Уравнение переноса в газах. Диффузия

В предыдущем параграфе, и не только [3, с. 51..; 57..], нам удалось показать – главным в тепловом равновесии любого макрообъекта является только то, чтобы между частицами были какие-либо столкновения, приводящие к «хаотизации» их движения.

Процесс приближения к тепловому равновесию происходит постепенно через ряд стадий. Этим стадиям соответствуют различные типы воздействий, ведущие к установлению теплового равновесия. При этом могут происходить следующие процессы. Если значения давления газа в его различных областях объёма не совпадают, то на микроуровне происходит передача импульса от одной области газа к другой, ведущая к установлению одинакового давления. В результате устанавливается механическое равновесие. Однако при этом внутренние энергии этих двух областей газа могут не совпадать, если их температуры различны.

В течение какого-то промежутка времени после установления равенства давлений из-за хаотических столкновений молекул имеет место энергетическое воздействие одной области газа на другую. На микроуровне это означает, молекулы «горячего» газа, обладающего большей средней энергией, переносят её молекулам «холодного» газа. Происходит передача внутренней энергии на микроуровне от одной области газа к другой, ведущая к установлению одинаковой температуры.

Существует третья возможность внешнего воздействия одной области объёма газа на его другую область. Её можно реализовать, когда наряду с обменом импульсом и внутренней энергией частей газа может происходить обмен входящими в эти части газа молекулами. Если при этом газы в этих частях разного сорта, то такое корпускулярное воздействие приводит к установлению одинаковых концентраций каждого газа в его частях. При этом происходит передача числа частиц каждого сорта на микроуровне от одной части газа к другой. Этот процесс происходит медленно и возможен даже тогда, когда давление и температура в этих частях уже стали одинаковыми.

Таким образом, процессы установления теплового равновесия в результате силового, энергетического и корпускулярного контактов называются явлениями переноса. Как следует из приведённого на знаковом (словесном) языке анализа, к ним относятся явления переноса импульса, энергии и числа частиц (или массы).

Рис. 7.6. Перенос физической величины через площадку DS

Итак, названные явления обусловлены переносом молекулами газа соответствующих физических характеристик: массы при диффузии; импульса при вязком трении; энергии при теплопроводности. Механизм явлений единый – столкновительный и изучить эти явления, это значит – установить закон которому они подчиняются. Наиболее удобной характеристикой такого процесса может служить поток физической характеристики, переносимый молекулами через площадку DS в направлении оси х – (рис. 7.6). Здесь N и j соответственно число частиц и переносимая ими физическая характеристика. Общую формулу потока при малых отклонениях от равновесия можно предугадать, исходя из следующих соображений. Известно [3, с. 53], что за время Dt через площадку DS в одном из направлений, в частности, в направлении оси х, движется N = n× u× DS× Dt молекул. Численное значение физической величины, переносимой молекулами в направлении оси х из точки (х – l) через площадку DS (рис. 7.6), запишется: (N× )₁ = (n× )₁× u× DS× Dt. В обратном направлении через эту же площадку из точки (х + l) перенос физической величины (N× )₂ = (n× )₂× u× DS× Dt. Каждый процесс переноса связан с отклонением физической величины (n× )_i от равновесного значения и поток физической величины D(N× ) через площадку DS в направлении оси х запишется: D(N× ) = – {(N× )₂ – (N× )₁}. Если учесть число частиц, соответственно дальше и ближе точки х, и среднюю скорость их хаотического движения последнее равенство принимает вид:

D(N× ) = – × D(n )× u× DS× Dt. (7.12)

Учтём теперь тот факт, что перед пересечением площадки каждая молекула испытывает последнее столкновение, т. е. обменивается физической характеристикой с другими молекулами, на расстоянии не меньшем l от точки х; где l – длина её свободного пробега (рис. 7.6). У нас появляется возможность представить отклонение физической величины D(N× ) от постоянного равновесного значения через его темп. Действительно, умножив и разделив формулу потока физической величины (7.12) на 2l (? ), приходим к выражению вида:

.

Если учесть, что 2l это не что иное как D х, в чём пытливый студент может легко убедиться, глядя на рис. 7.6 (преобразования проделали? ), приходим к уравнению, отражающему темп отклонения D(N× ) от постоянного равновесного значения:

; (7.13)

здесь под символом u подразумевается средняя квадратичная скорость молекулы (? ); формула (7.5).

Итак, нам удалось, не в ущерб математической строгости, прописать явления переноса и получить уравнение, аналогичное уравнению Фика. Дальнейший анализ формулы (7.13) позволит найти конкретные формулы для явлений переноса. В заключение преобразований следует заметить, что за действием умножения на 2l скрывается математическая операция по нахождению приблизительного приращения функции, равного произведению производной на приращение аргумента.

Приступая к описанию явления диффузии, рассмотрим газовую смесь, состоящую из молекул двух сортов n₁ и n₂. Для упрощения расчётов будем считать, что молекулы обеих компонент мало отличаются по массе, т. е. m₁ m₂ m; имеют одинаковые эффективные сечения рассеяния – s₁ = s₂ = s ; полное число молекул и давление в процессе диффузии не изменяются. Это позволяет молекулам обеих компонент приписывать одинаковую среднюю квадратичную скорость теплового движения (7.5) и среднюю длину свободного пробега (7.7). Если концентрация n_i газовых компонент в различных точках пространства будет не одинаковой, вследствие теплового движения будет происходить перенос массы m i-й компоненты в направлении убывания её концентрации. Таким образом, в явлении диффузии, описываемом уравнением переноса (7.13), физическая характеристика j º m. Поскольку статистическая физика имеет дело только с равновесными состояниями, то концентрация n_i газовых смесей поддерживается не изменяющейся со временем (рис. 7.6). Тогда дробь в уравнении (7.13), , отражает градиент плотности для одной из компонент в том сечении, где расположена площадка DS (рис. 7.6). Таким образом, уравнение для явления диффузии принимает вид:

. (7.14)

Здесь D – коэффициент диффузии, равный ; r = n× m, М = N× m.

 

⇐ Предыдущая13141516171819202122Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. CF (Carry Flag) — флаг переноса
2. Аналитическое сглаживание временного ряда. Уравнение тренда.
3. Движение тел в жидкостях и газах.
4. Дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня
5. Диффузия в оксидных пленках. Схема роста защитных пленок
6. Дуговая сварка в защитных газах.
7. И ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАДИОПЕРЕДАЧИ
8. Кратко о практике переноса сознания ПХОВа.
9. Механизм переноса твердой фазы турбулентными потоками жидкости
10. Молекулярная диффузия внутренняя
11. Монетаристская концепция инфляции. Уравнение обмена. Факторы роста денежной массы. Другие причины инфляции
12. Неразрывность потока. Уравнение Бернулли