ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАДИУСА КРИВИЗНЫ

ВОГНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ
МЕТОДОМ КАТАЮЩЕГОСЯ ШАРИКА

Цель работы: Определить радиус кривизны вогнутой сферической поверхности и произвести оценку погрешности полученного результата.

Принадлежности: Вогнутое сферическое зеркало, стальные шарики, секундомер, штангенциркуль.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Движение шарика, катящегося по плоской поверхности, можно представить в виде векторной суммы двух движений: 1) поступательного со скоростью u_с, равной скорости его центра масс, 2) вращательного вокруг оси, проходящей через центр масс, с угловой скоростью w.

Скорость любой точки шарика относительно поверхности определится соотношением

. . (1)

Если качение шарика происходит без проскальзывания, то скорость его точки B, соприкасающейся с поверхностью, будет равна нулю. В силу этого, как следует из (1) (см. рис.1), 0 = u_с - w× r. Поэтому

, (2)

где r - радиус шарика.

С помощью формул (1) и (2), можно подсчитать скорость любой точки шарика. Так, например, скорость точки А равна 2u _с.

Шарик, помещенный на вогнутую поверхность, занимает положение, соответствующее минимуму его потенциальной энергии. Если шарик вывести из этого положения и отпустить, то он будет колебаться около своего положения равновесия. Качение шарика без проскальзывания возможно при действии на него со стороны поверхности силы трения покоя (силы трения сцепления) F_t (рис.2). Эта сила F_t может принимать любое значение от 0 до m× N , где m - коэффициент трения, N – величина нормальной реакции поверхности. При качении сила F_t принимает такое значение, при котором скольжение отсутствует. Если сила требующаяся для этого, превышает величину m× N , то чистое качение невозможно - оно будет сопровождаться проскальзыванием.

Покажем, что на вогнутой сферической поверхности при небольших смещениях от положения равновесия, шарик будет совершать гармонические колебания. Результирующая сил, действующих на шарик (силы трения сцепления F_t _,нормальной реакция поверхности N и силы тяжести mg ) сообщает центру масс шарика некоторое ускорение, которое можно представить в виде векторной суммы нормального a_n и тангенциального a _t ускорений:

. (3)

Проектируя (3) на направление касательной к траектории шарика, получим:

Если ограничиться малыми углами, при которых sina » a , то будем иметь:

. (4)

Результирующий момент сил, действующих на шарик, сообщает ему угловое ускорение b, которое входит в основное уравнению динамики вращающихся твердых тел

. (5)

Уравнение (5) описывает вращение шарика относительно оси, проходящей через его центр масс. Здесь I_c - момент инерции шарика относительно оси, проходящей через центр масс, b - его угловое ускорение шарика, F_t× r - момент силы трения сцепления относительно указанной оси. (Моменты сил mg и N относительно указанной оси равны нулю). Для однородного шара

. (6)

Если радиус кривизны сферической поверхности R существенно превосходит радиус шарика r, то связь между ускорениями a_t и b может быть представлена соотношением:

(7)

Подставляя (6) и (7) в (5), получим:

. (8)

Исключая величину F_t из формул (4) и (8), можно получить:

Принимая во внимание, что

где S - смещение шарика от положения равновесия, отсчитанное по траектории центра масс шарика, R - радиус кривизны этой траектории, получим:

. (9)

Из полученного следует, что тангенциальное ускорение шарика пропорционально его смещению от положения равновесия и направлено к положению равновесия. Это указывает на то, что колебания шарика будут гармоническими.

В самом деле, при гармоническом колебании смещение S изменяется по закону

S = A× cosw× t

Дифференцируя S дважды по t , получим:

Þ (10)

Здесь - циклическая частота колебания.

Из формул (9) и (10) следует, что

В результате для радиуса кривизны траектории центра масс шарика R получим

. (11)

Радиус кривизны вогнутой поверхности зеркала будет превышать R на величину радиуса шарика r. Поэтому

R_з=R + r. (12)

Чтобы получить более точное выражение для радиуса кривизны сферического зеркала необходимо учесть, что путь S , проходимый центром масс шарика и длина дуги l , описываемая точкой B , не равныдругу. Как следует из рис. 2,

l=a R_з, S=a (R_з-r ) и кроме того l=jr

Дифференцируя приведенные соотношения дважды по t, и принимая во внимание, что тангенциальная составляющая ускорения центра масс шарика a_t и его угловое ускорение b соответственноравны;

и ,

получим формулу, связывающую их между собой

(7’)

Используя вместо (7) формулу (7’), получим более точное выражение для радиуса кривизны зеркала

(12’)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Протереть зеркало и шарик чистой фланелевой салфеткой.

2. Определить период колебаний шариков разных размеров, измеряя секундомером время 5 – 10 их колебаний на вогнутой поверхности зеркала.

3. Используя средние значения периодов колебаний шариков разных размеров, по формуле (10) подсчитать R.

4. При помощи штангенциркуля или микрометра определить радиусы шариков r₁, r₂ и... и подсчитать радиус кривизны сферического зеркала по формулам (12). и (12’).

5.Сравнить полученные результаты и произвести оценку погрешности.

6. Разработать геометрический метод оценки радиуса кривизны сферической поверхности. Найти величину радиуса кривизны вогнутого зеркала этим методом. Сравнить полученные результаты между собой и сделать выводы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Выяснить, что называют переносной, относительной и абсолютной скоростью. Сформулировать классический закон сложения скоростей.

2. Доказать справедливость соотношения (2). При каком условии оно выполняется?

3. Сформулировать основной закон динамики для вращающихся твердых тел.

4. Определить условия, при которых тело совершает гармонические колебания. Записать формулы для смещения, скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания.

5. Вывести формулы (9), (11)., (12) и (12’). Сравнить между собой формулы (7) и (7’). Выяснить условия, при которых они дают практически совпадающие результаты..

6. Решитьзадачу . Небольшое тело может скользить без трения по вогнутой сферической поверхности радиуса R . Определить период малых колебаний этого тела на данной поверхности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хайкин С.Э. Физические основы механики -- М.: Наука. 1971.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. -- М.: Наука. 1968. т.1. (и более поздние издания).

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6

ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН

Цель работы. Знакомство с устройством штангенциркуля, микрометра, микроскопа, приобретение навыков использования этих приборов для измерения линейных размеров тел.

Принадлежности. Модель линейного нониуса, штангенциркуль, микрометр, измерительный микроскоп, набор исследуемых тел.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Существует большое количество типов приборов, служащих для определения линейных размеров тел. Измерение длин часто производят масштабной линейкой. Величина наименьшего деления масштабной линейки называется ценой деления. Обычно цена деления линейки равна 1 мм. Точность измерения такой линейки не превышает 0, 5 мм. Для повышения точности измерений измерительный прибор снабжают дополнительной шкалой, которую называют нониусом.

Линейный нониус

Линейный нониус представляет собой небольшую линейку со шкалой. Обычно m делений шкалы нониуса равны m-1 делениям основной шкалы прибора, например, масштабной линейки. Нониус A может перемещаться вдоль линейки В (рис.1). Для случая, изображенного на рис.1, m = 10.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Рис. 1

Пусть а – цена деления нониуса, b – цена деления масштабной линейки, тогда:

Величину, равную разности между ценой деления линейки и ценой деления нониуса, называют точностью нониуса. Таким образом, точность нониуса равна отношению цены деления масштаба к числу делений нониуса.

Например, если цена деления масштаба b = 1 мм, то при m = 10 точность нониуса равна 0.1 мм, а при m = 20 — 0.05 мм.

0 10

Измерение прибором, имеющим нониус, выполняют следующим образом: измеряемое тело помещают между нулевым делением шкалы масштаба и нулевым делением нониуса (рис. 2). Затем производят подсчет числа целых делений k шкалы масштаба, укладывающихся между нулевыми штрихами, и находят номер штриха n шкалы нониуса, который лучше других совпадает с каким-либо штрихом шкалы масштаба. Из анализа рис. 2 следует, что искомая длина тела L определяется формулой

.

Здесь k – число делений шкалы масштаба, укладывающихся в измеряемой длине; n – номер штриха нониуса, совпадающего с каким-либо штрихом шкалы масштаба. Таким образом:

.

Если b = 1 мм, m = 20, то (мм).

Штангенциркуль

Линейный нониус используется в измерительном инструменте, который называется штангенциркулем.

Штангенциркуль (рис. 3) состоит из стальной линейки 1 с ценой деления 1 мм и нониуса 2, который может перемещаться вдоль линейки. Линейка и нониус снабжены упорами 3 и 4. Когда упоры соприкасаются, нулевые штрихи шкалы линейки и шкалы нониуса должны совпадать друг с другом. Для того чтобы измерить длину предмета, его необходимо поместить между упорами, которые сдвигают до соприкосновения с предметом (без сильного нажима) и закрепляют винтом 5. После этого производят отсчет по линейке и шкале нониуса. Линейные размеры предмета определяют по следующей формуле:

(мм).

Микрометр

Микрометр (рис. 4) состоит из двух основных частей: скобы 1 и микрометрического винта 2. Микрометрический винт представляет собой

стержень, снабженный точной винтовой нарезкой. Он ввинчивается в отверстие скобы с внутренней нарезкой. На микрометрическом винте закреплен полый цилиндр (барабан) 3 со шкалой. При вращении микрометрического винта барабан перемещается вдоль линейной шкалы, нанесенной на стебле 4. Величина поступательного перемещения винта при повороте его на один оборот называется шагом винта. В микрометрах используются микрометрические винты, у которых шаг равен 0.5 мм. Фактически на стебле имеется две шкалы. Цена деления каждой из них равна 1 мм. Эти шкалы сдвинуты относительно друг друга на 0.5 мм. Цифры проставлены около делений нижней шкалы (рис. 4). Шкала барабана содержит 50 делений. При шаге винта 0.5 мм цена деления шкалы барабана равна 0.01 мм.

При измерении предмет помещают между упорами 5 и 6. Вращая микрометрический винт, добиваются того, чтобы измеряемый предмет был зажат между упорами. Для уменьшения ошибки, связанной с сильным и неодинаковым в разных опытах сжатием измеряемого предмета, микрометр снабжен специальной головкой (с трещоткой) 7, позволяющей создавать при измерениях небольшое, одинаковое во всех опытах давление на исследуемый объект.

Отсчет производят следующим образом: по нижней шкале стебля определяют число целых миллиметров, а по шкале барабана – число сотых миллиметра.

Далее, если между краем барабана и последним из наблюдаемых штрихов нижней шкалы виден штрих верхней шкалы, к полученному результату прибавляют 0.50 мм. Таким образом, в случае, представленном на рис. 5, измеряемая длина равна 12, 73 мм.

П р и м е ч а н и е. Запрещается вращать микрометрический винт микрометра за барабан, так как в этом случае он может быть выведен из строя.

Измерительный микроскоп

Измерение размеров малых тел можно производить с помощью специального микроскопа, снабженного прозрачной линейкой, изображение которой находится в фокальной плоскости окуляра.

Измерительный микроскоп (рис. 5) состоит из подвижного тубуса 1, который вставлен в корпус 2. На тубусе нанесена миллиметровая шкала с пределами 130 мм...190 мм. В верхнюю часть тубуса вставлен окуляр 3 с прозрачной шкалой (линейкой). В нижнюю часть корпуса микроскопа ввинчен объектив 4. Подвижный тубус позволяет изменять расстояние между окуляром и объективом. Это приводит к изменению цены деления шкалы окуляра. В таблице приведены значения цены деления окулярной шкалы при различной длине тубуса.

Таблица 1

Длина тубуса (мм)	Цена деления шкалы окуляра (мм)
	0, 056	0.043
	0, 053	0, 039
	0, 049	0, 036
	0, 045	0, 033
	0, 041	0, 030
	0, 038	0, 028
	0, 036	0, 027

Цена деления шкалы определяется суммарным увеличением, даваемым объективом и окуляром микроскопа.

При определении линейных размеров тел подсчитывают число делений шкалы окуляра, укладывающихся в его изображении, и умножают на цену деления шкалы:

L = a× n.

Точность измерения равна цене деления окулярной шкалы. Она возрастает с увеличением длины тубуса микроскопа.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

ЗАДАНИЕ 1. Изучить устройство линейного нониуса по его модели. Изучить конструкцию штангенциркуля, определить его технические характеристики: предел измерения, точность нониуса. Изучить конструкцию микрометра, определить его технические характеристики: предел измерения, точность микрометра. Изучить конструкцию измерительного микроскопа и его технические характеристики.

ЗАДАНИЕ 2. Определить объем бруска с помощью штангенциркуля.

1. Определить линейные размеры (a, b, h) бруска, проделав по 4 – 5 измерений в различных его местах.

2. Найти средние значения измеренных величин (`a, `b, `h ).

3. Вычислить среднее значение объема бруска .

4. Определить ошибку измерений величин a, b, h.

Если случайная ошибка измерений указанных величин значительно меньше точности штангенциркуля, то в качестве абсолютной ошибки измерений принимают ошибку, равную точности штангенциркуля.

5. Определить относительную ошибку, с которой определен объем бруска по следующей формуле:

6. Оценить среднюю абсолютную ошибку, с которой определен объем бруска:

D V= e × `V.

Результаты измерений и вычислений занести в таблицу.

7. Окончательный результат представить в виде:

V = `V ± D`V .

Таблица 2

№ п/п	a (мм)	b (мм)	h (мм)	D a (мм)	D b (мм)	D h (мм)
1.
2.
3.
4.
5.
среднее

ЗАДАНИЕ 3. Определить объем шара и цилиндра с помощью микрометра или штангенциркуля. Подсчитать ошибку, с которой определен объем по формулам

а) для шара:

где D – диаметр шара;

б) для цилиндра:

где D – диаметр цилиндра, h – его высота.

ЗАДАНИЕ 4. С помощью весов определить массу одного из тел и, зная его объем, рассчитать плотность материала:

Найти ошибку, с которой определена плотность, по формуле

ЗАДАНИЕ 5. Определить диаметр отверстия капилляра с помощью измерительного микроскопа. Оценить ошибку измерений.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется ценой деления прибора?

2. Как устроен линейный нониус?

3. Как определить точность нониуса?

4. Каким образом производятся измерения линейных размеров тел с помощью штангенциркуля, микрометра, измерительного микроскопа?

5. Как определяются ошибки прямых и косвенных измерений?

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Лабораторный практикум по общей физике./ Под ред. Гершензона Е.М. и Малова Н.Н. – М.: Просвещение, 1985.

Физический практикум. Т. 1 / Под ред. В.И.Ивероновой. – М.: Наука, 1967.

Сквайрс Д.Ж. Практическая физика. – М.: Мир, 1971.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6’

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8910 11 Следующая ⇒