнадцатеричную систему счисления. Перевод выполнить до трех значащих цифр.

В данном примере также процедура перевода прервана. Таким образом, 0, 847 = 0, D8D₂.

Из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления - в десятичную. В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле, причем коэффициенты a_i принимают десятичное значение в соответствии с таблицей.

Пример 10. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в десятичную числа 0, 1101₂. Имеем:
0, 1101₂ = 1*2^-1 + 1*2^-2 + 0*2^-3 +1*2^-4 = 0, 5 + 0, 25 + 0 + 0, 0625 = 0, 8125.
Расхождение полученного результата с исходным для получения двоичной дроби числом вызвано тем, что процедура перевода в двоичную дробь была прервана.
Таким образом, 0, 1101₂ = 0, 8125.

Пример 11. Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную числа 0, D8D₁₆. Имеем:
0, D8D₁₆ = 13*16^-1 + 8*16^-2 + 13*16^-3 = 13*0, 0625 + 8*0, 003906 + 13* 0, 000244 = 0, 84692.
Расхождение полученного результата с исходным для получения двоичной дроби числом вызвано тем, что процедура перевода в шестнадцатеричную дробь была прервана.
Таким образом, 0, D8D₁₆ = 0, 84692.

Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:

a. исходная дробь делится на тетрады, начиная с позиции десятичной точки вправо. Если количество цифр дробной части исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется справа незначащими нулями до достижения кратности 4;

b. каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей.

Пример 12. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0, 1101₂. Имеем:
0, 1101₂ = 0, 1101₂ В соответствии с таблицей 1101₂ = D₁₆. Тогда имеем 0, 1101₂ = 0, D₁₆.

Пример 13. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0, 0010101₂.
Поскольку количество цифр дробной части не кратно 4, добавим справа незначащий ноль: 0, 0010101₂ = 0, 00101010₂. В соответствии с таблицей 0010₂ = 10₂ = 2₁₆ и 1010₂ = A₁₆. Тогда имеем 0, 0010101₂ = 0, 2A₁₆.

Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:

a. каждая цифра исходной дроби заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей;

b. незначащие нули отбрасываются.

Пример 14. Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную числа 0, 2А₁₆.
По таблице имеем 2₁₆ = 0010₂ и А₁₆ = 1010₂. Тогда 0, 2А₁₆ = 0, 00101010₂.
Отбросим в результате незначащий ноль и получим окончательный результат: 0, 2А₁₆ = 0, 0010101₂.

Правило перевода дробных чисел

Отдельно переводится целая часть числа, отдельно - дробная. Результаты складываются.

Пример 15. Выполнить перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 19, 847. Перевод выполнять до трех значащих цифр после запятой.
Представим исходное число как сумму целого числа и правильной дроби:
19, 847 = 19 + 0, 847.
Как следует из примера 3.2, 19 = 13₁₆; а в соответствии с примером 3.9 0, 847 = 0, D8D₁₆. Тогда имеем:
19 + 0, 847 = 13₁₆ + 0, D8D₁₆ = 13, D8D₁₆.
Таким образом, 19, 847 = 13, D8D₁₆. Правила выполнения простейших арифметических действий.

Правила сложения

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево. Таблицы сложения:

Сложение в двоичной системе

+

Сложение в восьмеричной системе

+

Сложение в шестнадцатеричной системе

Пример 16. Сложить двоичные числа 1101₂ и 11011₂.
Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:
номера разрядов:

5 4 3 2 1
+ 1 1 0 1
1 1 0 1 1

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

a. разряд 1 формируется следующим образом: 1 + 1 = 10; 0 остается в разряде 1, 1 переносится во второй разряд;

b. разряд 2 формируется следующим образом: 0 + 1 + 1 = 10, где вторая 1 - единица переноса; 0 остается в разряде 2, 1 переносится в третий разряд;

c. третий разряд формируется следующим образом: 1 + 0 + 1 = 10, где вторая 1 - единица переноса; 0 остается в разряде 3, 1 переносится в разряд 4;

d. четвертый разряд формируется следующим образом: 1 + 1 + 1 = 11, где третья 1 - единица переноса; 1 остается в разряде 4, 1 переносится в пятый разряд;

e. пятый разряд формируется следующим образом: 1 + 1 = 10; где вторая 1 - единица переноса; 0 остается в разряде 5, 1 переносится в шестой разряд.

Таким образом:

1 1 0 1
+ 1 1 0 1 1
1 0 1 0 0 0

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата:
1101₂ = 1*2³ +1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 8 + 4 + 1 = 13;
11011₂ = 1*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16 + 8 + 2 + 1 = 27;
101000₂ = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 0*2¹ = 32 + 8 = 40.
Поскольку 13 + 27 = 40, двоичное сложение выполнено верно.

Пример 17. Сложить шестнадцатеричные числа 1С₁₆ и 7В₁₆.
Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:

2 1
+ 1 С
7 В

Процесс образования результата по разрядам описан ниже (он включает преобразование в процессе сложения каждой шестнадцатеричной цифры в десятичное число и обратные действия):

a. разряд 1 формируется следующим образом: С₁₆ + В₁₆ = 12 + 11 = 23 = 17₁₆; 7 остается в разряде 1; 1 переносится в разряд 2;

b. разряд 2 формируется следующим образом: 1₁₆ + 7₁₆ + 1₁₆ = 9₁₆, где вторая 1₁₆ - единица переноса.

Таким образом:

1 С
+ 7 В
9 7

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата:
1С₁₆ = 1*16¹ + 12*16⁰ = 16 + 12 = 28;
7В₁₆ = 7*16¹ + 11*16⁰ = 112 + 11 = 123;
97₁₆ = 9*16¹ + 7*16⁰ = 144 + 7 = 151.
Поскольку 28 + 123 = 151, сложение выполнено верно.

Правила вычитания

Пример 18. Вычесть из двоичного числа 101₂ двоичное число 11₂.
Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке " уменьшаемое - вычитаемое" и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:

3 2 1
- 1 0 1
1 1

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

a. разряд 1 формируется следующим образом: 1 - 1 = 0;

b. разряд 2 формируется следующим образом: поскольку 0 меньше 1 и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 3. Тогда разряд 2 рассчитывается как 10 - 1 = 1;

c. третий разряд формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, в разряде остался 0.

Таким образом:

1 0 1
- 1 1
1 0

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата. По таблице имеем::
101₂ = 5;
11₂ = 3;
10₂ = 2.
Поскольку 5 - 3 = 2, вычитание выполнено верно.

Пример 19. Вычесть из шестнадцатеричного числа 97₁₆ шестнадцатеричное число 7В₁₆.
Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке " уменьшаемое - вычитаемое" и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:

2 1
- 9 7
7 В

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

a. разряд 1 формируется следующим образом: поскольку 7 меньше В и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 2. Тогда 17₁₆ - В₁₆ = 23 - 11 = 12 = С₁₆;

b. разряд 2 формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, разряд 2 уменьшаемого стал равным 8₁₆. Тогда разряд 2 рассчитывается как 8₁₆₆ - 7₁₆ = 1₁₆.

Таким образом:

9 7
- 7 В
1 С

Для проверки результата используем данные из примера 3.17.
Таким образом, вычитание выполнено верно.

Правила умножения

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо брать из соответствующих таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе

Х

Умножение в восьмеричной системе

Х

Умножение в шестнадцатеричной системе

Пример 20. Умножить двоичное число 101₂ на двоичное число 11₂.
Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:

3 2 1
* 1 0 1
1 1

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже:

a. умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 101₂ * 1₂ = 101₂;

b. умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 101₂ * 10₂ = 1010₂. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;

c. для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 101₂ + 1010₂ = 1111₂.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения (см. таблицу):
101₂ = 5;
11₂ = 3;
1111₂ = 15.
Поскольку 5 * 3 = 15, умножение выполнено верно: 101₂ * 11₂ = 1111₂.

Пример 21. Умножить шестнадцатеричное число 1С₁₆ на шестнадцатеричное число 7В₁₆.
Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:

2 1
* 1 С
7 В

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже (в процессе умножения выполняем перевод шестнадцатеричных чисел в десятичные и обратно):

a. умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1С₁₆ * В₁₆ = 28 * 11 = 308 = 134₁₆;

b. умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1С₁₆ * 7₁₆ = 28 * 112 = 3136 = С40₁₆. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;

c. для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 134₁₆ + С40₁₆ = D74₁₆.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения, воспользовавшись результатами примера 17 и правилами формирования полного значения числа:
1С₁₆ = 28;
7В₁₆ = 123;
D74₁₆ = 13*162 + 7*161 + 4*160 = 3444.
Поскольку 28 * 123 = 3444, умножение выполнено верно: 1С₁₆ * 7В₁₆ = D74₁₆.

Правила деления

Рассмотрим правила деления только для двоичных чисел, поскольку деление шестнадцатеричных чисел проще выполнять, переведя их предварительно в десятичную систему счисления.
Пример 22. Разделить двоичное число 1111₂ на двоичное число 11₂.
Решение задачи представим схемой:

Для проверки правильности результата воспользуемся данными из примера 20. Они показывают, что деление выполнено верно: 1111₂ / 11₂ = 101₂.

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒