Алгоритм применения правил Кирхгофа

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 22Следующая ⇒

При практическом применении правил Кирхгофа для расчета электрических цепей следует руководствоваться следующим алгоритмом.

1. Обозначить все узлы в электрической цепи.

2. В каждой ветви обозначить величину тока и произвольным образом указать его направление.

3. Применить первое правило Кирхгофа. Если число узлов равно N, то следует записать N - 1 уравнение (последнее N - е уравнение будет линейно зависеть от предыдущих).

4. Выбрать замкнутый контур.

5. Указать направление обхода контура произвольным образом - по часовой стрелке или против.

6. Применить второе правило Кирхгофа. При этом следует учитывать правила знаков:

- если направление тока совпадает с направлением обхода контура, ток считается положительным, если не совпадает - отрицательным;

- Если направление действия ЭДС совпадает с направлением обхода контура, ЭДС считается положительной, если не совпадает - отрицательной.

7. Число уравнений, записанных на основе второго правила Кирхгофа, должно быть достаточным для того, чтобы обеспечить полноту системы.

8. Разрешить систему уравнений относительно неизвестных. Если ток получился отрицательным, это означает, что фактическое направление тока противоположно выбранному и указанному на схеме.

Лекция № 8. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ В МЕТАЛЛАХ, ВАКУУМЕ И ГАЗАХ.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ.

Рис. 40. Газ свободных электронов в кристаллической решетке металла.

Носителями тока в металлах являются свободные электроны, т.е. электроны слабо связанные с ионами кристаллической решетки металла. Cуществование свободных электронов в металлах объясняется следующим образом: при образовании кристаллической решетки металла (в результате сближения изолированных атомов) валентные электроны, слабо связанные с атомными ядрами, отрываются от атомов металла, становятся свободными и могут перемещаться по всему объему. В узлах кристаллической решетки располагаются ионы металла, а между ними хаотически движутся свободные электроны, образуя электронный газ, обладающий, согласно электронной теории металлов, свойствами идеального газа. Электроны проводимости при своем движении сталкиваются с ионами решетки, в результате чего устанавливается термодинамическое равновесие между электронным газом и решеткой. Из молекулярно-кинетической теории, можно найти среднюю скорость теплового движения электронов

 = Ö 8kT/pm_e = Ö 8kT/pm_e, (8.1.)

которая для Т = 300 К^о равна 1, 1.10⁵м/с. Тепловое движение электронов, являясь хаотическим, не может привести к возникновению тока. При наложении внешнего электрического поля на металлический проводник кроме теплового движения электронов возникает их упорядоченное движение, т.е. возникает электрический ток. Среднюю скорость < v> упорядоченного движения электронов можно найти из формулы плотности тока:

j = ne< v>. (8.2.)

Отсюда следует, что средняя скорость упорядоченного движения электронов очень мала ( = 8.10^-4 м/с.)

Рис 41. Движение свободного электрона в кристаллической решетке: а – хаотическое движение электрона в кристаллической решетке металла; b – хаотическое движение с дрейфом, обусловленным электрическим полем. Масштабы дрейфа сильно преувеличены.

ВЫВОД ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ.

Закон Ома.

Если в металлическом проводнике существует электрическое поле напряженностью Е = const, то со стороны поля заряд е испытывает действие силы F = e.E и приобретает ускорение

a = F/m = e.E /m. (8.3.)

Таким образом, во время свободного пробега электроны движутся равноускоренно, приобретая скорость

v_max= eE< t> /m, (8.4.)

где < t> - среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки. В конце свободного пробега электрон, сталкиваясь с ионами решетки, отдает им накопленную в поле энергию, поэтому скорость его упорядоченного движения становится равной нулю. Следовательно, средняя скорость направленного движения электрона

< v> = (v_max+ 0)/2 = eE< t> /2m. (8.5.)

Классическая теория металлов не учитывает распределения электронов по скоростям, поэтому среднее время < t> свободного пробега определяется средней длиной свободного пробега < l> и средней скоростью движения электронов относительно кристаллической решетки проводника, равной

 + < v> (  - средняя скорость теплового движения электронов). Поскольку

< v> < (8.6.)

то

< t> = < l> /. (8.7.)

Подставив, в уравнение значение < t> получим

< v> = eE< l> /(2m ). (8.8.)

Плотность тока в металлическом проводнике

j = ne< v> = {(ne²< l> )/(2m )}.E (8.9.)

следовательно, плотность тока в проводнике пропорциональна напряженности поля, т.е. получили закон Ома в дифференциальной форму. Коэффициент пропорциональности между j и Е есть не что иное, как удельная проводимость материала

g = (ne²< l> )/(2m ) (8.10.)

которая тем больше, чем больше концентрация свободных электронов и средняя длина их свободного пробега.

Закон Джоуля - Ленца.

К концу свободного пробега электрон под действием поля приобретает дополнительную кинетическую энергию

< E_k> = (mv²_max)/2 = {(e²< l> ²)/(2m ²)}.E² (8.11.)

При соударении электрона с ионом эта энергия полностью передается решетке и идет на увеличение внутренней энергии металла, т.е. на его нагревание. За единицу времени электрон испытывает с узлами решетки в среднем < z> столкновений:

< z> = /< l>. (8.12.)

Если n - концентрация электронов, то в единицу времени происходит n< z> столкновений и решетке передается энергия

w = n< z>.< E_k>, (8.13.)

которая идет на нагревание проводника. Следовательно, энергия, передаваемая решетке в единице объема проводника за единицу времени,

w = (nmv²_max)/2 = {(ne²< l> ²)/(2m ²)}.E² (8.14.)

и называется удельной тепловой мощностью тока.

Закон Видемана - Франца.

Металлы обладают как большой электропроводностью, так и высокой теплопроводностью. Это объясняется тем, что носителями тока и теплоты в металлах являются одни и те же частицы - свободные электроны, которые перемещаясь в металле, переносят не только электрический заряд, но и энергию хаотического теплового движения, т.е. осуществляют перенос теплоты. По закону Видемана - Франца, отношение теплопроводности l к удельной проводимости g для всех металлов при одной и той же температуре одинаково и увеличивается пропорционально термодинамической температуре:

l/g = b, (8.15.)

где b - постоянная, не зависящая металла. Теплоемкость металлов складывается из теплоемкости его кристаллической решетки и теплоемкости электронного газа. Поэтому атомная (т.е. рассчитанная на 1 моль вещества) теплоемкость металла должна быть значительно большей, чем атомная теплоемкость диэлектриков, у которых нет свободных электронов.

⇐ Предыдущая 5 6 7 8 91011 12 13 14 Следующая ⇒