Системы m линейных уравнений с n неизвестными

Понятие совместности системы уравнений

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а₁_nx_n = b₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а₂_nx_n = b₂ (2)

……………………………….

а_m₁х₁ + а_m₂х₂ + … + а_mnx_n = b_m

Определение: Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, если же система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет больше одного решения.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы уравнений).

Система m линейных уравнений с n неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, r(A) = r (В) = r, где r называется рангом системы, причем

1. если r = n, то система имеет единственное решение, т.е. определена;

2. если r < n, то система имеет бесконечное множество решений, т.е. система не определена.

Понятие общего решения системы уравнений

Рассмотрим систему уравнений (2) и будем считать, что она совместна, т.е. r(А) = r(В) = r и пусть r< n.

Рассмотрим какой-нибудь базисный минор основной матрицы А, выделим в нем произвольную строку, элементы которой есть коэффициент при r неизвестных в одном из уравнений системы. Эти неизвестные, например, х₁, х₂, …, х_r назовем базисными, тогда остальные (n-r) неизвестных, т.е. х_r₊₁, х_r₊₂, …, х_n назовем свободными переменными.

Выразим все базисные неизвестные через свободные в выбранной системе r уравнений, получим:

Присвоим свободным переменным произвольные действительные значения с_i, где , тогда получим общее решение системы уравнений (х₁, х₂, …, х_r, с₁, с₂, …, с_n_-_r)

Количество наборов r базисных неизвестных из n переменных определяется числом базисных миноров.

Пример. Исследовать систему уравнений на совместность и найти ее общее решение.

х₁ + 5х₂ + 4х₃ + 3 х₄ = 1

2х₁ - х₂ + 2х₃ - х₄ = 0

5х₁ + 3х₂ + 8х₃ + х₄ = 1

Решение. Определим ранги матриц А и В, для чего выпишем расширенную матрицу В и приведем ее к ступенчатому виду

В =

Умножим последовательно первую строку на (-2) и (-5) и сложим соответственно со второй и третьей строками. Получим эквивалентную матрицу

В ~

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-2), тогда

В ~

Число ненулевых строк матриц А и В равно двум, r(А) = r(В) = r = 2, следовательно, по теореме Кронекера-Капелли система совместна, но т.к. r = 2 < n = 4, она имеет бесконечное множество решений.

Ранг системы r = 2, а это значит, что базисные миноры матрицы А имеют порядок, равный двум, каждый из которых определяет набор базисных неизвестных.

Выпишем базисные миноры матрицы А

М₁ = = -1 ¹ 0, х₁, х₂ – первый набор базисных неизвестных;

М₂ = = -6 ¹ 0, х₁, х₃ – второй набор базисных неизвестных;

М₃ = = -7 ¹ 0, х₁, х₄ – третий набор базисных неизвестных;

М₄ = = 14 ¹ 0, х₂, х₃ – четвертый набор базисных неизвестных;

М₅ = = -2 ¹ 0, х₂, х₄ – пятый набор базисных неизвестных;

М₆ = = -10 ¹ 0, х₃, х₄ – шестой набор базисных неизвестных.

Таким образом, существует шесть вариантов общего решения системы уравнений.

Для примера рассмотрим первый вариант, соответствующий базисному минору М₁.

а) х₁ и х₂ – базисные неизвестные; х₃ и х₄ – свободные переменные. Пусть х₃ = с₁, х₄ = с₂, с₁, с₂ Î R.

Из ступенчатой матрицы В восстановим систему уравнений, равносильную исходной

х₁ + 5х₂ + 4х₃ + 3х₄ = 1

-11х₂ - 6х₃ - 7х₄ = -2

Умножим второе уравнение на (-1) и с учетом введенных обозначений перепишем систему в виде

х₁ + 5х₂ = 1 - 4с₁ - 3с₂

11х₂ = 2 - 6с₁ - 7с₂

Выразим базисные неизвестные х₁ и х₂ через свободные переменные. Так как система уравнений имеет треугольный вид, ее удобно решать методом Гаусса.

Из последнего уравнения находим

Подставляя это значение х₂ в первое уравнение для х_1, получим

Таким образом, первый вариант общего решения будет иметь вид

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вариант	Номера заданий
	1, 11, 21, 31, 41
	2, 12, 22, 32, 42
	3, 13, 23, 33, 43
	4, 14, 24, 34, 44
	5, 15, 25, 35, 45
	6, 16, 26, 36, 46
	7, 17, 27, 37, 47
	8, 18, 28, 38, 48
	9, 19, 29, 39, 49
	10, 20, 30, 40, 50

В заданиях с № 1 по № 16 вычислите определители.

№ 1. № 2.

№ 3. № 4.

№ 5. № 6.

№ 7. № 8.

№ 9. № 10.

№ 11. № 12.

№ 13. № 14.

№ 15. № 16.

В заданиях с № 17 по № 19 вычислите обратную матрицу для данной

№ 17.

А = А_-1=?

№ 18.

А = А_-1=?

№ 19.

А = А_-1=?

В заданиях с № 20 по № 22 решите матричные уравнения.

№ 20.

№ 21.

№ 22.

В заданиях с № 23 по № 24 установить линейную зависимость векторов.

№ 23. № 24.

= (2, -3, 1) = (5, 4, 3)

= (3, -1, 5) = (3, 3, 2)

= (1, -4, 3) = (8, 1, 3)

№ 25. Найти все значения l, при которых вектор линейно выражается через векторы , где

= (2, 3, 5)

= (3, 7, 8)

= (1, -6, 1)

= (7, -2, l)

В заданиях с № 26 по № 30 решите систему методом Гаусса:

№ 26.

3х₁ - 2х₂ - 5х₃ + х₄ = 3

2х₁ - 3х₂ + х₃ + 5х₄ = -3

х₁ + 2х₂ - 4х₄ = -3

х₁ - х₂ - 4х₃ + 9х₄ = 22

№ 27.

4х₁ - 3х₂ + х₃ + 5х₄ = 7

х₁ - 2х₂ - 2х₃ - 3х₄ = 3

3х₁ - х₂ + 2х₃ = -1

2х₁ + 3х₂ + 2х₃ - 8х₄ = -7

№ 28.

2х₁ - 2х₂ + х₄ + 3 = 0

2х₁ + 3х₂ + х₃ + 3х₄ + 6 = 0

3х₁ + 4х₂ - х₃ + 2х₄ = 0

х₁ + 3х₂ + х₃ - х₄ - 2 = 0

№ 29.

х₁ + х₂ - 6х₃ - 4х₄ = 6

3х₁ - х₂ - 6х₃ - 4х₄ = 2

2х₁ + 3х₂ + 9х₃ + 2х₄ = 6

3х₁ + 2х₂ + 3х₃ + 8х₄ = -7

№ 30.

2х₁ - 3х₂ + 3х₃ + 2х₄ -3 = 0

6х₁ + 9х₂ - 2х₃ - х₄ - 4 = 0

10х₁ + 3х₂ - 3х₃ - 2 х₄ - 3 = 0

8х₁ + 6х₂ + х₃ + 3х₄ + 7 = 0

В заданиях с № 31 по № 40 исследовать совместность системы и найти ее общее решение.

№ 31.

2х₁ + 7х₂ + 3х₃ + х₄ = 1

3х₁ + 5х₂ + 2х₃ + 2х₄ = 4

9х₁ + 4х₂ + х₃ + 7х₄ = 2

№ 32.

2х₁ - 3х₂ + 5х₃ + 7х₄ = 1

4х₁ - 6х₂ + 2х₃ + 3х₄ = 2

2х₁ - 3х₂ - 11х₃ - 15х₄ = 1

№ 33.

3х₁ + 4х₂ + х₃ + 2х₄ = 3

6х₁ + 8х₂ + 2х₃ + 5х₄ = 7

9х₁ + 12х₂ + 3х₃ + 10х₄ = 13

№ 34.

3х₁ - 2х₂ + 5х₃ + 4х₄ = 2

6х₁ - 4х₂ + 4х₃ + 4х₄ = 3

9х₁ - 6х₂ + 3х₃ + 2х₄ = 4

№ 35.

2х₁ - х₂ + 3х₃ - 7х₄ = 5

6х₁ - 3х₂ + х₃ - 4х₄ = 7

4х₁ - 2х₂ + 14х₃ - 31х₄ = 18

№ 36.

9х₁ - 3х₂ + 5х₃ + 6х₄ = 4

6х₁ - 2х₂ + 3х₃ + х₄ = 5

3х₁ - х₂ + 3х₃ + 14х₄ = -8

№ 37.

2х₁ - х₂ + х₃ + 2х₄ + 3х₅ = 2

6х₁ - 3х₂ + 2х₃ + 4х₄ + 5х₅ = 3

6х₁ - 3х₂ + 4х₃ + 8х₄ + 13х₅ = 9

4х₁ - 2х₂ + х₃ + х₄ + 2х₅ = 1

№ 38.

6х₁ + 4х₂ + 5х₃ + 2х₄ + 3х₅ = 1

3х₁ + 2х₂ + 4х₃ + х₄ + 2х₅ = 3

3х₁ + 2х₂ - 2х₃ + х₄ = -7

7х₁ + 6х₂ + х₃ + 3х₄ + 2х₅ = 2

№ 39.

3х₁ - 5х₂ + 2х₃ + 4х₄ = 2

7х₁ - 4х₂ + х₃ + 3х₄ = 5

5х₁ - 7х₂ - 4х₃ - 6х₄ = 3

№ 40.

х₁ + х₂ - 2х₃ = 1

5х₁ + 5х₂ - 10х₃ = 5

х₁ - х₂ - х₃ = 2

В заданиях с № 41 по № 50 вычислить одно неизвестное.

№ 41.

2х₁ + 2х₂ - х₃ + х₄ = 4

4х₁ + 3х₂ - х₃ + 2х₄ = 6 х₁ =?

8х₁ + 5х₂ - 3х₃ + 4х₄ = 12

3х₁ + 3х₂ - 2х₃ + 2х₄ = 6

№ 42.

2х₁ + 3х₂ + 11х₃ + 5х₄ = 2

х₁ + х₂ + 5х₃ + 2х₄ = 1 х₃ =?

2х₁ + х₂ + 3х₃ + 2х₄ = -3

х₁ + х₂ + 3х₃ + 4х₄ = -3

№ 43.

2х₁ + 5х₂ + 4х₃ + х₄ = 20

х₁ + 3х₂ + 2х₃ + х₄ = 11 х₂ =?

2х₁ + 10х₂ + 9х₃ + 7х₄ = 40

3х₁ + 8х₂ + 9х₃ + 2х₄ = -37

№ 44.

2х + у + 4z + 8t = -1

х + 3y - 6z + 2t = 3 y =?

3х - 2y + 2z - 2t = 8

2х - y + 2z = 4

№ 45.

2х - y - 6z + 3t + 1 = 0

7х - 4y + 2z - 15t + 32 = 0 x =?

х + 2y - 4z + 9t - 5 = 0

х - y + 2z - 6t + 8 = 0

№ 46.

6х + 5y - 2z + 4t +4= 0

9х - y + 4z - t - 13 = 0 t =?

3х + 4y + 2z - 2t - 1 = 0

3х - 9y + 2t - 11 = 0

№ 47.

2х₁ + 2х₂ - х₃ - х₄ = 4

4х₁ + 3х₂ - х₃ + 2х₄ = 1 х₃ =?

2х₁ + х₂ + 3х₃ + 2х₄ = -3

х₁ + х₂ + 3х₃ + 4х₄ = -3

№ 48.

2х₁ + 3х₂ + 11х₃ + 5х₄ = 2

х₁ + х₂ + 5х₃ + 2х₄ = 1 х₂ =?

2х₁ + х₂ + 3х₃ + 2х₄ = -3

х₁ + х₂ + 3х₃ + 4х₄ = -3

№ 49.

2х - y - 6z + 3t+ 1 = 0

7х - 4y + 2z - 15t + 32 = 0 t =?

х - 2y - 4z + 9t - 5 = 0

х - y + 2z - 6t + 8 = 0

№ 50.

2х + y + 4z + 8t = -1

х + 3y - 6z + 2t = 3 z =?

3х - 2y + 2z - 2t = 8

2х - y + 2z = 4

Литература

1. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2012.

2. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. М.: Высшая школа, 1986. Ч. 2.

3. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.: «Дело», 2013.

4. Жуков В.М. Практические занятия по математике: теория, задания, ответы. Ростов н/Д: Феникс, 2012. 343с.

⇐ Предыдущая 1 2 34