Аппроксимация табличных значений математической формулой.

На первом уроке уже было рассмотрено, как с помощью " мастера диаграмм" аппроксимировать исходные данные математической формулой. Во многих случаях исходные данные имеют форму таблиц, в которых данные постоянны в определенных интервалах. С такими таблицами мы уже сталкивались в данном уроке. Как представить таблицу графически? Рассмотрим это на примере таблицы 1.8.

Функция (в данном случае Группа скоростей) имеет постоянное значение в определенном интервале.

Таблица 1.8 Группа скоростей подачи комбайна и соответствующая ей скорость подачи

 

Группа рабочих скоростей комбайна	Средние рабочие скорости подачи, м/мин	Группа рабочих скоростей комбайна	Средние рабочие скорости подачи, м/мин
	до 0, 387		1, 061-1, 220
	0, 388-0, 448		1, 221-1, 420
	0, 449-0, 512		1, 421-1, 668
	0, 513-0, 590		1, 669-1, 950
	0, 591-0, 680		1, 951-2, 286
	0, 681-0, 790		2, 287-2, 710
	0, 791-0, 910		2, 711-3, 220
	0, 911-1, 060		3, 221-3, 820

 

Перепишем таблицу, указав начало и конец каждого интервала (таблица 1.9).

 

Таблица 1.9 Измененная по форме таблица 1.8

 

Средние рабочие скорости подачи, м/мин	Группа рабочих скоростей комбайна	Средние рабочие скорости подачи, м/мин	Группа рабочих скоростей комбайна	Средние рабочие скорости подачи, м/мин	Группа рабочих скоростей комбайна
0, 378		0, 911		1, 951
0, 388		1, 06		2, 286
0, 448		1, 061		2, 287
0, 449		1, 22		2, 71
0, 512		1, 221		2, 711
0, 513		1, 42		3, 22
0, 681		1, 421		3, 221
0, 79		1, 668		3, 82
0, 791		1, 669
0, 91		1, 95

 

Известным приемом EXCEL построим график зависимости группы скоростей от величины скорости подачи комбайна (рис. 1.9).

 

Рис. 1.9 Зависимость группы скоростей от скорости подачи комбайна

Анализ графика позволяет заключить, что наиболее близко отвечает табличным значениям логарифмическая зависимость. Таким образом, зависимость группы рабочих скоростей от рабочей скорости комбайна имеет вид G = 6, 58Ln(v)+7, 99

где v средняя рабочая скорость комбайна, м/мин.

Однако, группа рабочих скоростей может принимать только целое значение, а приведенная формула этого не обеспечивает. В расчетах следует принимать целое значение (округлять до ближайшего целого значения).

Запись этой операции в EXCEL выглядит как

=округл(6, 58*Ln(" ячейка для v" )+7, 99; 0).

При аппроксимации табличных значений математической формулой следует обратить внимание на начальные и конечные параметры таблицы. Так, если в приведенной выше формуле задать значение скорости подачи комбайна 4 м/мин, то получим значение группы скоростей 18. Но такая группа не предусмотрена! Следовательно, указанная формула должна иметь пределы применения. В исходной таблице указано, что при скорости комбайна до 0, 387 м/мин G = 1, при скорости 3, 821 и более G = 17.

Запишем программу нахождения группы рабочих скоростей комбайна при известной средней скорости подачи.

 

	А	В
	Средняя скорость подачи комбайна, м/мин
	Группа рабочих скоростей	=если(В1< 0, 388; 1; еслиВ1< 3, 821; округл(6, 58*Ln(В1)+7, 99; 0); 17))

 

Задание на самостоятельную работу

Составьте EXCEL-программу и убедитесь, что при средней скорости подачи 3 м/мин группа скоростей составит 15, а при скорости 4, 5 соответственно 17.

 

Полученную формулу можно использовать и при " ручном" счете. Тогда она имеет вид:

При v < 0, 388 G = 1

При 0, 388 < v < 3, 821 G = 6, 59Ln(v)+7, 99

При v > = 3, 821 G = 17

 

 

Использование данных, заданных графически

 

Рассмотрим этот случай на конкретном примере.

На рис. 3.2. " Инструкции по безопасному ведению горных работ на пластах, опасных по внезапным выбросам угля, породы и газа" (Минуглепром СССР, Москва, 1989), приведена номограмма для определения ширины зоны опорного давления. На приведенном ниже рисунке показана эта номограмма для диапазона мощности пласта от 0, 5 м до 3, 0 м.

Рис. 1.10 Зависимость размера зоны опорного давления от глубины

работ и мощности пласта

Если необходимо использовать эту зависимость в дальнейших вычислениях, то как использовать ее в программировании?

Прежде всего, график необходимо преобразовать в таблицу. В данном случае это двухмерная таблица.

Таблица 1.10 Табличные значения данных диаграммы рис. 1.10

 

Глубина работ	М о щ н о с т ь п л а с т а, м
0, 5		1, 5		2, 5
	19, 5			35, 2		44, 3
			43, 8		56, 3
	33, 3	44, 3			66, 9	73, 3
	38, 4			66, 7
	41, 6	52, 5		70, 6		86, 6
	44, 3		64, 3		81, 7	89, 4

 

 

Таблицу можно непосредственно ввести в программу, как это рассмотрено выше. Но возникает одна сложность - имеются данные о размере зоны опорного давления при глубинах 200, 400 и т.д. Через 200 м, данные имеются только при фиксированных значениях мощности пласта. А как быть, если, например, глубина разработки 900 м и мощность пласта 1, 8 м? Выход один - на графике проводить интерполяцию между известными значениями. Но это на графике, а как быть при программировании?

Возможны два приема: а) множественная регрессия, б) аппроксимация по одной переменной и интерполирование по другой.

Рассмотрим эти случаи.

Множественная регрессия.

Искомое регрессионное уравнение имеет вид

y = а+bx₁+cx₂+dx₃+.....ix_i

где а свободный член

b, c, d...…i коэффициенты при переменных

Как видно, речь идет о линейной регрессии, т.е. влияние каждой переменной должно быть линейным. Если зависимость не линейна - необходимо таким образом преобразовать параметр x, чтобы привести зависимость к линейному виду. Для этого можно заменить x на 1/x (если вид зависимости гиперболический, на Ln(x) - если вид зависимости логарифмический, на x^к, если зависимость степенная или ввести новые переменные x², x³ и.т.п., если зависимость полиномиальная.

В данном случае явно видно, что зависимость размера зоны L_оп от глубины работ Н не является линейной. Установим вид зависимости L_оп от Н. Для этого по данным таблицы строим график с помощью " Мастера диаграмм" (рис. 1.11) и устанавливает уравнение тренда. Достаточно рассмотреть крайние кривые рисунка.

Рис. 1.11 Зависимость размера зоны опорного давления от глубины

работ и мощности пласта (график построен по данным таблицы 1. )

 

Запишем возможные уравнения и величины R².

степенная 5, 7038x^{0, 3943} R² = 0, 9819

логарифмическая 25, 598Ln(x) - 90, 763 R² = 0, 9979

полиномиальная 26, 15-4E-05x² + 0, 1049x R² = 0, 9956

Наиболее подходит для данного случая логарифмическая зависимость L_оп от Н. Перестроим таблицу, заменив Н на Ln(H) и построим график в новых координатах.

Таблица 1.11 Преобразованная таблица 1.10

 

Ln(H)	М о щ н о с т ь п л а с т а, м
0, 5		1, 5		2, 5
5, 298317	19, 5			35, 2		44, 3
5, 991465			43, 8		56, 3
6, 39693	33, 3	44, 3			66, 9	73, 3
6, 684612	38, 4			66, 7
6, 907755	41, 6	52, 5		70, 6		86, 6
7, 090077	44, 3		64, 3		81, 7	89, 4

 

 

Рис.1.12 Зависимость размера зоны опорного давления от логарифма глубины работ и мощности пласта (по данным таблицы 1.11)

В данном случае без анализа видно, что зависимость линейная.

Теперь установим форму зависимости размера зоны опорного давления от мощности пласта. Для этого на основании исходной таблицы построим графики зависимости L_оп от m.

Наглядно, что зависимость носит линейный характер.

И так. Искомое уравнение будем находить для переменных Ln(H) и m.

1. Построим в EXCEL регрессионную таблицу по данным таблицы исходной. В самой левой колонке расположим H, в следующей Ln(H), затем m и L_оп.

Рис. 1.13 Зависимость размера зоны опорного давления от мощности

пласта и глубины работ (по данным таблицы 1. )

Данные таблицы формируем так, чтобы было удобно копировать их из исходной таблицы. Так, вначале вносятся данные о размере зоны при мощности пласта 0, 5 м и глубинах от 200 м до 1200 м, затем данные при тех же глубинах, но мощности пласта 1, 0 м. Когда все данные о функции внесены, вычисляется величина Ln(H) (команда - =Ln(" ячейка для Н" )).

 

Таблица 1.12 Регрессионная таблица

 

	А	В	С	D
	Н	Ln(H)	m	Lоп
		5, 298317	0, 50	19, 5
		5, 991465	0, 50
		6, 39693	0, 50	33, 3
		6, 684612	0, 50	38, 4
		6, 907755	0, 50	41, 6
		7, 090077	0, 50	44, 3
		5, 298317	1, 00
		5, 991465	1, 00
		6, 39693	1, 00	44, 3
		6, 684612	1, 00
		6, 907755	1, 00	52, 5
		7, 090077	1, 00
		5, 298317	1, 50
		5, 991465	1, 50	43, 8
		6, 39693	1, 50
		6, 684612	1, 50
		6, 907755	1, 50
		7, 090077	1, 50	64, 3
		5, 298317	2, 00	35, 2
		5, 991465	2, 00
		6, 39693	2, 00
		6, 684612	2, 00	66, 7
		6, 907755	2, 00	70, 6
		7, 090077	2, 00
		5, 298317	2, 50
		5, 991465	2, 50	56, 3
		6, 39693	2, 50	66, 9
		6, 684612	2, 50
		6, 907755	2, 50
		7, 090077	2, 50	81, 7
		5, 298317	3, 00	44, 3
		5, 991465	3, 00
		6, 39693	3, 00	73, 3
		6, 684612	3, 00
		6, 907755	3, 00	86, 6
		7, 090077	3, 00	89, 4

 

В главной строке активизируем окно " Сервис". В выползающем меню активизируем строку " Анализ данных". В выпавшем меню " Инструменты анализа" активизируем строку " Регрессия".

Появляется шаблон для ввода " Входной интервал по Y" и " Входной интервал для Х". Ставим курсор в окошко " Входной интервал для Y", в регрессионной таблице выделяем столбец для Lоп (D2: D37).

Ставим курсор в окошко " Входной интервал для Х", в регрессионной таблице выделяем столбцы для Ln(H) и m (В2: С37). Нажимаем на клавишу " Ok" в шаблоне.

В новом листе EXCEL выводятся итоги вычислений.

ВЫВОД ИТОГОВ (таблица 1.13).

Таблица 1.13 Вывод итогов

Регрессионная статистика	Y-пересечение	-101, 702
Множественный R	0, 98856421	Переменная X1	20, 27473
R-квадрат	0, 97725919	Переменная X2	15, 29714

 

В нашем случае - множественный коэффициент регрессии 0, 98856421, R² - 0, 97725919, свободный член уравнения -101, 7, коэффициент при первой переменной (Ln(H)) 20, 27473, коэффициент при второй переменной m 15, 29714.

Таким образом, уравнение, аппроксимирующее номограмму, можно записать в виде

L_оп = -101, 7 + 20, 27Ln(H)+15, 3m

Формула применима при мощности пласта от 0, 5 м до 3, 0 м, глубине работ от 200 м до 1200 м.

Это уравнение можно использовать в программе и при ручном счете.

 

Программа расчета размера зоны опорного давления имеет вид:

 

	А	В
	Исходные данные
	Мощность пласта, м
	Глубина работ, м
	Вычисления
	Размер зоны опорного давления, м	=-101, 7+20, 27*Ln(B3)+15, 3*В2

 

В рассмотренном случае мы имели дело с двумя переменными. Рассмотренный метод аппроксимации может использоваться для достаточно большого количества переменных.

Задание на самостоятельную работу

1. Запишите в EXCEL регрессионную таблицу, получите регрессионное уравнение, запишите программу вычисления L_оп и убедитесь, что при мощности пласта 1, 5 м и глубине работ 600 м размер зоны опорного давления составит 50, 91516 м.

2. В приведенной ниже таблице 1.14 показаны величины затрат С_к на сооружение костров для охраны штрека при различных величинах мощности пласта m, сменной тарифной ставки рабочего Т, стоимости 1 м³ крепежного леса Ц и числа рядов костров N.

Постройте в EXCEL регрессионную таблицу и убедитесь, что уравнение множественной регрессии С_к=f(m, T, Ц, N) имеет вид

C_к=-955, 44+394, 08m+0, 64T+1, 415Ц+482, 55

Таблица 1.14 Результаты наблюдений за величиной затрат на сооружение костров

 

Стоимость сооружения охранного ряда костров на 1 м выработки, грн	Мощность пласта, м, m	Сменная тарифная ставка рабочего, грн, Т	Стоимость 1 м3 крепежного леса, грн, Ц	Число рядов костров, N
482, 55	1, 2
	1, 2
403, 73
1447, 65	1, 2
521, 96	1, 3
324, 92	0, 8
624, 1	1, 2
501, 85	1, 2
553, 32	1, 2
469, 68	1, 2
907, 19	1, 2
965, 1	1, 2

 

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. II.2.6. Методы математической статистики
2. Алгоритм построения математической модели.
3. Аппроксимация в виде системы линейно независимых функций
4. Аппроксимация экспериментальных данных
5. Взвешивание вербальных (словесных) значений
6. Выбор конструктивного типа движителя, ориентировочных значений скорости хода судна и диаметра гребного винта.
7. Выбор наилучшей математической модели для осуществления прогноза и доверительные интервалы прогноза
8. Диаграмма значений показателя
9. Диапазоны высоких и низких значений баллов теста Айзенка
10. Для расчета сумм, средних и других итоговых значений используйте автосуммирование и соответствующие функции.
11. ЕН.02 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ