Понятие определителей матриц

Стр 1 из 4Следующая ⇒

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Болдыревский П.Б.

Зимина С.В.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано методической комиссией Института экономики и предпринимательства ННГУ для студентов, обучающихся по направлению подготовки 38.03.02 «Менеджмент»

Нижний Новгород 2016

УДК 517.958 (075)

ББК В311

П-16

П-16 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА: Автор: Болдыревский П.Б., Зимина С.В. учебно-методическое пособие. - Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2015. - 31 с.

Рецензент: д.э.н., профессор Д.Н. Лапаев.

Учебно-методическое пособие «Линейная алгебра» подготовлено для студентов, обучающихся по специальности 38.03.02 «Менеджмент». Оно содержит основные понятия линейной алгебры, а также основные методы вычисления определителей матриц и решения систем линейных уравнений. Для закрепления теоретических знаний по линейной алгебре в данном пособии приведены контрольные задания.

Ответственная за выпуск:

председатель методической комиссии Института экономики и предпринимательства, Е.Н. Летягина.

УДК 517.958 (075)

ББК В311

© Нижегородский государственный

университет им. Н.И. Лобачевского, 2015

Содержание

Введение
1. Понятие матриц
2. Операции над матрицами
3. Понятие определителей матриц
4. Свойства определителей
5. Методы вычисления определителей любого порядка
6. Обратная матрица
7. Простейшие матричные уравнения
8. Ранг матрицы
9. Вычисление ранга матрицы
10. Системы n линейных уравнений с n неизвестными. Методы их решения
11. Системы m линейных уравнений с n неизвестными
Контрольные задания
Список литературы

Введение

Дисциплина линейная алгебра входит в цикл математических дисциплин направлений подготовки экономика и менеджмент и направлена на формирование соответствующих общекультурных и профессиональных компетенций. Пособие ориентировано на развитие у студентов компетенций ОПК-2 (способность осуществлять анализ и обработка данных, необходимых для решения профессиональных задач) и ОПК-3 (способность выбирать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, анализировать результаты расчетов и обосновывать полученные выводы) образовательного стандарта специальности 38.03.02 «Менеджмент».

Владение инструментами линейной алгебры позволяет студенту и специалисту рассматривать и анализировать такие задачи экономического содержания как модель Леонтьева (балансовый анализ), линейная модель торговли и ряд других. В представленном учебно- методическом пособии содержится необходимый теоретический материал, а также приведено достаточное количество типовых задач с решениями и примеров, формирующих фонд оценочных знаний по данной дисциплине.

Понятие матриц

Определение 1. Матрицей размера (m х n) (m и n – натуральные числа) называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Строки и столбцы матрицы называются рядами.

Элементы матрицы обозначают a_ij, где i – номер строки, j – номер столбца.

Если в матрице А m=n, то она называется квадратной порядка n и записывается

Элементы а₁₁, а₂₂, …, а_nn образуют главную диагональ матрицы А_n.

Виды квадратных матриц:

;

В_n - треугольная матрица;

D_n – диагональная матрица;

E_n – единичная матрица;

О_n – нулевая матрица.

Операции над матрицами

Определение 2. Матрицы одного размера А = (а_ij) и В = (b_ij) называются равными, если равны их соответствующие элементы, т.е. а_ij = b_ij

1. Сложение матриц

Определение 3. Суммой (разностью) матриц А = (а_ij) и В = (b_ij) одного размера называется матрица С, элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов матриц А и В, т.е. с_ij = а_ij + b_ij

Пример. Найти сумму матриц×

А = и В =

Решение

С = А + В =

Операция сложения матриц обладает следующими свойствами:

1. А + В = В + А;

2. (А + В) + С = А + (В + С).

2. Умножение матрицы на число

Определение 4. Произведением матрицы А = (а_ij) на вещественное число К называется матрица С = (сij) той же размерности, элементы которой равны произведению числа К на соответствующие элементы матрицы А, т.е. с_ij = к × а_ij

Пример. Найти произведение матрицы

А = на число К = 3

Решение

С = К × А =

Операция умножения матрицы на число обладает свойствами:

1. a(bА) = (ab)А;

2. a(А+В) = aА + aВ;

3. (a+b)А = aА + bА, (a и b - действительные числа).

3. Умножение матриц

Определение 5. Произведением матрицы А = (а_ip) размера (m x n) на матрицу В = (b_pj) размера (n x p) называется матрица С = (с_ij) размера (m x p), элементы которой равны сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В, т.е.

с_ij = а_i₁b₁_j + а_i₂b₂_j +… + а_i_рb_р_j (1)

Причем, матрицу А можно умножать на матрицу В тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Пример. Найти произведение матриц

А = и В =

Решение. Размер матрицы А - (2 х 3), размер В - (3 х 2). Число столбцов А равно числу строк В: умножение возможно. При этом размер матрицы С = А х В - (2 х 2).

Найдем элементы с_ij матрицы С по формуле (1).

с₁₁ = а₁₁b₁₁ + а₁₂b₂₁ +а₁₃b₃₁ = 1 × 1 + 2 × 0 + 0 × 2 = 1;

с₁₂ = а₁₁b₁₂ + а₁₂b₂₂ +а₁₃b₃₂ = 1 × 2 + 2 × 1 + 0 × 2 = 4;

с₂₁ = а₂₁b₁₁ + а₂₂b₂₁ +а₂₃b₃₁ = 3 × 1 + 1 × 0 + 1 × 2 = 5;

с₂₂ = а₂₁b₁₂ + а₂₂b₂₂ +а₂₃b₃₂ = 3 × 2 + 1 × 1 + 1 × 2 = 9.

Таким образом

С =

Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:

1. (АВ)С = А(ВС);

2. (А + В)С = АС + ВС;

3. В общем случае АВ ¹ ВА.

Замечание: Свойством коммутативности обладают произведения

АЕ = ЕА = А,

А × О = ОА = О,

где Е и О – единичная и нулевая матрицы соответственно.

4. Транспонирование матрицы

Определение 6. Если в матрице А = (а_ij) размера (m х n) строчки и столбцы поменять местами, то полученная при этом матрица А^т = (а_ji) размера (n х m) называется транспонированной.

Пример. Транспонировать матрицу

А =

Решение. Операция транспонирования матрицы А осуществляется следующим образом: первая строка матрицы А становится первым столбцом матрицы А^т, вторая строка А – вторым столбцом А^т, т.е.

А^т =

Решение.

det A = = 1 × 4 - 2 × 3 = -2

Определитель матрицы А = (а_ij) третьего порядка вычисляется по правилу треугольников (Сарруса)

det A = = (а₁₁а₂₂а₃₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ + а₂₁а₁₃а₃₂) - (а₁₃а₂₂а₃₁ + а₁₂а₃₃а₂₁ + а₁₁а₂₃а₃₂)

Пример. Вычислить определитель матрицы А =

Решение. Для вычисления определителя воспользуемся правилом треугольников.

det A = = (1 × 5 × 9 + 2 × 6 × 7 + 4 × 3 × 9) - (3 × 5 × 7 + 4 × 2 × 6 + 1 × 6 × 8) = 0

Свойства определителей

1. Определитель произведения матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц, т.е.

det (A × B) = det A × det B

2. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, т.е.

det A = det A^т

3. При перестановке двух параллельных рядов местами определитель изменяет свой знак на противоположный.

4. Общий множитель элементов одного ряда можно вынести за знак определителя.

5. Определитель, имеющий два одинаковых параллельных ряда, равен нулю.

6. Если элементы двух параллельных рядов определителя пропорциональны, то он равен нулю.

7. Если определитель имеет ряд из одних нулей, то он равен нулю.

8. Если к элементам какого-либо ряда определителя прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины.

9. Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие ниже (выше) главной диагонали, – нули, равен произведению элементов главной диагонали.

Решение.

Обратим все элементы первого столбца определителя в нуль, кроме первого (а₁₁ = 1). Для чего элементы первой строки умножим последовательно на (-3), (-1) и 2 и сложим соответственно с элементами второй, третьей и четвертой строк.

Вынесем за знак определителя 2 – общий множитель элементов четвертой строки и разложим определитель по элементам первого столбца.

= 2 (а₁₁А₁₁ + а₂₁А₂₁ + а₃₁А₃₁ + а₄₁А₄₁)

Отличным от нуля является лишь первое слагаемое, поэтому

D = 2 × а₁₁А₁₁ = 2 × 1 × (-1)¹⁺¹ × М₁₁ = 2

Вычисляя определитель третьего порядка по правилу треугольников, окончательно получим: D = 2 × (-24) = -48

2. Преобразование определителя к треугольному виду

Данный метод основан на использовании свойства 9 определителей.

Пример. Вычислить определитель

Решение. Используя свойство 8, преобразуем определитель к треугольному виду, т.е. так, чтобы под его главной диагональю стояли нули.

Элементы первой строки умножим последовательно на (-3), (-1) и 2 и сложим соответственно с элементами второй, третьей и четвертой строк.

Вынесем за знак определителя 2 – общий множитель элементов четвертой строки и поменяем местами вторую и третью строки.

Вторую строку умножим последовательно на (-7) и 3 и сложим соответственно с третьей и четвертой строками.

Вынесем за знак определителя 3 и 2 – общие множители элементов третьей и четвертой строк соответственно.

К элементам четвертой строки прибавим соответствующие элементы третьей.

Перемножая элементы главной диагонали полученного треугольного определителя, окончательно получим:

D = - 12 × 4 = - 48

Обратная матрица

Определение. Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.

Определение. Матрица А^-1 называется обратной для матрицы А, если выполняется условие

А^-1 × А = А × А^-1 = Е

Для составления обратной матрицы введем следующие понятия:

1. А^д – матрица дополнений, которая состоит из алгебраических дополнений каждого элемента матрицы А.

2. А* - союзная или присоединенная матрица, которая является транспонированной для матрицы дополнений, т.е.

А* = (А^д)^т

Теорема. Если матрица невырожденная, то обратная для нее матрица А^-1 вычисляется по формуле

Решение.

Вычислим определитель матрицы А

det A= = - 27 ¹ 0

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А.

а₁₁ = 1, М₁₁= = -3, А₁₁ = (-1)¹⁺¹ (-3) = -3

а₁₂ = 2, М₁₂= = 6, А₁₂ = (-1)¹⁺² × 6 = - 6

а₁₃ = 2, М₁₃= = -6, А₁₃ = (-1)¹⁺³ (-6) = - 6

а₂₁ = 2, М₂₁= = 6, А₂₁ = (-1)²⁺¹ (6) = - 6

а₂₂ = 1, М₂₂= = - 3, А₂₂ = (-1)²⁺² (-3) = - 3

а₂₃ = -2, М₂₃= = - 6, А₂₃ = (-1)²⁺³ (-6) = 6

а₃₁ = 2, М₃₁= = - 6, А₃₁ = (-1)³⁺¹ (-6) = - 6

а₃₂ = -2, М₃₂= = - 6, А₃₂ = (-1)³⁺² (-6) = 6

а₃₃ = 1, М₃₃= = - 3, А₃₃ = (-1)³⁺³ (-3) = - 3

Составим матрицу дополнений

А^д =

Найдем союзную матрицу

А* = (А^д)^т =

Построим обратную матрицу

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А размера (m x n)

Минором к-ого порядка матрицы А будем называть определитель порядка к, элементами которого являются элементы матрицы А, стоящие на пересечении любых К строк и любых К столбцов. Очевидно, к £ min (m, n).

Определение. Рангом r(A) матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля.

Определение. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен ее рангу, называется базисным минором.

Определение. Матрицы, имеющие одинаковые ранги, называются эквивалентными.

Вычисление ранга матрицы

Определение. Матрица называется ступенчатой, если под первым ненулевым элементом каждой ее строки стоят нули в нижележащих строках.

Теорема. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Таким образом, преобразуя матрицу к ступенчатому виду, несложно определить ее ранг. Эта операция осуществляется с помощью элементарных преобразований матрицы, которые не изменяют ее ранга:

- умножение всех элементов ряда матрицы на число l ¹ 0;

- замена строк столбцами и наоборот;

- перестановка местами параллельных рядов;

- вычеркивание нулевого ряда;

- прибавление к элементам некоторого ряда соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на любое действительное число.

Пример. Вычислить ранг матрицы

А =

Решение. Преобразуем матрицу к ступенчатому виду. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-3).

А ~

К четвертой строке прибавим третью.

А ~

Число ненулевых строк в полученной эквивалентной матрице равно трем, следовательно r(А) = 3.

Методы их решения

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными.

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а₁_nx_n = b₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а₂_nx_n = b₂ (1)

……………………………….

а_n₁х₁ + а_n₂х₂ + … + а_nnx_n = b_n

Определение: Решением системы (1) называется совокупность чисел (х₁, х₂, …, х_n), которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы (1).

A =

Матрица В, состоящая из элементов матрицы А и столбца свободных членов системы (1), называется расширенной матрицей.

В =

Матричный метод

Рассмотрим матрицы

Х = - матрица неизвестных;

С = - матрица свободных членов системы (1).

Тогда по правилу умножения матриц систему (1) можно представить в виде матричного уравнения

А × Х = С (2)

Решение уравнения (2) изложено выше, то есть Х = А^-1 × С, где А^-1 – обратная матрица для основной матрицы системы (1).

Метод Крамера

Система n линейных уравнений с n неизвестными, главный определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, которое находится по формулам:

где D = det А – определитель основной матрицы А системы (1), который называется главным, Dх_i получаются из определителя D заменой i-ого столбца столбцом из свободных членов, т.е.

D = ;

Dх₁ = ;

Dх₂= ; …;

Dх_n = ;

Пример. Решить систему уравнений методом Крамера

2х₁ + 3х₂ + 4х₃ = 15

х₁ + х₂ + 5х₃ = 16

3х₁ - 2х₂ + х₃ = 1

Решение.

Вычислим определитель основной матрицы системы

D = det A = = 44 ¹ 0

Вычислим вспомогательные определители

Dх₁ = = 0;

Dх₂ = = 44;

Dх₃ = = 132.

По формулам Крамера найдем неизвестные

; ; .

Таким образом, х₁ = 0; х₂ = 1; х₃ = 3.

Метод Гаусса

Суть метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы, т.е. в приведении основной матрицы системы к треугольному виду, когда под ее главной диагональю стоят нули. Это достигается с помощью элементарных преобразований матрицы над строчками. В результате таких преобразований не нарушается равносильность системы и она приобретает также треугольный вид, т.е. последнее уравнение содержит одну неизвестную, предпоследнее две и т.д. Выражая из последнего уравнения n-ую неизвестную и с помощью обратного хода, используя ряд последовательных подстановок, получают значения всех неизвестных.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса

3х₁ + 2х₂ + х₃ = 17

2х₁ - х₂ + 2х₃ = 8

х₁ + 4х₂ - 3х₃ = 9

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем, содержащуюся в ней матрицу А к треугольному виду.

В =

Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных выражений при последующих вычислениях

В ~

Первую строку полученной матрицы умножим последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом В будет иметь вид:

В ~

После умножения второй строки на и сложения ее с третьей строкой матрица А примет треугольный вид. Однако чтобы упростить вычисления можно поступить следующим образом: умножим третью строку на (-1) и сложим со второй. Тогда получим:

В ~

Далее, умножая вторую строку матрицы на 10 и складывая с третьей, окончательно получим:

В ~

Восстановим из полученной матрицы В систему уравнений, равносильную данной

х₁ + 4х₂ - 3х₃ = 9

х₂- 2х₃ = 0

- 10х₃ = -10

Из последнего уравнения находим Найденное значение х₃ = 1 подставим во второе уравнение системы, из которого х₂ = 2х₃ = 2 × 1 = 2.

После подстановки х₃ = 1 и х₂ = 2 в первое уравнение для х₁ получим х₁ = 9 - 4х₂ + 3х₃ = 9 - 4 × 2 + 3 × 1 = 4.

Итак, х₁ = 4, х₂ = 2, х₃ = 1.

Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.

Проверка:

3 × 4 + 2 × 2 + 1 = 17 верно

2 × 4 - 2 + 2 × 1 = 8 верно

4 + 4 × 2 - 3 × 1 = 9 верно

Итак, система решена верно.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вариант	Номера заданий
	1, 11, 21, 31, 41
	2, 12, 22, 32, 42
	3, 13, 23, 33, 43
	4, 14, 24, 34, 44
	5, 15, 25, 35, 45
	6, 16, 26, 36, 46
	7, 17, 27, 37, 47
	8, 18, 28, 38, 48
	9, 19, 29, 39, 49
	10, 20, 30, 40, 50

В заданиях с № 1 по № 16 вычислите определители.

№ 1. № 2.

№ 3. № 4.

№ 5. № 6.

№ 7. № 8.

№ 9. № 10.

№ 11. № 12.

№ 13. № 14.

№ 15. № 16.

В заданиях с № 17 по № 19 вычислите обратную матрицу для данной

№ 17.

А = А_-1=?

№ 18.

А = А_-1=?

№ 19.

А = А_-1=?

В заданиях с № 20 по № 22 решите матричные уравнения.

№ 20.

№ 21.

№ 22.

В заданиях с № 23 по № 24 установить линейную зависимость векторов.

№ 23. № 24.

= (2, -3, 1) = (5, 4, 3)

= (3, -1, 5) = (3, 3, 2)

= (1, -4, 3) = (8, 1, 3)

№ 25. Найти все значения l, при которых вектор линейно выражается через векторы , где

= (2, 3, 5)

= (3, 7, 8)

= (1, -6, 1)

= (7, -2, l)

В заданиях с № 26 по № 30 решите систему методом Гаусса:

№ 26.

3х₁ - 2х₂ - 5х₃ + х₄ = 3

2х₁ - 3х₂ + х₃ + 5х₄ = -3

х₁ + 2х₂ - 4х₄ = -3

х₁ - х₂ - 4х₃ + 9х₄ = 22

№ 27.

4х₁ - 3х₂ + х₃ + 5х₄ = 7

х₁ - 2х₂ - 2х₃ - 3х₄ = 3

3х₁ - х₂ + 2х₃ = -1

2х₁ + 3х₂ + 2х₃ - 8х₄ = -7

№ 28.

2х₁ - 2х₂ + х₄ + 3 = 0

2х₁ + 3х₂ + х₃ + 3х₄ + 6 = 0

3х₁ + 4х₂ - х₃ + 2х₄ = 0

х₁ + 3х₂ + х₃ - х₄ - 2 = 0

№ 29.

х₁ + х₂ - 6х₃ - 4х₄ = 6

3х₁ - х₂ - 6х₃ - 4х₄ = 2

2х₁ + 3х₂ + 9х₃ + 2х₄ = 6

3х₁ + 2х₂ + 3х₃ + 8х₄ = -7

№ 30.

2х₁ - 3х₂ + 3х₃ + 2х₄ -3 = 0

6х₁ + 9х₂ - 2х₃ - х₄ - 4 = 0

10х₁ + 3х₂ - 3х₃ - 2 х₄ - 3 = 0

8х₁ + 6х₂ + х₃ + 3х₄ + 7 = 0

В заданиях с № 31 по № 40 исследовать совместность системы и найти ее общее решение.

№ 31.

2х₁ + 7х₂ + 3х₃ + х₄ = 1

3х₁ + 5х₂ + 2х₃ + 2х₄ = 4

9х₁ + 4х₂ + х₃ + 7х₄ = 2

№ 32.

2х₁ - 3х₂ + 5х₃ + 7х₄ = 1

4х₁ - 6х₂ + 2х₃ + 3х₄ = 2

2х₁ - 3х₂ - 11х₃ - 15х₄ = 1

№ 33.

3х₁ + 4х₂ + х₃ + 2х₄ = 3

6х₁ + 8х₂ + 2х₃ + 5х₄ = 7

9х₁ + 12х₂ + 3х₃ + 10х₄ = 13

№ 34.

3х₁ - 2х₂ + 5х₃ + 4х₄ = 2

6х₁ - 4х₂ + 4х₃ + 4х₄ = 3

9х₁ - 6х₂ + 3х₃ + 2х₄ = 4

№ 35.

2х₁ - х₂ + 3х₃ - 7х₄ = 5

6х₁ - 3х₂ + х₃ - 4х₄ = 7

4х₁ - 2х₂ + 14х₃ - 31х₄ = 18

№ 36.

9х₁ - 3х₂ + 5х₃ + 6х₄ = 4

6х₁ - 2х₂ + 3х₃ + х₄ = 5

3х₁ - х₂ + 3х₃ + 14х₄ = -8

№ 37.

2х₁ - х₂ + х₃ + 2х₄ + 3х₅ = 2

6х₁ - 3х₂ + 2х₃ + 4х₄ + 5х₅ = 3

6х₁ - 3х₂ + 4х₃ + 8х₄ + 13х₅ = 9

4х₁ - 2х₂ + х₃ + х₄ + 2х₅ = 1

№ 38.

6х₁ + 4х₂ + 5х₃ + 2х₄ + 3х₅ = 1

3х₁ + 2х₂ + 4х₃ + х₄ + 2х₅ = 3

3х₁ + 2х₂ - 2х₃ + х₄ = -7

7х₁ + 6х₂ + х₃ + 3х₄ + 2х₅ = 2

№ 39.

3х₁ - 5х₂ + 2х₃ + 4х₄ = 2

7х₁ - 4х₂ + х₃ + 3х₄ = 5

5х₁ - 7х₂ - 4х₃ - 6х₄ = 3

№ 40.

х₁ + х₂ - 2х₃ = 1

5х₁ + 5х₂ - 10х₃ = 5

х₁ - х₂ - х₃ = 2

В заданиях с № 41 по № 50 вычислить одно неизвестное.

№ 41.

2х₁ + 2х₂ - х₃ + х₄ = 4

4х₁ + 3х₂ - х₃ + 2х₄ = 6 х₁ =?

8х₁ + 5х₂ - 3х₃ + 4х₄ = 12

3х₁ + 3х₂ - 2х₃ + 2х₄ = 6

№ 42.

2х₁ + 3х₂ + 11х₃ + 5х₄ = 2

х₁ + х₂ + 5х₃ + 2х₄ = 1 х₃ =?

2х₁ + х₂ + 3х₃ + 2х₄ = -3

х₁ + х₂ + 3х₃ + 4х₄ = -3

№ 43.

2х₁ + 5х₂ + 4х₃ + х₄ = 20

х₁ + 3х₂ + 2х₃ + х₄ = 11 х₂ =?

2х₁ + 10х₂ + 9х₃ + 7х₄ = 40

3х₁ + 8х₂ + 9х₃ + 2х₄ = -37

№ 44.

2х + у + 4z + 8t = -1

х + 3y - 6z + 2t = 3 y =?

3х - 2y + 2z - 2t = 8

2х - y + 2z = 4

№ 45.

2х - y - 6z + 3t + 1 = 0

7х - 4y + 2z - 15t + 32 = 0 x =?

х + 2y - 4z + 9t - 5 = 0

х - y + 2z - 6t + 8 = 0

№ 46.

6х + 5y - 2z + 4t +4= 0

9х - y + 4z - t - 13 = 0 t =?

3х + 4y + 2z - 2t - 1 = 0

3х - 9y + 2t - 11 = 0

№ 47.

2х₁ + 2х₂ - х₃ - х₄ = 4

4х₁ + 3х₂ - х₃ + 2х₄ = 1 х₃ =?

2х₁ + х₂ + 3х₃ + 2х₄ = -3

х₁ + х₂ + 3х₃ + 4х₄ = -3

№ 48.

2х₁ + 3х₂ + 11х₃ + 5х₄ = 2

х₁ + х₂ + 5х₃ + 2х₄ = 1 х₂ =?

2х₁ + х₂ + 3х₃ + 2х₄ = -3

х₁ + х₂ + 3х₃ + 4х₄ = -3

№ 49.

2х - y - 6z + 3t+ 1 = 0

7х - 4y + 2z - 15t + 32 = 0 t =?

х - 2y - 4z + 9t - 5 = 0

х - y + 2z - 6t + 8 = 0

№ 50.

2х + y + 4z + 8t = -1

х + 3y - 6z + 2t = 3 z =?

3х - 2y + 2z - 2t = 8

2х - y + 2z = 4

Литература

1. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2012.

2. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. М.: Высшая школа, 1986. Ч. 2.

3. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.: «Дело», 2013.

4. Жуков В.М. Практические занятия по математике: теория, задания, ответы. Ростов н/Д: Феникс, 2012. 343с.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Болдыревский П.Б.

Зимина С.В.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Учебно-методическое пособие

Нижний Новгород 2016

УДК 517.958 (075)

ББК В311

П-16

Рецензент: д.э.н., профессор Д.Н. Лапаев.

Ответственная за выпуск:

председатель методической комиссии Института экономики и предпринимательства, Е.Н. Летягина.

УДК 517.958 (075)

ББК В311

университет им. Н.И. Лобачевского, 2015

Содержание

Введение
1. Понятие матриц
2. Операции над матрицами
3. Понятие определителей матриц
4. Свойства определителей
5. Методы вычисления определителей любого порядка
6. Обратная матрица
7. Простейшие матричные уравнения
8. Ранг матрицы
9. Вычисление ранга матрицы
10. Системы n линейных уравнений с n неизвестными. Методы их решения
11. Системы m линейных уравнений с n неизвестными
Контрольные задания
Список литературы

Введение

Понятие матриц

Элементы матрицы обозначают a_ij, где i – номер строки, j – номер столбца.

Если в матрице А m=n, то она называется квадратной порядка n и записывается

12 3 4 Следующая ⇒