Билет 1 Определители второго порядка и их свойства

Билет 1 Определители второго порядка и их свойства

Определителем второго порядка, соответствующим матрице,

называется число, равное a11a22 − a12a21 и обозначается как

Сввойства:

1.1. Значение определителя не изменится, если:

- строки заменить на столбцы, такое действие называется транспонирование, т.е. действия, выполняемые со строками, справедливы и для столбцов;

- все элементы одной строки умножить на какое-либо число и прибавить к соответствующим элементам другой строки.

1.2. Определитель меняет знак на противоположный, если две каких-либо строки поменять местами.

1.3. Определитель равен нулю, если:

- все элементы какой-либо строки равны нулю;

- соответствующие элементы каких-либо двух строк равны;

- соответствующие элементы каких-либо двух строк пропорциональны.

Билет 2 Определители третьего порядка и их свойства

Определителем 3-го порядка называется выражение

Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, который получится, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, содержащие данный элемент.

Алгебраическим дополнением данного элемента называется его минор, умноженный на ( - 1)^k, где k - сумма номеров строки и столбца, содержащих данный элемент.

Верна общая теорема: определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя 3-го порядка представляет собой сумму двух слагаемых, то и определитель можно представить в виде суммы двух слагаемых, например:

	a₁	b₁	c₁ + d₁
a₂	b₂	c₂ + d₂
a₃	b₃	c₃ + d₃

	a₁	b₁	c₁
a₂	b₂	c₂
a₃	b₃	c₃

	a₁	b₁	d₁
a₂	b₂	d₂
a₃	b₃	d₃

Билет 3 Векторы. Основные определения

• Вектор – это направленный отрезок прямой.

• Нулевой вектор – это любая точка плоскости или пространства.

• Длина вектора - это неотрицательное число, равное длине отрезка АВ.

• Два вектора называют коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

• Два коллинеарных вектора и называют сонаправленными, если их направления совпадают и обозначают.

• Два вектора называются равными, если они сонаправленные и их длины равны.

• Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны.

Билет 4 Действия над векторами

Сложение векторов.

Суммой двух векторов и является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения (правило параллелограмма).

Свойства сложения.

1^о. + = + (переместительный закон).

2^о. + ( + ) = ( + ) + = ( + ) + (сочетательный закон).

3^о. + (–) + .

Вычитание векторов.

Под разностью векторов и понимают вектор = – такой, что + = . (из конца b в конец а)

Умножение вектора на число.

Произведением вектора на скаляр k называется вектор

= k = k,

имеющий длину ka, и направление, которого:

1. совпадает с направлением вектора , если k > 0;

2. противоположно направлению вектора , если k < 0;

3. произвольно, если k = 0.

Свойства умножения вектора на число.

1^о. (k + l) = k + l.

k( + ) = k + k.

2^o.k(l) = (kl).

3^o.1 = , (–1)  = – , 0  = .

Проекция вектора на ось.

Теорема 3. Проекция вектора на ось (направленная прямая) l равна произведению длины вектора на косинус угла между направлением вектора и направлением оси, т.е. = a  cos  ,  =  (, l).

Билет 7 Линейная зависимость и независимость векторов

Набор векторов называется системой векторов.

Система из векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что

(1.1)

Система из векторов называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства (1.1) тривиальная.

Билет 8 Деление отрезка в заданном отношении

Билет 9 Векторное произведение векторов

Вектор называется векторным произведением неколлинеарных векторов и , если:

1) его длина равна произведению длин векторов и на синус угла между ними: (рис.1.42);

2) вектор ортогонален (перпендикулярен) векторам и ;

3) векторы , , (в указанном порядке) образуют правую тройку

Алгебраические свойства векторного произведения

Для любых векторов , , и любого действительного числа :

1. ;

2 .;

3. .

Применение

Установление коллинеарности векторов

Особый случ расп плоск

1)D=0 L-прох чере начало корд.2)A=0; L||OX

3)B=0 ||OY 4)C=0 ||OZ; 5)A=D=0 – прох чер OX

6)B=D=0 через OY 7) C=D=0 через OZ 8)A=B=0 ||XOZ 9)A=C=0 ||XOZ 10)B=C=0 ||YOZ 11)A=B=D=0 – плоск XOY 12) A=C=D=0 – XOZ 13) B=C=D=0 –ZOY.

19.Растояние точки до прямой

Если в декартовой системе кординат задана прямая на плоскости Oxy и точка M(x₁, y₁) то расстояние высчитывается по формуле:

D = |(r₁-r₀, n)|/|n| или ρ (M₀, l)=|Ax₀+By₀+C|/(A²+B²)^1/2

20.Угол между двумя прямыми

L₁: (x-a₁)/m₁=(y-b₁)/n₁=(z-c₁)/p₁.

L₂: (x-a₂)/m₂=(y-b₂)/n₂=(z-c₂)/p₂.

S₁=(m₁; n₁; p₁), S₂=(m₂; n₂; p₂).

(S₁, S₂)=|S₁|*|S₂|*Cos(α );

Cos(α )=(S₁, S₂)/|S₁|*|S₂| =

(m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂)/(m₁²+n₁²+p₁²)^1/2*)/(m₂²+n₂²+p₂²)^1/2

Гипербола.

Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух фокусов есть величина постоянная, равная 2а.

r₁ - r₂= 2а

Простейшее уравнение гиперболы

Здесь a - действительная полуось гиперболы, b - мнимая полуось гиперболы.

Если 2c - расстояние между фокусами гиперболы, то между a, b и c существует соотношение

a² + b² = c².

При b = a гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

x² - y² = a².

Фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к длине ее действительной оси.

Асимптоты гиперболы - две прямые, определяемые уравнениями

Парабола

Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и от директрис.

; ; y²=2px – уравнение параболы

Р – называется параметром параболы.

Параметр параболы равен расстоянию от директрисы параболы, до её фокуса.
Координаты фокуса F( ; 0) (фокус параболы лежит на ее оси симметрии).

Уравнение директрисы – Х= - .

Цилиндрические поверхности

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная перемещением прямой, параллельной какому-либо вектору и скользящей по всем точкам некоторой кривой второго порядка.

Прямая, параллельная вектору, называется образующей.

Кривая второго порядка называется направляющей.

Свойства цилиндрических поверхностей:

Если некоторая точка принадлежит поверхности, описываемой уравнением F(x, y) = 0, то все точки прямой, проходящей через эту точку || оси OZ, так же принадлежат цилиндрической поверхности.

Уравнение в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, || оси OZ направляющей является эллипс с полуосями а и в.

В частности уравнение х² + у²= R² в трехмерном пространстве определяет круглый цилиндр.

Уравнение y²=2px в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, || оси OZ, направляющей является парабола.

Конические поверхности

Конические поверхности – это поверхности, образованные перемещением прямой, закрепленной в одной точке и пересекающей все точки направляющей.

Сечения конической поверхности

Уравнения конусов второго порядка

Эллиптический параболоид

Эллиптический параболоид – поверхность, описываемая уравнением вида

YOZ: y²=2pz (относится к самому первому рисунку)

Вращаем вокруг оси OZ

х² + у²= 2pZ – параболоид вращения

x=const – парабола
у= const– парабола

z= const – окружность

1) X=h

парабола

2) Y=h парабола

3) Z=h

откуда эллипс

34.Двуполостный гиперболоид (рис. 4.21)

Каноническое уравнение:

a = b - двуполостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

Асимптотический конус:

Наименование гиперболоид происходит от того,

что среди сечений этой поверхности есть гиперболы.

Эти сечения представляются уравнениями:

Поверхность состоит из двух разобщенных полостей, отсюда и название — Двуполостный гиперболоид

Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями: либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо точка, либо .

35. Гиперболический параболоид

Поверхность, представляемая уравнением

при (p > 0, q > 0), носит название гиперболический параболоид.

Сечения плоскостями XOZ и YOZ (главные сечения — это параболы).

(2)

(3)

Параболы (2 и 3) обращены вогнутостью в противоположные стороны.

Поверхность имеет седлообразный вид. Гиперболический параболоид не имеет центра. Он симметричен относительно плоскостей XOZ и YOZ и относительно оси OZ. Прямая OZ называется осью гиперболического параболоида. Гиперболический параболоид не является поверхностью вращения.

36. Комплексные числа, основные понятия

Ко́ мпле́ ксные чи́ сла (устар. Мнимые числа), — расширение поля вещественных чисел, обычно обозначается C. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x+iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица.

Мнимая единица — обычно комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице.

Что может быть записано для любой степени в виде:

где n — любое целое число.

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел R, как и любые другие конструкции поля разложения многочлена

Теорема 1

Если определитель матрицы отличен от нуля, т.е. Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формуле:

Понятие матрицы

Основные понятия и обозначения. Пусть m и n два произвольных натуральных числа. Матрицей размера m на n (записывается так m x n)называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа - номер строки и номер столбца.

Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами: - элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции (i, j). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом

Приведём некоторые обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем:

- множество всех матриц размера m на n;

- матрица A с элементами в позиции (i, j);

- матрица размера m на n.

Элементы , где i=j, называются диагональными, а элементы , где - внедиагональными. Совокупность диагональных элементов , где k = min (m, n), называется главной диагональю матрицы.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом O.

Заметим, что для каждого размера существует своя нулевая матрица.

Матрица размера n на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагональные элементы равны нулю.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей и обозначается символом I или E.

Матрица размера называется матрицей-строкой или вектор-строкой. Матрица размера называется матрицей столбцом или вектор-столбцом.

Действия над матрицами

1.Суммой двух матриц одинакового размера A=(a_ij) и B=(b_ij) называется матрица C,

у которой (c_ij)=(a_ij+b_ij), и записывают C = A + B.

2.Произведением матрицы A=(a_ij) на число k называется такая матрица C=(c_ij), у которой (c_ij) = (ka_ij).

Для операции произведение матрицы на число справедливы следующие соотношения:

1. kA=Ak; 2. k(A+B)=Ak+Bk; 3. ; 4.

3. Если A=(a_ij)_mxp, а B=(b_ij)_pxn, то произведением матрицы A на матрицу B назовем матрицу C, каждый элемент которой вычисляют по формуле:

C = AxB = (a_ij)_mxpx(b_ij)_pxn=(a_s1b_1k+a_s2b_2k+...+a_skb_sk)_mxn=(c_ij)_mxn

Из определения 12 видно, что каждый элемент матрицы C = AB, расположенный в s -ой строке и k -ом столбце равен сумме произведений элементов s -ой строки матрицы A на элементы k -го столбца матрицы B.

4. Матрица B, у которой все элементы равны элементам матрицы A по абсолютной величине, но имеют противоположные знаки по сравнению со знаками соответствующих элементов матрицы A, называется противоположной матрице A и записывается B=(-1)(a_ij).

5. Если в некоторой матрице A поменять местами столбцы и строки, то полученная матрица будет называться транспонированной и обозначается A_т.

6. Обратной по отношению к матрице A называется такая матрица, для которой выполняется равенство AA^-1 = A^-1A = E

7. Если выполняется равенство A = A_т, то такая матрица называется симметрической.

42. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида: где числа a_ij называются коэффициентами системы, числа b_i— свободными членами. Подлежат нахождению числа x_n. Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме AX=B. Здесь А — матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;

A = ; X = — вектор-столбец из неизвестных x_j. B = — вектор-столбец из свободных членов b_i.

Произведение матриц А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов =

Решением системы называется n значений неизвестных х₁=c₁, x₂=c₂, ..., x_n=c_n, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца C =

Метод Гаусса

Определение. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множество всех их решений совпадает.

Определение. Элементарные преобразования системы уравнений — это:

1. Вычеркивание из системы тривиальных уравнений, т.е. таких, у которых все коэффициенты равны нулю;

2. Умножение любого уравнения на число, отличное от нуля;

3. Прибавление к любому i-му уравнению любого j-то уравнения, умноженного на любое число.

Определение. Переменная x_i называется свободной, если эта переменная не является разрешенной, а вся система уравнений — является разрешенной.

Теорема. Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную.

Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.

Итак, метод Гаусса состоит из следующих шагов:

1. Рассмотрим первое уравнение. Выберем первый ненулевой коэффициент и разделим все уравнение на него. Получим уравнение, в которое некоторая переменная x_i входит с коэффициентом 1;

2. Вычтем это уравнение из всех остальных, умножая его на такие числа, чтобы коэффициенты при переменной x_i в остальных уравнениях обнулились. Получим систему, разрешенную относительно переменной x_i, и равносильную исходной;

3. Если возникают тривиальные уравнения (редко, но бывает; например, 0 = 0), вычеркиваем их из системы. В результате уравнений становится на одно меньше;

4. Повторяем предыдущие шаги не более n раз, где n — число уравнений в системе. Каждый раз выбираем для «обработки» новую переменную. Если возникают противоречивые уравнения (например, 0 = 8), система несовместна.

В результате через несколько шагов получим либо разрешенную систему (возможно, со свободными переменными), либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая:

1. Число переменных равно числу уравнений. Значит, система определена;

2. Число переменных больше числа уравнений. Собираем все свободные переменные справа — получаем формулы для разрешенных переменных. Эти формулы так и записываются в ответ.

Свойства

1. Вещественные числа можно складывать, и при этом выполняются следующие законы:
α +β =β + α (коммутативный),

Ǝ (α +β )+γ =α +(β +γ )(ассоциативный),

Ǝ 0: α +0=0(существование нуля),

Ǝ (-α ): α +(-α )=0(существование противоположного элемента.

2. Вещественные числа можно перемножать, и при этом выполняются следующие законы:

α *β =β *α (коммутативный),

(α *β )*γ = α *(β *γ )(ассоциативный),

Ǝ 1: α *1=α (существование едининцы),

Ǝ : α * =1(существование обратного элемента).

α /β =α *

α *(β +γ )=α *β +α *γ (дистрибуция)

3. Каждое вещественное число, отличное от нуля, либо положительно, либо отрицательно. При этом сумма и произведение положительных чисел — положительное числа.
Если α — положительное число, то (-α ) — отрицательное, а если α — отрицательное число, то (-α ) — положительное.

4. Каждое вещественное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби, и при этом каждая бесконечная десятичная дробь является записью некоторого вещественного числа. Разные вещественные числа имеют разные десятичные записи.

Предел последовательности)

Последовательностью назыв. совокупность чисел каждому из которого соотв. определенный номер, причем одному и тому же числу могут соотв. разные номера.

В математике пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.

Предел числовой последовательности: число А назыв. пределом последовательности {аn}, если для любого исп. малого положительного эпсила найдется такое N что для n выполнится неравенство / аn – A / < e

Последовательности:

1.монотонно возрастающие аn+1 ≥ аn

2. монотонно убывающие аn+1 ≤ аn

Последовательность {аn}, называется ограниченной сверху если найдется такое число М что начиная с некоторого момента аn < = M

Последовательность {аn}, называется ограниченной снизу если найдется такое число М что начиная с некоторого момента аn > = M.

Всякая возрастающая не ограниченная сверху последовательность имеет предел и этот предел – точная верхняя грань.

47 (Верхние и нижний грани множеств)

верхняя грань (граница) множества — число , такое что .

нижняя грань (граница) множества — число , такое что

Верхняя грань некоторого множества действительных чисел - наименьшее число, ограничивающее сверху это множество. Нижняя грань данного множества - наибольшее число, ограничивающее его снизу.

Пусть имеется некоторое множество вещественных чисел М, число а называется точной верхней гранью множества М если для любого " х Î М выполнено 2 условия:

1) х ≤ а

2) " e > 0 $х Î М х > а - e

Число а называется точной нижней гранью множества М если для любого " х Î М выполняется 2 условия:

1) х ≥ а

2) " e > 0 $х Î М х > а + e

Частичный предел)

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо ее подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность имеющая предел. Очевидно, что только определенная точка множества элементов подпоследовательности может быть ее частичным пределом, а также обратное (для доказательства будем брать dn = 1/n и, выбирая в каждой d-окрестности предельной точки член последовательности, построим таким образом сходящуюся к этой точке подпоследовательность)

Нижним пределом последовательности (обозначается или ) называется наименьший элемент множества частичных пределов последовательности, а верхним пределом ( или ) — наибольший элемент.

Не во всяком множестве существуют наибольший или наименьший элемент; примером может служить интервал . Однако утверждается, что у ограниченной последовательности верхний и нижний пределы существуют.

Докажем это утверждение для верхнего предела. По теореме Больцано — Вейерштрасса множество частичных пределов ограниченной последовательности не пусто. Пусть — верхняя грань множества частичных пределов. Тогда заметим, что , а это означает, что в любой окрестности точки находится бесконечно много членов последовательности. Поскольку утверждение верно для любого , мы можем сказать, что в любой окрестности точки содержится бесконечно много членов последовательности (так как в любой окрестности мы можем найти точку ). Значит, по определению является предельной точкой последовательности, а стало быть, и её частичным пределом, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается случай нижнего предела.

Последовательность сходится к тогда и только тогда, когда , так как получается, что — единственная предельная точка множества элементов последовательности

Второй замечательный предел

или

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство для натуральных значений x

Докажем вначале теорему для случая последовательности

По формуле бинома Ньютона:

Полагая , получим:

(1)

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывает, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом

(2).

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

Усилим полученное неравенство, заменим 3, 4, 5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

Поэтому (3).

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): .

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

12 3 4 5 6 7 Следующая ⇒