Интерпретация результатов решения

 

Ломаная ABCDE – нижняя огибающая, соответствующая нижней границе цены игры, т. е. наихудшим ситуациям для игрока А. Максимальное значение достигается в точке С, которая образуется пересечением линий, соответствующих стратегиям и игрока В. Абсцисса точки С соответствует вероятности применения игроком А чистой стратегии , – вероятность применения игроком А чистой стратегии . Ордината точки С – цена игры .

Для игрока В , т.к. точка С является пересечением пары чистых стратегий и . На графике и равны долям, на которые проекция точки С на ось ординат ОН делит отрезок .

Графическое решение задачи можно получить также с помощью инструмента Excel «Мастер диаграмм». Соответствующие иллюстрации представлены на рисунках 2 – 7.

 

 

 

Рис. 2. Определение минимумов строк

 

 

 

Рис. 3. Определение максимумов столбцов

 

 

 

Рис.4. Определение максимина и минимакса

 

 

 

Рис. 5. Выбор типа диаграммы

 

 

 

Рис.6. Построение диаграммы

 

Рис. 7. Графическое решение игры

 

4. Определим теперь значения вероятностей и цены игры .

Выделим в матрице D активные стратегии и игрока В. Получим матрицу в виде:

 

Игроки			Активные стратегии А
Активные стратегии В

 

Составляем системы:

 

игрок А:

 

игрок В: ,

из которых нетрудно определить

.

Выводы:

Юридическому лицу А следует пользоваться своей первой стратегией с вероятностью 75% (3/4 всех случаев), а второй – с вероятностью 25% (1/4 часть всех случаев). Юридическому лицу В не нужно использовать свои первую, вторую, третью и пятую стратегии. Четвертую стратегию использовать 75 раз (3/4 всех случаев), шестую – 25 раз (1/4) всех случаев.

Средний выигрыш игрока А составит 15/4 усл.ед. При этом игрок В проиграет не больше 15/4 усл.ед.

3.1.3. Геометрическое решение игры m´ 2

Рассмотрим конечную матричную игру с платежной матрицей Т:

.

Игрок В обладает двумя стратегиями: и ; а игрок А – m стратегиями: . Условимся, что игра не имеет седловой точки, поэтому решение будем искать в смешанных стратегиях. Необходимо найти смешанные стратегии игроков:

и

и цену игры , считая, что , (см. таблицу).

 

Игроки
…	…	…	…

Решение проводят с позиций игрока B, у которого две стратегии.

Решение игры включает следующие этапы:

1. В декартовой системе координат qOH по оси абсцисс (Оq) строим единичный отрезок. Левый конец отрезка (q=0) соответствует стратегии , правый (q=1) – стратегии . Промежуточные точки отрезка соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий .

2. На оси ординат (OH) откладываются выигрыши при стратегии – (i=1, …, m). На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши при стратегии – (i =1, …, m).

3. Каждую пару точек, соответствующих элементам и (i =1, …, m), стоящим в i-й столбце матрицы Т, соединяем отрезком .

4. Находим верхнюю огибающую семейства отрезков (ломаная линия, выпуклая вниз). Она соответствует наихудшим ситуациям для игрока В или верхней границе цены игры.

5. На верхней огибающей находим минимальную (наинизшую) точку. Она соответствует минимаксной стратегии игрока В.

6. Абсцисса этой точки есть вероятность выбора игроком В стратегии в оптимальной смешанной стратегии – , тогда .

7. Ордината минимальной точки верхней огибающей является ценой игры .

 

Пример. Задача о выборе минеральных удобрений

Сельскохозяйственное предприятие должно выращивать определенную культуру, например, картофель, на отведенном для этой цели участке. Урожайность картофеля зависит от количества внесенных удобрений и от состояния погоды[8].

Рассматриваются два возможных характера погоды:

1) лето сухое;

2) лето влажное.

Возможные варианты внесения удобрений:

1) количество удобрений на 1 га соответствует определенной норме;

2) количество удобрений на 1 га на 30% больше нормы;

3) количество удобрений на 1 га на 40% больше нормы.

Уточнение условия:

Сельскохозяйственное предприятие – игрок А, природа – игрок В. У игрока А имеются три стратегии, соответствующие вариантам внесения удобрений. У игрока В – две стратегии в соответствии с характером погоды. Будем считать, что цена реализации 1 т картофеля не зависит от урожая и является постоянной. Тогда прибыль предприятия зависит от урожайности выращенного картофеля и затрат на его получение и реализацию.

Предприятию необходимо определить оптимальное количество внесения удобрений на 1 га для получения наибольшей прибыли при максимально благоприятном лете. С этой целью сельскохозяйственное предприятие произвело расчет прибыли в зависимости от возможных стратегий своих и природы. Получилась следующая матрица прибылей, млн руб.:

.

Решение:

Будем считать эти прибыли как матрицу выигрышей игрока А, и найдем решение игры порядка .

1. В данной игре нет заведомо невыгодных стратегий (доминирующих, дублирующих).

2. Определим наличие (отсутствие) седловой точки:

 

Игроки			Минимумы строк
		2, 5	2, 5
Максимумы столбцов

 

Так как , то в игре нет седловой точки. Значит, ищем решение в смешанных стратегиях: и .

3. Строим график в системе координат qOH в соответствии с описанной выше последовательностью этапов (рис.1).

 

Рис.1. Графическое решение примера

 

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. ПРИЕМЫ ИЗМЕРЕНИЙ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ ОБРАБОТКИ ИХ РЕЗУЛЬТАТОВ В ПСИХОЛОГИЧЕСКОМ ИССЛЕДОВАНИИ
2. IV.Оценка полученных результатов
3. Анализ и интерпретация результатов исследования
4. Анализ полученных результатов и разработка предложений
5. Анализ результатов исследований
6. Анализ результатов исследования
7. Анализ результатов исследования психологической готовности дошкольников к обучению в школе
8. Анализ результатов исследования.
9. Анализ результатов моделирования
10. Анализ результатов опытно – экспериментальной работы
11. Анализ результатов тестирования обучающихся пятых классов
12. Анализ результатов тестирования обучающихся шестых классов