РАЗДЕЛ 3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Тема 3.1 Основные положения сопротивления материалов.

Сопротивление материал, опираясь на законы и положения теоретической механики и математики, а также на результаты механических испытаний конкретных материалов, разрабатывает приемы и методы расчетов на прочность, жесткость и устойчивость в целях обеспечения работоспособности конструкции при минимальной затрате материалов.

В процессе эксплуатации конструкций и механизмов элементы, в результате воздействия внешних сил неизбежно изменяют свои первоначальные размеры и форму, т.е. деформируются.

При изучении этой темы необходимо усвоить основные понятия о:

- какие бывают деформации;

- способности конструкций (прочность, жесткость и устойчивость);

- понятие о внутренних силах и методе их определения;

- понятие о напряжениях.

Для расчета на прочность необходимо определять внутренние силы по внешним нагрузкам, поэтому в основу этих задач положен метод сечений. При определении внутренних силовых факторов методом сечений необходимо обратить внимание на использование уравнений равновесия статики для отброшенной части.

Также важную роль в задачах по сопромат играет:

- знание элементов конструкций (брус, пластина, оболочка);

- условные обозначения внешних нагрузок.

Вопросы для самоконтроля.

1. Какие задачи по сопротивлению материалов вы знаете?

2. Какой метод применяется для определения внутренних усилий в поперечном сечении?

3. Какие деформации вы знаете?

4. В чем сходства и различия между пластическими и упругими деформациями?

5. Как направлено относительно сечения нормальное напряжение?

6. Как направлено относительно сечения касательное напряжение?

Тема 3.2 Растяжение и сжатие.

В этой теме необходимо обратить внимание на такие понятия, как внутренние силовые факторы:

- Нормальная (продольная) сила Х: N

- Поперечная сила Y Q

- Крутящий момент Z, Y:

- Изгибающий момент (моменты относительно осей Y и Z – считаются положительными, если изгибают брус в сторону положительного направления соответствующей оси)

При практических расчетах часто приходиться варьировать единицами измерений, поэтому уметь преобразовывать величины, имеет большое значение

1Па=1 1 = ;

1М=100см=1000мм; 1

Пример №5. Для ступенчатого бруса (см. рис.10) требуется: построить эпюру продольных сил, эпюру нормальных напряжений, проверить прочность, определить удлинение свободного сечения, если: ; ; , Е=2*

Рис.10

0.1m 0.2m 0.3m 0.2m 0.1m

F E D C B A

70 40

+ 20 20 +

+ + 0 эпюраN(кН)

223

+ 63.7 56.6

+ 28.3 +

+ 0 эпюра

Решение:

1. Со стороны свободного сечения разбиваем брус на характерные участки и обозначаем границы участков буквами (A, B, C, D, E, F).

2. Внутри каждого участка методом сечения определяем продольную силу, как сумму проекций всех сил, спроектированных на ось с одной стороны от сечения. Продольная сила положительная, если брус испытывает деформацию растяжения.

; т.к. со стороны сечения нет ни одной силы.

Строим эпюру N (эпюру продольных сил):

-Параллельно оси бруса проводим прямую, на которую проектируем все участки;

-В выбранном масштабе на каждом участке откладываем подсчитанную продольную силу;

-Расставляем соответствующие знаки «+»- выше оси; “-“- ниже оси.

3. Определяем площади поперечных сечений:

=314 .

4. Подсчитываем нормальные напряжения на каждом участке, как отношение внутренних сил к площади поперечного сечения.

Строим эпюру (эпюру нормальных напряжений).

5. Проверяем прочность ступенчатого бруса. Прочность бруса обеспечена, если выполняется условие: .

Из эпюры выбираем максимальное нормальное напряжение растяжения и сравним его с допускаемым: 223

Из эпюры видно, что брус не испытывает деформацию сжатия, поэтому не проверяем по условию прочности на сжатие.

Вывод: прочность ступенчатого бруса не обеспечена, так как брус не удовлетворяет условия растяжения, поэтому необходимо сечение бруса на участке EF - увеличить, или уменьшить силу - до необходимых параметров обеспечивающих прочность бруса по условию растяжения.

6. Так как ступени бруса выполнены из одного материала, удлинение свободного сечения А определяем по формуле:

Ответ: Брус удлиняется на 0.27 мм, о чем говорит знак плюс.

Вопросы для самоконтроля.

1. В каком случае брус испытывает деформацию растяжения (сжатия)?

2. Влияет ли форма поперечного сечения на величину возникающих в нем напряжений?

3. Три рода задач по условию прочности при растяжении (сжатии)?

4. Какова цель механических испытаний материалов?

5. Можно ли оценить прочность деталей по величине максимального рабочего напряжения?

6. Для чего строятся эпюры в ходе решения задач?

Тема 3.3 Практические расчеты на срез и смятие.

Практика показывает, что почти все механизмы и конструкции состоят из разъемных и неразъемных соединений, основной расчет которых, заключается в расчете на прочность, при этом следят, чтобы прочность соединяемых и соединительных деталей была одинаковой.

Неразъемные – соединения, разъединение которых невозможно без разрушения соединяемых деталей или соединяющего материала (заклепочные, сварные клеевые, паяные и тд.).

Разъемные – соединения, которые разъединяются без повреждения деталей (резьбовые, шпоночные, зубчатые).

1. Заклепочные соединения (см. рис.11). При нагружении шва детали стремятся

F смятие сдвинуться относительно друг друга,

F поэтому в случае недостаточной

рис.11 срез прочности возможен срез заклепки

по линии стыка и смятие боковых поверхностей заклепок и наружных листов.

При расчете на срез теория СОПРОМАТ допускает, что в поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор - поперечная сила Q, касательные напряжения , возникающие в поперечном сечении, равномерно распределены по его площади.

Условие прочности на срез: , - для одной заклепки.

, - для группы заклепок.

F- нагрузка на соединение; d - диаметр одной заклепки; k - число плоскостей среза одной заклепки; z- число заклепок (в соединениях с накладками равно половине общего числа заклепок).

Расчет на срез обеспечивает прочность заклепок, но не гарантирует надежность соединения в целом. Если толщина соединяемых элементов (листов) недостаточна, то давления, возникающие между стенками их отверстий и заклепками, получаются большими, в результате стенки отверстий обминаются и соединение становится на надежным. Закон распределения напряжений смятия по цилиндрической поверхности контакта трудно установить точно, поэтому расчет на смятие носит условный характер.

Условие прочности на смятие: , , где: наименьшая толщина одной или нескольких деталей, передающих нагрузку в одну сторону.

Условие прочности для группы заклепок: .

Условие прочности на разрыв листа в сечении, ослабленном заклепочными отверстиями: , где: b- ширина листа;

- количество заклепок в ряду.

, где: - сила на одну заклепку;

С - расстояние от торца листа до центра заклепки.

Примечание. Расчеты заклепочных, штифтовых, болтовых соединений схожи между собой.

Допускаемые напряжения для сталей Ст.2, Ст.3 (заклепочные соединения):

Основные элементы - .

Заклепки в рассверленных отверстиях- .

Заклепки в продавленных отверстиях- .

Для болтов, штифтов и им подобным элементам при статической нагрузке, допускаемые напряжения принимаются в зависимости от качества материала:

, - предел текучести материала болта.

- для сталей 15, 20, 25, Ст.3, Ст.4.

- для сталей 35, 40, 45, 50, Ст.5, Ст.6.

- для чугуна

По менее прочному.

Тема 3.4 Практические расчеты сварных соединений на растяжение и сдвиг (срез).

Сварные соединения образуют местным нагревом деталей в зоне их соединения. Сварные соединения менее металлоемки и является прочным и не разъемным соединением см. рис12.

h=0.7k Рис 12.

В зависимости от взаимного расположения соединяемых элементов различают соединения: встык, внахлестку, втавр – стыковыми или угловыми швами.

При расчетах на прочность проверяют шов под углом 45 градусов в поперечном сечении.

Стыковое соединение: , где b и s- ширина и толщина листа в мм.

Соединение внахлестку: , l- длина периметра шва.

Соединение втавр: а)для стыкового шва -

б)для углового шва - .

Допускаемые напряжения при сварке :

Вид напряжения	Обозначение	Ручная сварка	Автоматическая сварка
Вид электрода
С тонкой обмазкой	С толстой обмазкой
Растяжение Сжатие Срез

Вопросы для самоконтроля.

1. Опишите три рода решения задач по условиям прочности (растяжение, сжатие, сдвиг(срез), смятие) всех видов разъемных и не разъемных соединений?

Тема 3.5 Кручение брусьев круглого сечения.

Деформация кручения прямого бруса вызывается внешними парами сил, действующими в плоскостях, перпендикулярных к оси бруса. При кручении брусья подвергаются расчетам на жесткость и прочность. Теория кручения бруса круглого поперечного сечения основана на следующих допущениях:

а) ось бруса после деформации остается прямой линией;

б) расстояния между поперечными сечениями остаются неизменными, т. е. удлинения (укорочения) волокон отсутствуют;

в) поперечные сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к оси бруса после деформации (гипотеза плоских сечений);

г) радиусы поперечных сечений, поворачиваясь на определенный угол, остаются прямыми.

Расчет на прочность: , три рода задач:

1. Проверка прочности (проверочный расчет) -

2. Подбор сечения (проектный расчет).

При проектном расчете определяют требуемый момент сопротивления, учитывая то, что момент сопротивления является одной из характеристик сечения, можно подобрать сечение по формулам.

3. Допускаемый крутящий момент - ;

Допускаемые напряжения при кручении:

– для пластичных материалов; - для хрупких материалов.

- предел текучести и предел прочности при кручении (сдвиге).

- требуемые (допускаемые) коэффициенты запаса прочности.

При чистом кручении для стали ;

для чугуна .

- предел текучести материала.

Расчет на жесткость: , три рода задач:

1. Проверка прочности (проверочный расчет) - -

2. Подбор сечения (проектный расчет).

При проектном расчете определяют требуемый момент сопротивления, учитывая то, что момент инерции является одной из характеристик сечения, можно подобрать сечение по формулам.

3. Допускаемый крутящий момент - ;

Допускаемые угол закручивания при кручении:

При чистом кручении для ; или

G – модуль упругости (табличное значение).

Примечание. Кольцевое сечение является рациональным по отношению с круглым сплошным сечением и имеет меньшую площадь.

Пример №6. Для стального бруса постоянного сечения, нагруженного скручивающими моментами, требуется: построить эпюру крутящих моментов; построить эпюру касательных напряжений; эпюру углов поворота поперечных сечений; если диаметр бруса стального сечения 80 мм. (см. рис.13).

; G=8* ;

E D C B A

200 мм 300 мм 300 мм 300 мм

+ 14 15 10

+ + + « »

238.8

139.3 149.2

+ + + 99.5

+ « »

0.0149 0.013 0.0139

0.0093 Рис. 13

Решение:

1. Разбиваем брус на участки (A, B, C, D, E).

2. Из условия равновесия , находим реактивный момент в защемлении бруса:

3. Пользуясь методом сечений, определяем крутящие моменты на каждом участке:

4. Определяем требуемый диаметр бруса.

Округляем полученное большее значение, и задаемся значением диаметра поперечного сечения 80мм.

5. Определяем момент сопротивления поперечного сечения.

6. Определяем касательные напряжения на каждом участке и строим эпюру касательных напряжений.

7. Определяем момент инерции поперечного сечения.

8. Определяем углы поворота каждого сечения и строим эпюру углов поворота.

Вопросы для самоконтроля.

1. Сформулируйте закон Гука при сдвиге.

2. Каков физический смысл модуля сдвига.

3. Как нужно нагрузить брус, чтобы он работал только на кручение.

4. Как определить крутящий момент в произвольном сечении бруса.

5. Какая зависимость существует между передаваемой валом мощностью, вращающим моментом и угловой скоростью.

6. От каких геометрических характеристик сечения зависит при кручении прочность бруса, жесткость бруса.

7. Два круглых бруса имеют равные площади поперечных сечений, но одно из них сплошной круг, а другое - круговое кольцо. Какой из этих брусьев имеет большую прочность, а какой большую жесткость?

8. В одинаковой ли степени изменяются жесткость и прочность бруса при изменении его диаметра.

9. Как определить знак крутящего момента.

Тема 3.6 Изгиб

При рассмотрении данной темы уделяют большое внимание построению эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. При построении эпюры поперечных сил следует учитывать скачек на величину силы, а при построении эпюры изгибающих моментов следует учитывать скачек на величину момента.

Пример №7. Определить реакции опор балки (рис.14). Построить эпюры поперечных сил и крутящих моментов, по условию прочности подобрать сечение балки в виде двутавра по ГОСТ 8239-89, если

q m

A B C D E F

1м 2м 2м 1м 2м

+2.4

0 + + 0

- «Q»

- -1.6 -

-4

-6

- - -1.2

0 - -0.4 0

«M»

+ +

+9.6

Рис.14

Ход решения задачи:

1. Уяснить условие задачи, если имеется равномерно распределенная нагрузка-q, необходимо определить сосредоточенную силу от равномерно распределенной нагрузки- , =2м - расстояние, на котором действует равномерно распределенная нагрузка. ; Обозначим характерные участки балки, где приложены нагрузки буквами (А, В, С, …).