Методы вычисления определителей любого порядка

 

Определение. Минором М_ij элементы а_ij определителя DА порядка n называется новый определитель порядка (n-1) полученный из данного после вычеркивания строки и столбца, содержащих данный элемент а_ij.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента а_ij определителя DА называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)^i+j, т.е.

А_ij = (-1)^i+j × М_ij

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические элементы.

DА = а_i1 × A_i1 + а_i2 × A_i2 + … + а_in × A_in – разложение определителя по i-ой строке

DА = а_1j × A_1j + а_2j × A_2j + … + а_nj × A_nj – разложение определителя по j-ому столбцу.

Разложение определителя по элементам ряда

 

Применяя разложение по строкам или столбцам к определителям порядка (n-1), (n-2) и т.д., можно свести вычисление определителя порядка n к вычислению конечного числа определителей 2-го порядка.

С целью упрощения вычислений, прежде чем применить разложение определителя по формулам, можно обратить в нуль все элементы некоторого его ряда за исключением одного, используя свойство 8 определителей. При этом в разложении останется единственное слагаемое.

Пример. Вычислить определитель

Решение.

Обратим все элементы первого столбца определителя в нуль, кроме первого (а₁₁ = 1). Для чего элементы первой строки умножим последовательно на (-3), (-1) и 2 и сложим соответственно с элементами второй, третьей и четвертой строк.

Вынесем за знак определителя 2 – общий множитель элементов четвертой строки и разложим определитель по элементам первого столбца.

= 2 (а₁₁А₁₁ + а₂₁А₂₁ + а₃₁А₃₁ + а₄₁А₄₁)

Отличным от нуля является лишь первое слагаемое, поэтому

D = 2 × а₁₁А₁₁ = 2 × 1 × (-1)¹⁺¹ × М₁₁ = 2

Вычисляя определитель третьего порядка по правилу треугольников, окончательно получим: D = 2 × (-24) = -48

 

2. Преобразование определителя к треугольному виду

 

Данный метод основан на использовании свойства 9 определителей.

Пример. Вычислить определитель

Решение. Используя свойство 8, преобразуем определитель к треугольному виду, т.е. так, чтобы под его главной диагональю стояли нули.

Элементы первой строки умножим последовательно на (-3), (-1) и 2 и сложим соответственно с элементами второй, третьей и четвертой строк.

Вынесем за знак определителя 2 – общий множитель элементов четвертой строки и поменяем местами вторую и третью строки.

Вторую строку умножим последовательно на (-7) и 3 и сложим соответственно с третьей и четвертой строками.

Вынесем за знак определителя 3 и 2 – общие множители элементов третьей и четвертой строк соответственно.

К элементам четвертой строки прибавим соответствующие элементы третьей.

Перемножая элементы главной диагонали полученного треугольного определителя, окончательно получим:

D = - 12 × 4 = - 48

 

Обратная матрица

 

Определение. Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.

Определение. Матрица А^-1 называется обратной для матрицы А, если выполняется условие

А^-1 × А = А × А^-1 = Е

Для составления обратной матрицы введем следующие понятия:

1. А^д – матрица дополнений, которая состоит из алгебраических дополнений каждого элемента матрицы А.

2. А* - союзная или присоединенная матрица, которая является транспонированной для матрицы дополнений, т.е.

А* = (А^д)^т

Теорема. Если матрица невырожденная, то обратная для нее матрица А^-1 вычисляется по формуле

 

Алгоритм построения обратной матрицы

 

Для построения обратной матрицы А^-1 матрицы А нужно:

1. Вычислить определитель матрицы А, причем det А ¹ 0

2. Найти алгебраические дополнения элементов а_ij матрицы А и составить матрицу дополнений А^д.

3. Составить союзную матрицу А*, транспонируя матрицу А^д.

4. Составить обратную матрицу

Пример. Найти обратную матрицу А^-1, если

А =

Решение.

Вычислим определитель матрицы А

det A= = - 27 ¹ 0

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А.

а₁₁ = 1, М₁₁ = = -3, А₁₁ = (-1)¹⁺¹ (-3) = -3

а₁₂ = 2, М₁₂ = = 6, А₁₂ = (-1)¹⁺² × 6 = - 6

а₁₃ = 2, М₁₃ = = -6, А₁₃ = (-1)¹⁺³ (-6) = - 6

а₂₁ = 2, М₂₁ = = 6, А₂₁ = (-1)²⁺¹ (6) = - 6

а₂₂ = 1, М₂₂ = = - 3, А₂₂ = (-1)²⁺² (-3) = - 3

а₂₃ = -2, М₂₃ = = - 6, А₂₃ = (-1)²⁺³ (-6) = 6

а₃₁ = 2, М₃₁ = = - 6, А₃₁ = (-1)³⁺¹ (-6) = - 6

а₃₂ = -2, М₃₂ = = - 6, А₃₂ = (-1)³⁺² (-6) = 6

а₃₃ = 1, М₃₃ = = - 3, А₃₃ = (-1)³⁺³ (-3) = - 3

Составим матрицу дополнений

А^д =

Найдем союзную матрицу

А* = (А^д)^т =

Построим обратную матрицу

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. А15. Вычисления массовой доли химического элемента в веществе.
2. Административные правонарушения в области охраны историко-культурного наследия. Правонарушения против порядка использования топливно-энергетических ресурсов (Гл. 19,20)
3. Белки является способность образовывать более высокого порядка структуры, такие как разветвленные сети.
4. Билет 1 Определители второго порядка и их свойства
5. Бросок клюшки или любого предмета в пределах игровой площадки
6. Ввод формулы. Вычисления по формулам
7. ВЕДОМОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ КООРДИНАТ ВЕРШИН ТЕОДОЛИТНОГО ХОДА
8. Виды формул в классической логике предикатов первого порядка
9. Возникновение нового порядка
10. Вычисления с помощью формул и функций.
11. Глава IV. Преступления против порядка управления
12. Гос-ва-члены имеют право огранич-ть свободу передвиж-я услуг по мотивам общ-го порядка, общ. безоп-ти.