Решение пределов через раскрытие неопределённостей

Неопределённость вида и вида - самые распространённые неопределённости, которые требуется раскрывать при решении пределов.

Большая часть задач на пределы, попадающихся студентам, как раз несут в себе такие неопределённости. Для их раскрытия или, точнее, ухода от неопределённостей существует несколько искусственных приёмов преобразования вида выражения под знаком предела. Эти приёмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжённое выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений квадратных уравнений и формул сокращённого умножения.

 

Неопределённость вида

Пример 1. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. Здесь старшая степень переменной n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :

.

Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки вместо n значения бесконечность. Здесь, как и в примере 2, степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь стремится к бесконечно малой величине или " супермалому числу".

Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .

Пример 2. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x:

.

Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем " икс" под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно, но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки бесконечности вместо " икса".

Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.

Неопределённость вида

Пример 3. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. В числителе - разность кубов. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения из курса школьной математики:

.

В знаменателе - квадратный трёхчлен, который разложим на множители, решив квадратное уравнение (ещё раз ссылка на решение квадратных уравнений):

Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:

Пример 4. Раскрыть неопределённость и найти предел

Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку

Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1. Согласно следствию из теоремы 1, получим выражение, решая которое, находим искомый предел:

Пример 5. Раскрыть неопределённость и найти предел

Решение. Непосредственная подстановка значения x = 0 в заданную функцию приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел:

 

Пример 6. Вычислить

Решение: воспользуемся теоремами о пределах

Ответ: 11

 

Пример 7. Вычислить

 

Решение: в этом примере пределы числителя и знаменателя при равны 0:

; . Получили , следовательно, теорему о пределе частного применять нельзя.

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и, следовательно, сделать возможным применение теоремы 3.

Квадратный трехчлен в числителе разложим по формуле , где x₁ и х₂ – корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на (x-2), затем применим теорему 3.

Ответ:

Пример 8. Вычислить

Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, поэтому при непосредственном применении теоремы 3 получаем выражение , которое представляет собой неопределенность. Для избавления от неопределенности такого вида следует разделить числитель и знаменатель на старшую степень аргумента. В данном примере нужно разделить на х:

Ответ:

Пример 9. Вычислить

 

Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. х³:

Ответ: 2

 

Пример 10. Вычислить

 

Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. х⁵:

=

числитель дроби стремится к 1, знаменатель к 0, поэтому дробь стремится к бесконечности.

Ответ:

 

Пример 11. Вычислить

 

Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. х⁷:

Ответ: 0

Производная.

Производной функции y = f(x) по аргументу x называется предел отношения ее приращения y к приращению x аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю: . Если этот предел конечен, то функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке х. Если же этот предел есть , то говорят, что функция y = f(x) имеет в точке х бесконечную производную.

Производные основных элементарных функций:

1. (const)=0 9.

2. 10.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

7.

8.

 

Правила дифференцирования:

a)

б)

в)

г) , где

 

Пример 1. Найти производную функции

Решение: Если производную от второго слагаемого находим по правилу дифференцирования дроби, то первое слагаемое представляет собой сложную функцию, производная которой находится по формуле:

, где , тогда

При решении были использованы формулы: 1, 2, 10, а, в, г.

Ответ:

Пример 21. Найти производную функции

Решение: оба слагаемых – сложные функции, где для первого , , а для второго , , тогда

Ответ:

 

Приложения производной.

 

1. Скорость и ускорение

Пусть функция s(t) описывает положение объекта в некоторой системе координат в момент времени t. Тогда первая производная функции s(t) является мгновенной скоростью объекта:
v=s′ =f′ (t)
Вторая производная функции s(t) представляет собой мгновенное ускорение объекта:
w=v′ =s′ ′ =f′ ′ (t)

2. Уравнение касательной
y− y0=f′ (x0)(x− x0),
где (x0, y0) − координаты точки касания, f′ (x0) − значение производной функции f(x) в точке касания.

 

3. Уравнение нормали
y− y0=− 1f′ (x0)(x− x0),

где (x0, y0) − координаты точки, в которой проведена нормаль, f′ (x0) − значение производной функции f(x) в данной точке.

4. Возрастание и убывание функции
Если f′ (x0)> 0, то функция возрастает в точке x0. На рисунке ниже функция является возрастающей при x< x1 и x> x2.
Если f′ (x0)< 0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1< x< x2).
Если f′ (x0)=0 или производная не существует, то данный признак не позволяет определить характер монотонности функции в точке x0.

5. Локальные экстремумы функции
Функция f(x) имеет локальный максимум в точке x1, если существует такая окрестность точки x1, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x1)≥ f(x).
Аналогично, функция f(x) имеет локальный минимум в точке x2, если существует такая окрестность точки x2, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x2)≤ f(x).

6. Критические точки
Точка x0 является критической точкой функции f(x), если производная f′ (x0) в ней равна нулю или не существует.

7. Первый достаточный признак существования экстремума
Если функция f(x) возрастает (f′ (x)> 0) для всех x в некотором интервале (a, x1] и убывает (f′ (x)< 0) для всех x в интервале [x1, b), то функция f(x) имеет локальный максимум в точке x1.
Аналогично, если функция f(x) убывает (f′ (x)< 0) для всех x из интервала (a, x2] и возрастает (f′ (x)> 0) для всех x из интервала [x2, b), то функция f(x) имеет локальный минимум в точке x2.

8. Второй достаточный признак существования экстремума
Если f′ (x1)=0 и f′ ′ (x1)< 0, то функция f(x) имеет локальный максимум в точке x1.
Если f′ (x2)=0 и f′ ′ (x2)> 0, то функция f(x) имеет локальный минимум в точке x2.

9. Выпуклость функции
Функция f(x) является выпуклой вверх (или вогнутой) в точке x0, если производная f′ (x) в этой точке убывает (промежуток x< x3 на приведенном выше рисунке).
Аналогично, функция f(x) является выпуклой вниз (или просто выпуклой) в точке x0, если производная f′ (x) в этой точке возрастает (промежуток x> x3).

10. Достаточные условия выпуклости функции вверх и вниз
Если f′ ′ (x0)> 0, то функция f(x) выпукла вниз в точке x0.
Если f′ ′ (x0)< 0, то функция f(x) выпукла вверх в точке x0.
Если f′ ′ (x0)=0 или производная не существует в точке x0, то данный признак не позволяет определить характер выпуклости функции в этой точке.

11. Точка перегиба
Если первая производная f′ (x3) существует в точке x3, а вторая производная f′ ′ (x3) меняет знак при переходе через x=x3, то точка (x3, f(x3)) называется точкой перегиба графика функции f(x). Если вторая производная f′ ′ (x3) существует в точке перегиба, то она равна нулю: f′ ′ (x3)=0.

12. Правило Лопиталя
limx→ cf(x)g(x)=limx→ cf′ (x)g′ (x), еслиlimx→ cf(x)=limx→ cg(x)=[0∞.

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. III ГЛАВА. ИНТЕРЬЕР И АРХИТЕКТУРНО – ПРОЕКТИРОВОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ШКОЛЫ БУДУЩЕГО
2. Seat крючки через бар под сиденье Коулинг на задней
3. Активный транспорт ксенобиотиков через биологические мембраны: опре-деление и характеристика основных механизмов.
4. Алгоритм кормления тяжелобольного через назогастральный зонд
5. Архитектурно - конструктивное решение
6. Божественная энергия течет через вас, а не из вас
7. Больной 30 лет, страдающий сахарным диабетом I типа, обнаружен в коматозном состоянии через 3 часа после введения инсулина. Какое мероприятие необходимо выполнить в первую очередь?
8. Броски набивного мяча через сетку в прыжке с разбега в один шаг.
9. Бытовые помещения следует располагать таким образом, чтобы пользующиеся не проходили через производственные отделения с вредными выделениями.
10. В ходе естественного развития через миллионы лет и жизней человек станет прос-ветленным. Но мы, по-видимому, уже прошли через миллионы лет и жизней и все еще не являемся просветленными. Почему?
11. ВАШЕ РЕШЕНИЕ ЗАНЯТЬСЯ САМОСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕМ: «КАЙЗЕН»
12. Веерными пальмами, движется что-то большое и темное. Через мгновение он