Уравнение переноса. Вязкость газов

⇐ ПредыдущаяСтр 19 из 23Следующая ⇒

Интуитивные представления о вязкости жидкости каждый человек вырабатывает на основании повседневного опыта. Например, при использовании растительного масла, молока и других жидкостей. Вязкость или внутреннее трение, свойство жидкостей, характеризующее сопротивление действию внешних сил, вызывающих их течение. Вязкость проявляется в том, что при сдвиге соседних слоёв среды относительно друг друга возникает сила противодействия – напряжение сдвига. Прочувствовать это можно наблюдая за истечением воды или масла растительного.

Рассмотрение предыдущих параграфов данной главы даёт основания утверждать, что такое свойство должно быть характерно и для газов. Это следует хотя бы из того, что газоподобные системы, представленные сами себе, в конце концов, переходят в устойчивое состояние теплового равновесия. Если при этом в газе имеются отдельные потоки, обладающие разной локальной скоростью относительно друг друга, то будет возникать препятствующая движению сила сопротивления.

Первым этапом приближения к тепловому равновесию газа является обмен импульсом между «быстрыми» и «медленными» молекулами. Что это значит? В газовой среде в разных точках её пространства возможно движение отдельных струй газа, обладающих разной дрейфовой скоростью. Другими словами, в объёме пространства среды есть отдельные струи газа, движущиеся вдоль оси Х с некоторой локальной скоростью; будем обозначать её u_х(z) и эта скорость «чувствительна» к положению в потоке. На рис. 7.7 представлены потоки слоёв с различной дрейфовой скоростью u_х(z) как выше, так и ниже выделенной площадки D S.

Не будем забывать, мы интересуемся только той частью переноса импульса, которая связана со столкновением молекул, но не с движением среды как целого. Итак, участвуя в перемещении элемента объёма газа как целого вдоль оси Х, молекулы газа участвуют и в хаотическом движении. Хаотические столкновения молекул (см. рис. 7.1) сопровождаются их перемещением из одного потока в другой, в результате чего дрейфовые скорости в двух соседних потоках постепенно уравниваются. Почему?

Рис. 7.7. Перенос импульса молекул через площадку DS

Вследствие обмена молекулами между струями (потоками), находящимися на расстоянии длины свободного пробега l выше и ниже слоя с координатой z = z₀, происходит перенос импульса элемента объёма газа; молекулы «медленно» движущегося слоя проникают в «быстро» движущийся слой и наоборот; между молекулами происходит обмен импульсами. На опыте удобнее следить за дрейфовой (локальной) скоростью элемента объёма газа u_х, следовательно, в уравнении (7.13) переносимой физической характеристикой j является импульс частицы, т.е. j º m× u_i(z). Осознав переносимую физическую величину j в уравнении (7.13), перейдём к его преобразованию.

Поскольку каждая молекула испытывает последнее столкновение на расстоянии длины свободного пробега l (рис. 7.7) импульс, переносимый через площадку D S за время Dt, запишется: D(N× j) º D(N× m× u(z)) = = D(N× р_i); здесь m –, как догадался пытливый читатель, масса молекулы, а р_i – её импульс в соответствующем слое. Суммарное изменение импульса запишется: Dр = D(N× р_i).

Каждый процесс переноса импульса связан с отклонением скорости частицы от её постоянного равновесного значения, т. е. определяется его темпом. И тогда в правой части уравнения (7.13) темп изменения импульса может быть представлен в виде: ; здесь мы воспользовались тем, что дрейфовая скорость частиц в потоке одинакова. И тогда перенос импульса Dр между струями газа (рис. 7.7) запишется:

Dр = – × .

Поскольку скорость u (7.5), длина свободного пробега l (7.10), m – масса молекулы газа являются характеристиками сортности газа, а n – концентрация частиц в единице объёма (7.8), то с учётом того, что m× n = = r – плотности газа, уравнение переноса импульса принимает вид:

Dр = – × r× .

Из второго закона Ньютона, формула (2.2), настойчивый читатель после преобразований приходит к формуле для силы вязкого трения вида:

F_вяз._тр. = h× × DS; (7.18)

здесь h – коэффициент вязкости, равный h = , а F_вяз. _тр. = , DS – величина поверхности, по которой действует сила F_вяз._тр..

Если переписать формулу (7.9) в виде: , то для двух различных состояний газа следует, что . Ранее [3, с. 83] показано, что изменение энтропии

. Видоизменим эту формулу, учитывая, что сумма логарифмов равна логарифму произведений, приходим к уравнению вида

. Если учесть, что

, приходим к выражению , или

Заменим отношение объёмов в выражении изменения энтропии на отношение чисел столкновений (с. 113) , и тогда изменение энтропии идеального газа через число столкновений примет вид:

. (7.19)

Таким образом, явления переноса связаны с изменением энтропии. Вместе с тем, эти процессы могут быть не связаны с теплообменом между системой и окружающей средой и всегда ведут к увеличению энтропии. Из уравнения (7.19) также следует, увеличение энтропии может сопровождаться уменьшением числа столкновений между молекулами.

Реальные газы

8.1. Реальный газ малой плотности.
Понятие об уравнении Ван-Дер-Ваальса

В предыдущей главе и в работе [3, с. 52; 57] нам удалось достичь некоторого успеха в описании реальных газов малой плотности и при умеренных температурах. Это оказалось возможным благодаря тому, что неизвестный механизм взаимодействия молекул газа при столкновениях нам удалось обойти путём введения его неких средних характеристик (см. § 7.2). Однако с повышением давления и уменьшением температуры наблюдаются значительные отклонения от уравнения состояния идеального газа:

. (8.1)

Естественно предположить, причины отступления свойств реальных газов от свойств идеального газа обусловлены простотой модели. В частности, отсутствием учёта собственных размеров молекул и тем, что характер сил взаимодействия между молекулами сложнее, чем для упругих шаров. Было бы неплохо предпринять усилия по уточнению влияния собственных размеров атомов (молекул) и механизма их взаимодействия на результаты исследований свойств реальных газов.

Приступая к рассмотрению одноатомного газа из нейтральных атомов, ограничимся реальными газами малой плотности, когда расстояние между атомами достаточно велико. При таком подходе на эффективное расстояние взаимодействия r_о(см. рис. 8.1) одновременно сближается не более двух атомов, что позволяет учитывать только парные взаимодействия и пренебречь взаимодействием трёх и более атомов одновременно. Почему?

Во-первых, нами выбрана система, в составных частях (атомах) которой можно пренебречь внутренним движением и ограничиться только поступательным движением этих объектов. Кроме того, в такой системе возможен переход от фундаментальных кулоновских сил к нефундаментальным межатомным силам взаимодействия. При этом, как показывает эксперимент и теоретические расчёты физиков-теоретиков, характер зависимости энергии взаимодействия нейтральных атомов (молекул) U ^вз от r при малых расстояниях между ними, r ®0, подчиняется зависимости вида: U ^вз ~ r ^–ⁿ с n @ 12; т. е. может быть прописано как взаимодействие ионов. Причина здесь кроется в том, что характер сил отталкивания при r ®0 определяется ядрами атомов. Поэтому эти силы практически нечувствительны к тому, какие именно объекты сближаются – ионы или нейтральные атомы [2].

Рис. 8.1. Форма энергии взаимодействия между двумя атомами. Здесь d = 2r_ат, r₀ @ (3¸ 4)d – эффективное расстояние взаимодействия

Если расстояние между атомами (молекулами) стремится к бесконечности (r ®

) энергия взаимодействия между ними подчиняется зависимости вида: U ^вз ~ –r^–^mс m > 1, т.е. при больших расстояниях r между атомами могут возникать силы притяжения. Причиной здесь может выступать несимметричность в распределении зарядов в атоме или молекуле; типичным примером является молекула воды. В других атомах (молекулах) выбранной системы такое разделение зарядов может возникать под влиянием «соседей». В результате полной компенсации кулоновских сил взаимодействия не происходит, что и объясняет происхождение сил притяжения.

Физики на опыте с инертными газами установили, что, несмотря на симметричность расположения электрических зарядов в них, полное выражение для энергии взаимодействия двух нейтральных атомов, справедливое при любом r, имеет вид:

. (8.2)

Взаимодействие, энергия которого подчиняется зависимости вида (8.2), называется взаимодействием Ван-Дер-Ваальса.

Во-вторых, межатомные силы взаимодействия приближённо удовлетворяют закону независимости действия сил, так что энергия взаимодействия в нашей системе атомов равна сумме энергий взаимодействия всех парных частиц и может быть представлена в виде: , что сближает межатомные силы взаимодействия с фундаментальными силами; здесь множитель ½ компенсирует наличие одинаковых вкладов .

В-третьих, при r ® силы притяжения (8.2) склонны к быстрому исчезновению (рис. 8.1), что сопровождается значительным уменьшением числа частиц одновременно взаимодействующих.

Оценим влияние взаимодействия атомов газа на его параметры в тепловом равновесии. Естественно ожидать, силы отталкивания препятствуют сближению двух атомов на бесконечно близкое расстояние. Это указывает на то, что эффективный объём газа V_эфф меньше объёма V занимаемого газом (V_эфф < V). Силы притяжения (рис. 8.1) должны влиять на давление реального газа; и прежде всего, влияние существования этих сил испытывают атомы вблизи стенки сосуда. Действительно, под воздействием этой силы, направленной внутрь газа, уменьшается концентрация атомов у стенки. В работе [3, с. 52] эту уменьшенную передачу импульса мы интерпретировали в среднем как давление газа.

Под воздействием сил притяжения атомов их концентрация в пристеночном слое убывает. Согласно формуле Больцмана [3, с. 59] в «среднем поле», действующем на один атом газа, она изменяется по закону вида:

; здесь n_ст. – плотность газа у стенки сосуда при r > d, (рис. 8.2 и 8.1). Если учесть, что n_внут. º n_о выразим неизвестную концентрацию n_ст.(х) атомов у стенки через известную кон

Рис. 8.2. Концентрация атомов в пристеночном слое

центрацию атомов внутри сосуда n_о, т. е.

; здесь введена более удобная координата х, перпендикулярная стенке сосуда и отсчитываемая от неё. Из рис. 8.2; 8.1 следует, что концентрация атомов у стенки n_ст.(х) отличается от n_о только в слое от d до r_о, при этом n_ст.(х) < < n_о (рис. 8.2); т. е. концентрация в пристеночной области изменяется лишь в области эффективного взаимодействия d < х < r_о. Кроме того, в формуле Больцмана требует уточнения понятие «среднего поля», обозначаемое символом

Учёт только парных взаимодействий позволяет записать энергию взаимодействия N атомов в виде: , где – энергия взаимодействия для двух атомов, а штрих над суммой означает, что член с i = j отсутствует. Поскольку в качестве переменной мы выбираем энергию взаимодействия – на расстоянии эффективного взаимодействия (рис. 8.1), то все члены суммы окажутся одинаковыми. И тогда с учётом того, что N > > 1: . Отсюда немедленно следует, мы можем ввести «среднее поле», действующее на один атом нашей системы . И концентрация вблизи стенки сосуда запишется: . Здесь необходимо воспользоваться приближением < < , что соответствует малым отклонениям от идеального газа. Кроме того, это позволяет разложить в ряд экспоненциальный множитель, что и сделано в последней формуле n_c_т_.(x). Теперь величину давления, наблюдаемую на опыте в области пространства от d до r_o (рис. 8.2), можно записать в виде:

p º p_ср.(d) = n_о× k× T – n_о× . (8.3)

Второй член в этой формуле характеризует внутреннее давление, обусловленное притяжением атомов; в идеальном газе он отсутствует.

Предпримем теперь усилия по осознанию смысла для реального газа малой плотности. Почему? В идеальном газе мы атомы считали точечными и = N/V. Однако наличие сил отталкивания при r < d (см. рис. 8.1) позволяет заключить – это эффективная плотность атомов. Иначе говоря, N атомов могут занимать не весь объём V, а только ту его часть, назовём её эффективным объёмом V_эф_, которая ещё не занята атомами; во внутренние области друг друга атомы проникнуть не могут. Другими словами,

где – собственный объём атомов. Поскольку мы имеем дело с газом малой плотности, < < V, и, разлагая в ряд @ ( ), приходим к уравнению вида:

. (8.4)

Свяжем собственный объём атомов с размерами атома; представим, что атомы – твёрдые шарики. В таком приближении центры прочих атомов не могут попасть внутрь сферы, описанной вокруг центра выбранного шарика (желательно нарисовать образ). Радиус такой сферы «недоступности» равен диаметру атома, , а её объём запишется:

Оценивая объём «недоступности» газа в целом, нужно умножить объём недоступности на число их пар N/2, чтобы не учесть дважды каждый атом. В результате объём «недоступности» газа из N атомов равен:

. (8.5)

Разумеется, собственный объём атомов равен учетверённому объёму всех атомов лишь при малой плотности и становится непригодным с увеличением плотности газа.

Таким образом, с учётом выражений (8.4) и (8.5) формула давления реального газа (8.3) принимает вид:

. (8.6)

Пытливый читатель, проверяя операцию умножения, обнаружит, здесь опущен член, содержащий U_эф < < k× T в силу его малости, что оговаривалось в конце с. 117.

Принято вводить обозначения: , ; если разность последних двух членов формулы (8.6) заменить выражением – а/V², то для давления реального газа приходим к выражению вида: . Здесь первый член соответствует давлению идеального газа, а последний член даёт поправку к давлению для реальных газов малой плотности. Следует заметить, как следует из уравнения (8.6), знак поправки «чувствителен» к соотношению между величинами /V и /k× T и, тем самым, «чувствителен» к температуре.

Итак, если число атомов N равно числу Авогадро N_А, то уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля реального газа запишется:

. (8.7)

Как следует изменить уравнение (8.7), чтобы оно сгодилось для любой массы газа? Настойчивый, а где-то и въедливый, читатель вспомнил понятие моля вещества и представил его на символическом языке: n = = N / N_A = N× m₀ / N_A× m₀ = m / M = r× V / r× V_o. Отсюда немедленно следует V_o = = V× M / m, а уравнение (8.7) принимает вид:

. (8.8)

В заключение следует сказать, наводящие соображения, приведшие нас к уравнению Ван-дер-Ваальса, не являются его выводом.

8.2. Изотермы Ван-дер-Ваальса. Критическое
состояние вещества

Рис. 8.3. Изотермы Ван-дер-Ваальса

Итак, подход к рассмотрению «столкновений» атомов реального газа как результат наличия сил отталкивания между ними, зависящих от расстояния r и быстро возрастающих при уменьшении r (8.2), позволил получить уравнение Ван-дер-Ваальса (8.8). Оказалось, уравнение Ван-дер-Ваальса есть алгебраическое уравнение третьей степени относительно объёма V. Поэтому, в зависимости от значений давления p и температуры T, может быть одно или три значения объёма V. При постоянной температуре уравнение (8.7) даёт некоторую связь между объёмом и давлением, которая графически представлена на рис. 8.3. Эти кривые принято называть изотермами Ван-дер-Ваальса. При очень высоких температурах, U_эф < < k× T, они имеют форму близкую к гиперболе, PV = RT = const, и описывают состояние вещества, близкое к идеальному газу; на такой изотерме каждому значению давления p соответствует одно значение молярного объёма V_о, так же как это имеет место при подчинении газа закону Менделеева-Клапейрона. По мере уменьшения температуры форма изотермы изменяется и при температуре Т_к обнаруживает точку перегиба; рис. 8.3, обозначено символом К. При дальнейшем понижении температуры в определённой области давлений и объёмов, рис. 8.3, изотермы реального газа приближаются к изотермам Ван-дер-Ваальса. В частности, на изотермах проявляются горбы, и каждому давлению p соответствуют три значения объёма V_о.

Рис. 8.4. Пояснения в тексте.

Чтобы выяснить смысл этой, странной на первый взгляд, зависимости, обратимся к опыту. Схема опыта следующая (рис. 8.4): в цилиндре А под поршнем В заключён один моль реального газа, температура которого поддерживается постоянной. Объём реального газа V_о может быть измерен по положению поршня В, а его давление – манометром С. На рис. 8.4, сверху, представлена экспериментально полученная изотерма при температуре ниже критической. Измерения показывают, при больших объёмах V_о с опусканием поршня В, объём реального газа уменьшается, а давление возрастает монотонно (рис. 8.4., участок изотермы 6®5); свойства реального газа аналогичны свойствам идеального газа.

При достижении некоторого определённого давления изотерма реального газа идёт не по кривой 5®4®3®2 (рис. 8.4), как этого требует уравнение (8.7), а по изобаре 5®2, т. е. в точке 5 свойства реального газа резко изменяются; происходит расслоение вещества на две фазы: жидкую и газообразную. При дальнейшем опускании поршня давление насыщенного пара p_о, начиная с точки 5, остаётся постоянным; начинается процесс конденсации (ожижения) реального газа. Чем дальше опускается поршень, тем количество газа, который при этих условиях принято называть насыщенным паром, конденсируется в жидкость; переход осуществляется при p_о = const (рис. 8.4, 5®2). Точка 2 (рис. 8.4) соответствует переходу всего количества реального газа в жидкую фазу, а ход изотермы примерно следует уравнению (8.7). Под поршнем окажется только жидкость, и дальнейшее продвижение поршня требует весьма значительных усилий.

Таким образом, уравнение Ван-дер-Ваальса описывает не только газообразные состояния вещества, но охватывает и процесс перехода вещества в жидкость, и процесс её сжатия.

В хорошем соответствии с результатами измерений уравнение Ван-дер-Ваальса показывает сближение точек 5®2, соответствующих объёмам V_г и V_ж, по мере повышения температуры (рис. 8.4 и 8.3). Горизонтальный участок изотермы сокращается, стягиваясь в точку К. Температура, соответствующая изотерме с точкой К, а вместе с ней объём и давление (рис. 8.3) принято называть критическими – T_к, P_к, V_к. При T_к исчезает всякое различие между жидкостью и паром. Предпримем усилия по нахождению взаимосвязи между критическими параметрами состояния T_к, P_к, V_о_к для одного моля газа и постоянными а и b уравнения Ван-дер-Ваальса.

Преобразуем уравнение Ван-дер-Ваальса:

раскрыв скобки (выполнили? ), умножив левую и правую части на V_о²/р (сделали? ) и собрав члены, содержащие V_о в одинаковых степенях, приходим к выражению вида:

Отсюда непосредственно следует, уравнение Ван-дер-Ваальса представляет собою уравнение третьей степени относительно V_о. Запишем его для критической температуры T_к:

. (8.9)

Изотерма с температурой T_к, рис. 8.3, в точке К имеет перегиб, поэтому в этой точке уравнение (8.9) имеет тройной корень V_ок и, как доказывается в алгебре, может быть представлено в виде:

;

если выполнить возведение в степень, то

. (8.9а)

Оба уравнения (8.9) и (8.9 а) тождественно совпадают между собой, если коэффициенты при одинаковых степенях V_о равны, т. е.:

Решая эти уравнения относительно трёх неизвестных, пытливый читатель, например, разделив последнее равенство на предпоследнее, получит:

где – объём одного моля реального газа при критической температуре.

В заключение обратим внимание на то, что экспериментальная изотерма 2®5 (рис.8.4) имеет прямолинейный участок вместо завитка 5®4®3®2. Это объясняется неустойчивостью однородных состояний, отвечающих завитку 5®4®3®2.Если пытливый читатель возьмёт производную на участке 3®4 и, проявив терпение, запишет её через приращение, т. е. Dр/DV, то убедится, что она положительна(? ). Это означает – увеличение объёма сопровождается ростом давления, что, естественно, является противоестественным.

На участках 2®3 и 3®4 Dр/DV отрицательна (убедились? ), эти участки могут быть реализованы. Однако в силу их неустойчивости (метастабильны) они требуют выполнения соответствующих условий, в частности, исключения посторонних примесей. Участок 5®4 соответствует пересыщенному пару, а 2®3 – перегретой жидкости. Свойства этих состояний нам потребуются в третьем семестре основного курса физики.

⇐ Предыдущая 14 15 16 17 181920 21 22 23 Следующая ⇒