Глава 2. Выполнение лабораторной работы

Нижняя цена игры

Максиминная стратегия

Верхняя цена игры

Минимаксная стратегия

Цена игры V

Седловая точка

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7

Вариант лабораторной работы определяется по последней цифре номера личного дела студента (если преподаватель не определил иной порядок).

2.1. Порядок выполнения и оформления лабораторной работы

Лабораторная работа выполняется с использованием надстройки табличного процессора Excel «Поиск решений». По результатам выполнения задания лабораторной работы студент оформляет отчет в печатном виде на листах формата А4. Отчет по лабораторной работе должен включать:

1. Титульный лист, оформленный в установленном порядке и содержащий все необходимые данные о студенте, преподавателе и дисциплине.

2. Условие задачи.

3. В протокол решения необходимо включить:

а) экономико-математические модели для каждого из игроков;

б) краткое описание технологии решения с использованием надстройки Excel «Поиск решений»;

в) распечатки фрагментов решения задачи вместе с окном «Поиск решений», включая распечатку с окончательным результатом и «Отчетом по устойчивости»;

г) пояснения результатов решения на каждом этапе;

д) экономические выводы и рекомендации лицу, принимающему решение.

Задания для лабораторной работы

Директор транспортной компании А, оказывающей транспортные услуги по перевозке пассажиров в областном центре, планирует открыть один или несколько маршрутов: А1, А2, …. Для этого было закуплено 100 микроавтобусов. Он может поставить весь транспорт на одном из маршрутов (наиболее выгодном), либо распределить по нескольким маршрутам. Спрос на транспорт, а соответственно и прибыль компании во многом зависит. от того, какие маршруты в ближайшее время откроет главный конкурент –компания В. Ее руководство полностью владеет ситуацией и может открыть несколько маршрутов В1, В2, …. Оценки прибыли компании А (млн. руб.) при любом ответе В представлены платежной матрицей:

Вариант 1

План продажи Состояние конъюнктуры рынка

В₁ В₂ В₃ В₄ В₅

A₁

A₂

A₃

A₄

A₅

A₆

A₇

Вариант 2

	В₁	В₂	В₃	В₄	В₅
A₁
A₂
A₃
A₄
A₅
A₆
A₇
A₈
A₉

Вариант 3

	В₁	В₂	В₃	В₄	В₅
A₁
A₂
A₃
А₄
A₅
A₆
A₇
А₈
A₉

Вариант 4

	В₁	В₂	В₃	В₄	В₅
A₁
A₂
A₃
A₄
A₅
A₆
A₇
A₈
A₉

Вариант 5

	В₁	В₂	В₃	В₄	В₅
A₁
A₂
A₃
A₄
A₅
A₆
A₇
A₈
A₉

Вариант 6

	В₁	В₂	В₃	В₄
A₁
A₂
A₃
A₄
A₅
A₆
A₇
A₈
А₉
A₁₀
А₁₁
А₁₂

Вариант 7

	В₁	В₂	В₃	В₄
A₁
A₂
A₃
A₄
A₅
A₆
A₇
A₈
А₉
A₁₀
А₁₁
А₁₂

Вариант 8

	В₁	В₂	В₃	В₄	В₅
A₁
A₂
A₃
A₄
A₅
A₆
A₇
A₈
А₉
A₁₀
А₁₁
А₁₂

Вариант 9

	В₁	В₂	В₃	В₄	В₅
A₁
A₂
A₃
A₄
A₅
A₆
A₇
A₈
А₉
A₁₀
А₁₁
А₁₂

Вариант 10

	В₁	В₂	В₃	В₄	В₅
A₁
A₂
A₃
A₄
A₅
A₆
A₇
A₈
А₉
A₁₀
А₁₁
А₁₂

Требуется:

4) Найти нижнюю и верхнюю оценки прибыли компании.

5) С помощью сведения игры к задаче линейного программирования определить оптимальную смешанную стратегию компании. Какой маршрут окажется наиболее предпочтительным?

6) Вычислить оптимальную прибыль (убыток) компании при использовании оптимальной смешанной стратегии.

Глава 3. Материалы для подготовки к экзаменационному зачету

Тесты для самоконтроля

1. Конфликтными ситуациями не являются:

a) салонные игры;

b) ситуации олигополии;

c) соглашения о совместных действиях;

d) политические конфликты;

e) договоренности по различным вопросам.

2. Для конфликтных ситуаций характерно:

a) эффективность решений, принимаемых в ходе конфликта каждой из сторон, существенно зависит от действий другой стороны;

b) каждой стороне решения приходится принимать в условиях полной определенности;

с) конфликтные ситуации возникают в результате сознательной деятельности людей.

3. Теория игр – это ________________ теория конфликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации.

4. Установите соответствие между основными понятиями теории игр и их определениями:

а) игра;

b) стратегия;

c) выигрыш, ничья, проигрыш;

d) партия;

e) ход.

1)возможные конечные состояния игры;

2) упрощенная математическая модель конфликтной ситуации, отличающаяся от реального конфликта тем, что ведется по определенным правилам;

3) совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры;

4) выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов поведения;

5) каждый вариант реализации игры определенным образом.

5. Установите соответствие между видами игр и критериями их классификации:

	По числу игроков	По количеству стратегий	По характеру функций выигрыша	По виду функций выигрыша	По возможности предварительных переговоров	По количеству ходов
Некооперативные
Выпуклые
Многоходовые
Биматричные
Матричные
С ненулевой суммой
Одноходовые
Конечные
Кооперативные
С нулевой суммой
Бесконечные
Непрерывные
Парные
С постоянной разностью
Множественные

6. Выберете верное определение антагонистической игры:

a) антагонистическая игра – это математическую модель принятия решения в условиях противоположности интересов;

b) антагонистическая игра – это математическую модель принятия решения в условиях совпадения интересов;

с) антагонистическая игра – это игра двух лиц с нулевой суммой.

7. В матрице игры

Игрок А	Игрок В
		…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…

а_ik – это:

a) выигрыши игрока В (проигрыши игрока А); b) выигрыши игрока A (выигрыши игрока B); c) выигрыши игрока A (проигрыши игрока B).

8. Дана матрица игры:

Игрок А	Игрок В	Минимумы строк
		…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
Максимумы столбцов			…		…

Установите соответствие между понятиями и их обозначениями:

9. Приемы мажорирования – это:

a) способы определения оптимальных стратегий;

b) способы уменьшения размерности матрицы игры;

c) способы упрощения матрицы игры;

d) способы определения седловой точки игры.

10. Из матрицы игры следует удалить:

a) доминирующие стратегии;

b) доминируемые стратегии;

c) дублирующие стратегии;

d) дублируемые стратегии.

11. Аффинные преобразования – это:

a) преобразование подобия платежной матрицы;

b) преобразование подобия и сдвига платежной матрицы;

c) преобразование сдвига платежной матрицы.

12. Сложная стратегия, состоящая в случайном применении двух и более стратегий с определенными частотами, называется ______________________

13. Установите соответствие между формулами и величинами, которые с их помощью определяются:

14. Решение игры графическим методом проводится с позиций:

а) игрока А;

b) игрока В.

15. На рисунке представлено графическое решение игры.

Активными стратегиями игрока В являются:

a) и ;

b) и ;

c) и ;

d) и .

16. Установите правильную последовательность этапов геометрического решения игры 2´ n:

1. В декартовой системе координат pOH по оси абсцисс (Ор) строим единичный отрезок. Левый конец отрезка (р=0) соответствует стратегии , правый (р=1) – стратегии . Промежуточные точки отрезка соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий .

2. Каждую пару точек, соответствующих элементам и (j=1, …, n), стоящим в j-м столбце матрицы D, соединяем отрезком .

3. На нижней огибающей находим наибольшую (наивысшую) точку. Она соответствует максиминной стратегии игрока А.

4. Находим нижнюю огибающую семейства отрезков (ломаная линия, выпуклая вверх). Она соответствует наихудшим ситуациям для игрока А или нижней границе цены игры.

5. Абсцисса этой точки есть вероятность выбора игроком А второй стратегии в оптимальной смешанной стратегии – , тогда .

6. Ордината наибольшей точки нижней огибающей является ценой игры .

7. На оси ординат (OH) откладываются выигрыши при стратегии – (j=1, …, n). На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши при стратегии – (j=1, …, n).

17. На рисунке представлено графическое решение игры.

Активными стратегиями игрока А являются:

a) и ;

b) и ;

c) и ;

d) и .

18. Установите правильную последовательность этапов общей схемы решения игр 2´ n и m´ 2:

1. Находят две стратегии игрока В или А, которым соответствуют две прямые, пересекающиеся в точке с максимальной (минимальной) ординатой. Эти стратегии являются активными в оптимальной смешанной стратегии игрока В или А.

2. Строят прямые, соответствующие стратегиям игрока В или А.

3. Находят координаты точки пересечения, тем самым определяя оптимальную стратегию игрока А или В и цену игры.

4.Оптимальную стратегию другого игрока находят, решая систему уравнений, включающую его активные стратегии.

19. Приведенная ниже модель является:

а) моделью задачи игрока В;

b) моделью задачи игрока А.

20. Приведенная ниже модель является:

а) моделью задачи игрока В;

b) моделью задачи игрока А.

21. Выстройте правильную последовательность схемы решения произвольной конечной игры размера :

1. Определить верхнюю и нижнюю цены игры и проверить, имеет ли игра седловую точку. Если седловая точка есть, то соответствующие ей стратегии игроков будут оптимальными, а цена игры совпадает с верхней (нижней) ценой.

2. Исключить из платежной матрицы заведомо невыгодные стратегии.

3. Если седловая точка отсутствует, то решение следует искать в смешанных стратегиях. Игры размера решаются путем сведения к паре взаимно двойственных задач линейного программирования. Для игр размера или возможно применить графо-аналитический метод решения.

22. По формулам определяют:

f) смешанную стратегию игрока А;

b) цену игры;

c) смешанную стратегию игрока В.

23. По формулам определяют:

f) смешанную стратегию игрока А;

b) цену игры;

c) смешанную стратегию игрока В.

24. По формулам определяют:

f) смешанную стратегию игрока А;

b) цену игры;

c) смешанную стратегию игрока В.

25. Решение игры сводится к паре взаимно ___________________ задач линейного программирования.

26. Case-задание:

В игре участвуют два игрока А и В. В соответствии с матрицей игры (игроку А соответствуют строки матрицы) составлена пара взаимно двойственных задач линейного программирования. В результате решения задачи на минимум получен «Отчет по устойчивости» вида:

Изменяемые ячейки
			Результ.	Нормир.	Целевой	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	стоимость	Коэффициент	Увеличение	Уменьшение
	$A$2	Х1		0.2		1E+30	0.2
	$B$2	Х2	0.2			0.333333333	0.5
	$C$2	Х3	0.4

Ограничения
			Результ.	Теневая	Ограничение	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	Цена	Правая часть	Увеличение	Уменьшение
	$D$5	F		0.1
	$D$6	F		0.5		1E+30	0.4
	$D$7	F					1E+30

Задания:

1. Для какого игрока (А или В) решалась задача?

2. Сколько всего было стратегий у игрока А? Сколько всего было стратегий у игрока В?

3. Сколько активных стратегий было у игрока А? Назовите номера активных стратегий игрока А.

4. Сколько активных стратегий было у игрока В? Назовите номера активных стратегий игрока В.

5. Какова оптимальная смешанная стратегия игрока А? Назовите наиболее предпочтительную стратегию игрока А.

6. Какова оптимальная смешанная стратегия игрока В? Назовите наиболее предпочтительную стратегию игрока В.

7. Определите средний выигрыш игрока А.

8. Определите средний проигрыш игрока В.

9. Какой убыток понесет игрок А, если воспользуется своей неактивной стратегией?

27. Case-задание:

В игре участвуют два игрока А и В. В соответствии с матрицей игры (игроку А соответствуют строки матрицы) составлена пара взаимно двойственных задач линейного программирования. В результате решения задачи на минимум в «Поиске решений» Excel получен результат:

Х1	Х2	Х3
	0.2	0.4	F
			0.6

				> =
				> =
				> =

Задания:

1. Запишите матрицу игры.

2. Для какого игрока (А или В) решалась задача?

3. Сколько всего было стратегий у игрока, для которого решалась задача?

4. Сколько активных стратегий было у игрока? Назовите номера его активных стратегий.

5. Какова оптимальная смешанная стратегия игрока? Назовите его наиболее предпочтительную стратегию.

6. Определите средний выигрыш игрока А.

7. Определите средний проигрыш игрока В.

3.2. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.Сельскохозяйственное предприятие имеет возможность выращивать две культуры – А1 и А2. Необходимо определить, как сеять эти культуры, если при прочих равных, условиях их урожаи зависят от погоды, В1 (засушливое лето), В2 (нормальное лето) и В3 (дождливое лето).

В качестве выигрыша игрока А возьмем прибыль от реализации выращенных культур. Прибыль сельскохозяйственного предприятия (в усл. ед. на 1 га.) в зависимости от состояний погоды сведены в следующую матрицу

Найти оптимальную смешанную стратегию игрока А (предприятие) графо-аналитическим методом. Вычислить прибыль для всех возможных состояний погоды.

Задача 2.Администрация фирмы ведет переговоры с профсоюзом рабочих и служащих о заключении контракта. Профсоюз стремится максимизировать доходы рабочих и служащих, в то время как администрации хотелось бы минимизировать собственные потери.

Платежная матрица, отражающая интересы договаривающихся сторон, имеет следующий вид

Заданная матрица описывает прибыль профсоюза (игрок А) и затраты администрации фирмы (игрок В). Выплаты указаны в рублях в час и представляют собой среднюю зарплату служащего фирмы вместе со всеми надбавками. Найти оптимальное решение в смешанных стратегиях. Применить правило доминирования стратегий.

Задача 3.Дана платежная матрица

Убедиться, что в данной игре имеется несколько седловых точек. Найти все оптимальные решения в чистых стратегиях и цену игры. Какие оптимальные решения игрока А возможны в смешанных стратегиях?

Задача 4.Дана платежная матрица

	В1	В2	В3	В4	В5	В6
А1
А2

Убедиться, что в данной игре нет седловой точки в чистых стратегиях. Найти оптимальное решение в смешанных стратегиях графоаналитическим методом.

Задача 5.Рассмотрим антагонистическую игру, в которой участвуют два игрока, каждый из которых имеет две стратегии. Выигрыши каждого из игроков определены следующими правилами: если оба из игроков выбирают стратегии с одинаковыми номерами, то первый выигрывает одну условную единицу. Если игроки выбирают разные стратегии, то выигрывает второй игрок условную единицу. Составить платежную матрицу и найти оптимальное решение игры аналитическим методом.

Задача 6.Рассмотреть платежную матрицу

	В1	В2
А1
А2
А3
А4
А5

Задача 7.Игроки А и В играют в следующую игру. Игрок А записывает одно из чисел 6, 7, 9, а игрок В записывает одно из чисел 4, 5. Если сумма чисел четная, то это выигрыш игрока А. Если сумма чисел нечётная, то это выигрыш игрока В (проигрыш игрока А). Найти платёжную матрицу игры и найти её оптимальное решение графо-аналитическим методом.

Задача 8.Рассмотреть платежную матрицу

	В1	В2
A1
А2
А3
А4
А5

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 67