Глава 1. Введение в теорию игр

1.1. Основные понятия и определения теории игр

Одна из характерных черт всякого общественного и социально-экономического явления состоит во множественности, многосторонности интересов и в наличии сторон, выражающих эти интересы. Поэтому в процессе целенаправленной человеческой деятельности возникают ситуации, в которых интересы отдельных лиц (участников, групп, сторон) либо прямо противоположны (антагонистичны), либо, не будучи непримиримыми, все же не совпадают. Каждая из сторон сознательно стремится добиться наилучшего результата за счет другой стороны. Столкновение противоположных интересов сторон приводит к возникновению конфликтных ситуаций.

Примерами конфликтных ситуаций могут быть, например:

· аукцион;

· военные операции;

· арбитражные споры[1];

· борьба между блоками избирателей за своих кандидатов;

· в международных отношениях – отстаивание интересов своего государства;

· классическими примерами в экономике являются ситуации, где, с одной стороны, имеется один покупатель, с другой – один продавец (ситуация монополия-монопсония ), когда на рынок выходят несколько производителей, обладающих достаточной силой для воздействия на цену товара (ситуация олигополии, в том числе дуополии, если число таких участников равно двум).

В таких ситуациях каждый из участников сознательно стремится добиться наилучшего результата за счет другого участника. Подобного рода ситуации встречаются и в различных сферах производственной деятельности.

Более сложные конфликтные ситуации возникают, если имеются объединения или коалиции лиц, участвующих в столкновении интересов, например, в том случае, когда ставки заработной платы определяются союзами или объединениями рабочих и предпринимателей, при анализе результатов голосования в парламенте и т.п.

Конфликт может возникнуть также из различия целей, которые отражают не только несовпадающие интересы различных сторон, но и многосторонние интересы одного и того же лица. Например, разработчик экономической политики обычно преследует разнообразные цели, согласуя противоречивые требования, предъявляемые к ситуации (рост объемов производства, повышение доходов, снижение экологической нагрузки и т.п.).

Конфликт может проявляться не только в результате сознательных действий различных участников, но и как результат действия тех или иных " стихийных сил" (случай так называемых " игр с природой" ).

Множество подобных примеров можно встретить в биологии, социологии, психологии, политологии, военном деле и т.д.

И, наконец, примерами игр являются обычные игры:

· салонные;

· спортивные;

· карточные.

Именно с анализа подобных игр начиналась математическая теория игр; они и по сей день служат прекрасным материалом для иллюстрации положений и выводов этой теории.

Для указанных ситуаций характерно, что эффективность решений, принимаемых в ходе конфликта каждой из сторон, существенно зависит от действий другой стороны. При этом ни одна из сторон не может полностью контролировать положение, так как и той и другой стороне решения приходится принимать в условиях неопределенности. Так, при определении объема выпуска продукции на одном предприятии нельзя не учитывать размеров выпуска аналогичной продукции на других предприятиях.

В реальных условиях нередко возникают ситуации, в которых антагонизм отсутствует, но существуют противоположные тенденции. Например, для нормального функционирования производства, с одной стороны, необходимо наличие запасов разнообразных ресурсов, но с другой, – стремление к чрезвычайному увеличению этих запасов вызывает дополнительные затраты по их содержанию и хранению.

В приведенных примерах конфликтные ситуации возникают в результате сознательной деятельности людей.

Необходимость анализировать такие ситуации привела к возникновению теории игр. Таким образом, теория игр – это математическая теория конфликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации, т. е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат.

Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования дефицитных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т. д.

Теория игр впервые была систематически изложена Джоном (Яношем) фон Нейманом (1903-1957) и Оскаром Моргенштерном (1902-1977) в 1944 г., хотя отдельные результаты и понятия были заложены Эмилем Борелем (1871-1956) еще в 1920-х гг. Нейман и Моргенштерн написали оригинальную книгу “Теория игр и экономическое поведение”, которая содержала главным образом экономические примеры, поскольку экономическому конфликту легче всего придать численную форму.

В этой же работе Нейман и Моргенштерн исследовали связь теории игр с теорией линейного программирования, а также заложили основы теории позиционных игр. Во время второй мировой войны и сразу после нее теорией игр серьезно заинтересовались военные, которые увидели в ней аппарат для исследования стратегических решений.

Впоследствии главное внимание стало уделяться экономическим проблемам. В 1994 г. Джон Нэш (род. 1928) получил Нобелевскую премию в области экономики за определение ситуации равновесия в игре многих лиц. Дальнейшее развитие теории игр связано с работами Н.Н Воробьева, Ю.Б. Гермейера, Э Мулена, Х. Никайдо, Л.С. Шепли и др.

Необходимо подчеркнуть, что методы и рекомендации теории игр разрабатываются применительно к таким специфическим конфликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной повторяемости. Если конфликтная ситуация реализуется однократно или ограниченное число раз, то рекомендации теории игр теряют смысл.

Для того чтобы проанализировать конфликтную ситуацию по ее математической модели, ситуацию необходимо упростить, учтя лишь важнейшие факторы, существенно влияющие на ход конфликта. Отсюда, игра – это упрощенная математическая модель конфликтной ситуации, отличающаяся от реального конфликта тем, что ведется по определенным правилам. Поэтому можно сказать, что игра – это совокупность правил, описывающих сущность конфликтной ситуации. Эти правила устанавливают:

· выбор образа действий игроков на каждом этапе игры;

· информацию, которой обладает каждый игрок при осуществлении таких выборов;

· плату каждого игрока после завершения любого этапа игры.

Игра определена, если:

· имеется множество конфликтующих сторон, принимающих решения, интересы которых не совпадают (в литературе по теории игр они именуются игроками, субъектами, лицами, сторонами, участниками). В случае, если число игроков конечно, они различаются по своим номерам (l-й игрок и 2-й игрок в игре в орлянку или в случае дуополии) или по присваиваемым им именам (например, Продавец и Покупатель в ситуации монополия - монопсония);

· сформулированы правила выбора допустимых стратегий, известные игрокам. От стратегии, применяемой игроком, зависит величина выигрыша. Стратегия – это совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры. Если в процессе игры игрок применяет попеременно несколько стратегий, то такая стратегия называется смешанной, а ее элементы чистыми стратегиями.

· определен набор возможных конечных состояний игры (например, выигрыш, ничья, проигрыш);

· всем игрокам (участникам игры) заранее известны функции выигрыша (платежи), соответствующие каждому возможному конечному состоянию. Функция выигрыша может задаваться либо аналитическим выражением, либо таблично (матрицей).

К вышесказанному можно добавить, что всякая игра состоит из отдельных партий. Партией называют каждый вариант реализации игры определенным образом. В свою очередь, в партии игроки совершают конкретные ходы. Ход – это выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов поведения. Ходы бывают личные и случайные. При личном ходе игрок самостоятельно и осознанно выбирает и реализует ту или иную чистую стратегию. Например, в шахматах каждый ход является личным. При случайном ходе выбор чистой стратегии производится с использованием какого-либо механизма случайного выбора, например, с применением таблицы случайных чисел.

Важными в теории игр являются понятия оптимальной стратегии, цены игры, среднего выигрыша. Эти понятия находят отражение в решении игры.

Классификация игр

Различные виды игр можно классифицировать, основываясь на том или ином критерии: по числу игроков, по числу стратегий, по характеру функций выигрыша, по виду функций выигрыша, по возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры, по числу ходов и в зависимости от объема имеющейся информации.

В зависимости от числа игроков различают игры:

· двух игроков (парная игра);

· n игроков (множественная игра).

Первые из них наиболее изучены. Игры трёх и более игроков менее исследованы из-за возникающих принципиальных трудностей и недостаточных технических возможностей получения решения.

Согласно другому критерию классификации – по количеству стратегий – различают конечные и бесконечные игры:

· в конечных играх игроки располагают конечным числом возможных стратегий (например, в игре в орлянку игроки имеют по два возможных хода – они могут выбрать " орел" или " решку" );

· в бесконечных играх игроки имеют бесконечное число возможных стратегий. Так, в ситуации Продавец-Покупатель каждый из игроков может назвать любую устраивающую его цену и количество продаваемого (покупаемого) товара.

Другой способ классификации игр – по характеру функций выигрыша (платежных функций). Различают игры с нулевой суммой, игры с постоянной разностью и игры с ненулевой суммой.

· Важным случаем в теории игр является ситуация, когда выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. налицо прямой конфликт между игроками. В этом случае общий капитал игроков не меняется, а лишь распределяется в ходе игры, в связи, с чем сумма выигрышей равна нулю. Подобные игры называются играми с нулевой суммой, или антагонистическими играми. Игры в орлянку или в очко – типичные примеры антагонистических игр.

· Прямой противоположностью играм такого типа являются игры с постоянной разностью, в которых игроки и выигрывают, и проигрывают одновременно, так что им выгодно действовать сообща.

· Между этими крайними случаями имеется множество игр с ненулевой суммой, где имеются и конфликты, и согласованные действия игроков. В этом случае сумма выигрышей отлична от нуля. Например, при проведении лотереи часть взноса участников идет организатору лотереи.

По виду функций выигрыша игры делятся на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые и др.

· Матричная игра – это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой выигрыш первого игрока (или проигрыш второго) задаётся в виде матрицы. Строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии первого игрока, столбец – номеру применяемой стратегии второго игрока; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш первого игрока (или выигрыш второго), соответствующий применяемым стратегиям. Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение и оно может быть легко найдено путём сведения игры к задаче линейного программирования (более подробно матричные игры будут рассмотрены далее).

· Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока. В каждой матрице строка соответствует стратегии первого игрока, столбец – стратегии второго игрока, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш первого игрока, во второй матрице – выигрыш второго игрока. Для биматричных игр также разработана теория оптимального поведения игроков, однако решать такие игры сложнее, чем обычные матричные.

· Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной в зависимости от стратегий. Доказано, что игры этого класса имеют решения, однако не разработано практически приемлемых методов их нахождения.

· Если функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой. Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определённого числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых оптимальных стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко.

В зависимости от возможности предварительных переговоров между игроками различают кооперативные и некооперативные игры.

· Игра называется кооперативной (коалиционной), если до начала игры игроки образуют коалиции и принимают взаимообязывающие соглашения о своих стратегиях. Примером кооперативной игры может служить ситуация образования коалиций в парламенте для принятия путем голосования решения, так или иначе затрагивающего интересы участников голосования.

· Игра, в которой игроки не могут координировать свои стратегии подобным образом, называется некооперативной. Очевидно, что все антагонистические игры могут служить примером некооперативных игр.

По количеству ходов игры делятся на:

· одноходовые, т. е. выигрыш распределяется после одного хода каждого игрока;

· многоходовые, т. е. выигрыш распределяется после нескольких ходов. Многоходовые игры в свою очередь делятся на позиционные, стохастические, дифференциальные и др.

В зависимости от объема имеющейся информации различают игры:

· с полной информацией;

· с неполной информацией.

Особый интерес в теории игр представляют игры с природой.

Во многих задачах в сфере экономики, в том числе экономики труда, неопределенность вызвана не сознательным противодействием противника, а недостаточной осведомленностью об условиях, в которых действуют стороны. Например, заранее неизвестна погода в некотором регионе, покупательский спрос на некоторую продукцию. Подобного рода игры и называют играми с природой. В этих случаях строки матрицы игры соответствуют стратегии игрока, а столбцы – состояниям «природы».

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 Следующая ⇒