Определение нелинейных регрессионных моделей методом средних

Метод средних удобен для установления регрессионных моделей в нелинейных корреляциях. Он базируется на следующих рассуждениях.

Пусть имеются n пар данных наблюдений . Требуется установить уравнение регрессии в виде

y= . (9.6)

Предположим, что нашли коэффициенты регрессии . Тогда, если подставить исходные статистические данные в формулу (9.6), то левая часть формулы, в общем случае, не будет равна правой. Разности (невязки)

(9.7)

называются уклонениями и представляют собой расстояния по вертикали точек от графика эмпирической функции (9.6), взятые со знаком «+» или «― » (рис. 9.6).

Согласно методу средних, за лучшее положение эмпирической линии регрессии K принимается то, для которого равна нулю алгебраическая сумма E всех уклонений , т.е. должно иметь место равенство

E = = 0. (9.8)

 

 

yi

xi

x

K

ε i

Mi

y

 

Рис. 9.6 - Графическая интерпретация уклонений

Для определения коэффициентов регрессии , где , все уклонения разбивают на m групп, содержащих примерно одинаковое количество уклонений. Приравнивая нулю алгебраическую сумму уклонений, получаем систему, содержащую столько уравнений, сколько имеется неизвестных коэффициентов . Решив эту систему, найдем коэффициенты регрессии.

Пример 2.Получены опытные попарные наблюдения (табл. 9.2) – две верхние строки таблицы. В третьей строке записаны вспомогательные расчетные данные.

Таблица 9.2 - Опытные и расчетные данные

	83, 7	72, 9	63, 2	54, 7	47, 5	41, 4	36, 3

 

Установить нелинейное уравнение регрессии.

Решение

Будем определять искомое уравнение регрессии в виде

. (4.9)

Подставляя табличные данные в формулу (9.9) и используя формулу (9.7), получим выражения для соответствующих уклонений:

Для определения трех коэффициентов и уклонения нужно разбить на три группы, например, I , II , III .

Тогда получим систему уравнений в соответствии с выражением (9.8)

или

;

.

Решая эту систему уравнений, находим

.

Следовательно, искомое уравнение регрессии будет

. (9.10)

 

Применение логистической кривой

Одной из моделей прогнозирования, получаемой из регрессионного анализа, является логистическая кривая (функция), с помощью которой описывают законы роста, присущие многим процессам в экономике и управлении. Она дает возможность прогнозировать, например, динамику изменения показателей реализации продукции, качества объектов и процессов и др.

В основе логистической кривой лежит закономерность, выраженная уравнением Ферхюльста [2]:

, (9.11)

где - значение функции, например, показателя деятельности или качества;

– время;

А – расстояние между верхней и нижней асимптотами кривой;

С – нижняя асимптота, т.е. предел, с которого начинается рост функции;

a, b – эмпирические параметры, определяющие наклон, изгиб и точки перегиба графика логистической кривой (рис. 9.7).

Эта кривая (S-образная) имеет две точки перегиба и характеризуется переходом от ускоряющегося роста к равномерному (вогнутость) и от равномерного к замедляющемуся (выпуклость) (рис. 9.7, б) или наоборот – при обратной форме кривой (рис. 9.7, в). Эта особенность дает возможность определить различные критические, оптимальные и другие информационные точки.

 

A

C

A/2

0

а)

 

 

0

в)

0

б)

 

Рис. 9.7 - Графики логических кривых

Для установления уравнения логистической функции первоначально надо определить верхнюю и нижнюю асимптоты. Это с достаточной точностью можно сделать по эмпирическому ряду путем его просмотра. Значение верхней асимптоты можно проверить по формуле [2]:

, (9.12)

где - три эмпирических значения функции, взятые через равные интервалы аргумента.

Затем посредством логарифмирования уравнение (9.11) приводится к следующей форме:

. (9.13)

Вводя обозначения, получим

. (9.14)

Для определения параметров этого уравнения служит следующая система нормальных уравнений, решаемая методом наименьших квадратов [3]:

(9.15)

Решив эту систему, определим регрессионное уравнение (9.11).

Пример 3.Ежегодные затраты предприятия на осуществление логистического сервиса приведены в табл. 9.3. Определить регрессионное уравнение в виде логистической функции и сделать прогноз на 2017 г.

Решение

Таблица 9.3 - Исходные данные и результаты вспомогательных расчетов

Год	x	y, млн. руб.		lgZ
		4, 1	99, 0	1, 996		1, 996
		4, 3	32, 3	1, 509		6, 036
		6, 0	4, 0	0, 602		5, 418
		10, 0	0, 67	-0, 174		-2, 784
		12, 2	0, 22	-0, 658		-16, 450
		13, 3	0, 08	-1, 097		-36, 492
∑		49, 9	136, 27	2, 178		-42, 276

 

По данным таблицы система уравнений (9.15) запишется:

;

.

Решая эту систему, находим а = 10, 3; b = - 2, 8. Из анализа исходных данных можно принять значения асимптот: А=10 млн. руб., С=4 млн. руб.

Тогда уравнение логистической функции будет:

y = + 4 млн. руб.

Подставляя в это уравнение (порядковый номер 2017-го года), получаем прогноз затрат млн. руб.

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 1. Выбрать бизнес-процесс (логистический процесс) для разработки информационной модели.

В условиях внедрения корпоративной информационной системы пе­ред организацией ставится задача регламентации основных бизнес-про­цессов, реализующих управление движением товарно-материальных по­токов. Частным решением этой комплексной задачи является построение информационных моделей логистических функций, процедур и операций.

Выбор объекта моделирования возможен, исходя из составляющих сквозного логистического бизнес-процесса.

Дальнейшая декомпозиция составляющих процесса позволяет полу­чить множество процедур, которые могут являться объектом информаци­онного моделирования. Возможен самостоятельный выбор процесса (функ­ции, процедуры) по желанию разработчика.

Дальнейшая декомпозиция данного процесса в BPWin позволяет полу­чить информационную модель процесса определения потреб­ности в материальных ресурсах организации (рис. 9.3 и 9.4).

Задание. Выбрать метод моделирования, реализация которого может осуществляться как в автоматизированном, так и в ручном режиме. В автоматизированном режиме рекомендуется использовать программы AllFusion Process Modeler (ранее BPWin) или Microsoft Visio.

Определить входную и выходную информацию, регламентирующую информацию (нормативно-справочную), информационные субъекты управления.

Построить модель.

Задача 2.Попарные данные наблюдений за процессом в виде зафиксированных значений результирующего показателя y и независимого аргумента x по вариантам приведены в табл. 9.4. Определить линейную регрессионную модель и коэффициент корреляции. Построить график линии регрессии.

Таблица 9.4 - Данные наблюдений

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

1, 74

1, 69

1, 82

1, 95

1, 92

2, 12

2, 16

2, 15

 

Продолжение таблицы 9.4

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

1.

Задача 3. Наблюдения за уровнем дефектности продукции y в процентах по годам (x – порядковый номер года наблюдений) для различных вариантов приведены в табл. 9.5. Определить нелинейные регрессионные модели методом средних. Построить график линии регрессии.

Таблица 9.5 -Данные наблюдений

x	y в процентах по вариантам
	1, 2	3, 4	1, 9	0, 8	2, 3		1, 8		2, 7	1, 2	8, 5	5, 2	3, 6	1, 4	10, 2
	1, 8	3, 2	1, 3	1, 3	2, 2		1, 7		4, 8	1, 6	8, 3	3, 5	5, 7	1, 6	10, 0
	2, 3	3, 1	0, 8	1, 5	2, 2		1, 6		5, 7	2, 0	8, 0	2, 7	7, 0	2, 2	9, 7
	2, 7	3, 0	0, 6	1, 7	2, 0		1, 5		6, 4	2, 6	7, 6	1, 9	8, 2	3, 3	9, 2
	2, 9	2, 7	0, 4	1, 9	1, 8		1, 3		7, 2	3, 3	6, 7	1, 3	9, 0	4, 4	8, 4
	3, 2	2, 3	0, 3	2, 1	1, 5		1, 1		7, 8	4, 2	5, 6	1, 0	9, 5	5, 2	7, 0
	3, 3	1, 4	0, 2	2, 3	1, 2		0, 7		8, 0	5, 4	3, 7	0, 8	9, 8	6, 5	4, 7

 

Задача 4. Изменения затрат на управление логистическим сервисом в относительных единицах по годам (x – порядковый номер года наблюдения), а также значения асимптот логистической функции A и С по вариантам представлены в табл. 9.6. Определить регрессионные модели в виде логистических кривых. Построить график линии регрессии.

Таблица 9.6 - Данные наблюдений

Вариант	Порядковый номер года x	А	С
	0, 4	2, 1	5, 6	9, 8	11, 4	11, 5	11, 8
	6, 8	6, 1	4, 7	1, 6	0, 6	0, 4	0, 3
	2, 3	5, 4	9, 3	11, 9	12, 1	13, 3	13, 7
	5, 8	4, 5	2, 3	1, 4	1, 3	1, 3	1, 1
	7, 2	14, 1	24, 8	33, 4	37, 7	38, 5
	32, 4	27, 6	13, 4	6, 3	6, 2	6, 1	6, 1
	4, 7	18, 2		77, 5
		33, 3	23, 1	8, 5	4, 2	3, 2
	2, 7	8, 3	18, 6	27, 5	34, 1	35, 2
	43, 5	39, 8	29, 2	9, 8	4, 2	3, 7

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Муров, В.М., Нордин, В.В. Логистика: Учеб. пособие. – Калининград: Изд-во КГТУ, 2015.

2. Логистика: тренинг и практикум: учеб. пособие/ Под ред. Б.А. Аникина, Т.А. Родкиной. - М.: ИНФРА-М, 2007. - 448 с., раздел 8.

3. Закс, Л. Статистическое оценивание: Пер. с нем. – М.: Статистика, 1976.- 598 с.

4. Сулицкий, В. Н. Методы статистического анализа в управлении: Учеб. пособие. – М.: Дело, 2002.- 520 с.

5. Теория статистики: Учебник / Под ред. Р.А. Шмойловой. – 4-е изд. – М.: Финансы и статистика, 2004.- 656 с.

⇐ Предыдущая12345678

Поделиться:

Популярное:

1. I-1. Определение объёма гранта
2. II. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ГРАНИЦ МОРФОЛОГИЧЕСКОГО ПОЛЯ ЧЕЛОВЕКА
3. II. Определение площади зоны заражения АХОВ.
4. Ill. Самоопределение к деятельности
5. IV.3. Определение преобладания типа темперамента
6. V) Построение переходного процесса исходной замкнутой системы и определение ее прямых показателей качества
7. Абстрактное как абстрактно-всеобщее определение конкретного целого
8. Аксиоматическое определение вероятности
9. Аксиоматическое определение вероятности.
10. Анализ функциональной связи между затратами, объемом продаж и прибылью. Определение безубыточного объема продаж и зоны безопасности предприятия
11. Аналитическое определение стоимости
12. Арабоязычная философия средних веков. Философские и медицинские воззрения Ибн-Сины.