Касательные напряжения при поперечном изгибе. Главные напряжения при изгибе

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 5Следующая ⇒

В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки строго говоря не остаются плоскими. Однако при (где h - высота поперечного сечения, l - длина балки) оказывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плоских сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точностью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряжений s применяют ту же формулу (5.10).

Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напряжений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной dz (рис. 5.21, а).

Рис. 5.21

Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии y от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 5.21, в) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b. При этом с учетом закона парности касательных напряжений, получим, что касательные напряжения в поперечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 5.21, б). С учетом данного обстоятельства и из допущения о том, что касательные напряжения по площади b× dz распределены равномерно, используя условие å z = 0, получим:

N^* - N^* - d N^* + t× b× dz = 0,

откуда

. (5.12)

где N^* - равнодействующая нормальных сил s× dFв левом поперечном сечении элемента dz в пределах заштрихованной площади F ^*(рис. 5.20, г):

. (5.13)

С учетом (5.10) последнее выражение можно представить в виде

, (5.14)

где - статический момент части поперечного сечения, расположенной выше координаты y (на рис. 5.21, б эта область заштрихована). Следовательно, (5.14) можно переписать в виде

откуда

. (5.15)

В результате совместного рассмотрения (5.12) и (5.15) получим

или окончательно

. (5.16)

Полученная формула (5.16) носит имя русского ученого Д.И. Журавского.

Для исследования напряженного состояния в произвольной точке балки, испытывающей поперечный изгиб, выделим из состава балки вокруг исследуемой точки элементарную призму (рис. 5.21, г), таким образом, чтобы вертикальная площадка являлась частью поперечного сечения балки, а наклонная площадка составляла произвольный угол a относительно горизонта. Принимаем, что выделенный элемент имеет следующие размеры по координатным осям: по продольно оси - dz, т.е. по оси z; по вертикальной оси - dy, т.е. по оси у; по оси х - равный ширине балки.

Так как вертикальная площадка выделенного элемента принадлежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения s на этой площадке определяются по формуле (5.10), а касательные напряжения t - по формуле Д.И. Журавского (5.16). С учетом закона парности касательных напряжений, легко установить, что касательные напряжения на горизонтальной площадке также равны t. Нормальные же напряжения на этой площадке равны нулю, согласно уже известной нам гипотезе теории изгиба о том, что продольные слои не оказывают давления друг на друга.

Обозначим величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке через s_a и t_a, соответственно. Принимая площадь наклонной площадки dF, для вертикальной и горизонтальной площадок будем иметь dF sin a и dF cos a, соответственно.

Составляя уравнения равновесия для элементарной вырезанной призмы (рис. 5.21, г), получим:

откуда будем иметь:

;

Следовательно, окончательные выражения напряжений на наклонной площадке принимают вид:

Определим ориентацию площадки, т.е. значение a = a₀, при котором напряжение s_a принимает экстремальное значение. Согласно правилу определения экстремумов функций из математического анализа, возьмем производную функции s_a от a и приравняем ее нулю:

Предполагая a = a₀, получим:

Откуда окончательно будем иметь:

Согласно последнему выражению, экстремальные напряжения возникают на двух взаимно перпендикулярных площадках, называемых главными, а сами напряжения - главными напряжениями.

Сопоставляя выражения t_a и , имеем:

откуда и следует, что касательные напряжения на главных площадках всегда равны нулю.

В заключение, с учетом известных тригонометрических тождеств:

и формулы ,

определим главные напряжения, выражая из через s и t:

Полученное выражение имеет важное значение в теории прочности изгибаемых элементов, позволяющее производить расчеты их прочности, с учетом сложного напряженного состояния, присущее поперечному изгибу.

Перемещения при изгибе.

Изгиб балки сопровождается искривлением ее оси. При поперечном изгибе ось балки принимает вид кривой, расположенной в плоскости действия поперечных нагрузок. При этом точки оси получают поперечные перемещения, а поперечные сечения совершают повороты относительно своих нейтральных осей. Углы поворота поперечных сечений принимаются равными углам наклона j, касательной к изогнутой оси балки (рис. 5.23).

Рис. 5.23

Прогибы и углы поворотов в балках являются функциями координаты z и их определение необходимо для расчета жесткости. Рассмотрим изгиб стержня в одной из главных плоскостей например, в плоскости yz. Как показывает практика, в составе реальных сооружений стержни испытывают весьма малые искривления (y_max/l = 10^-² - 10^-³, где y_max - максимальный прогиб; l - пролет балки).

В этом случае неизвестными функциями, определяющими положение точек поперечных сечений балки являются y(z) и j (z) = = a (z) (рис.5.23). Совокупность значений этих параметров по длине балки образуют две функции от координаты z - функцию перемещений y (z) и функцию углов поворота j (z). Из геометрических построений (рис. 5.23) наглядно видно, что угол наклона касательной к оси z и угол поворота поворота поперечных сечений при произвольном z равны между собой. В силу малости углов поворота можно записать:

. (5.17)

Из курса математического анализа известно, что кривизна плоской кривой y (z) выражается следующей формулой:

Если рассмотреть совместно соотношение (5.9) и последнее выражение, то получим нелинейное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, точное решение которого, как правило, затруднительно. В связи с малостью величины по сравнению с единицей последнее выражение можно существенно упростить, и тогда

. (5.18)

Учитывая (5.9), из (5.18) получим следующее важное дифференциальное соотношение

, (5.19)

где I_x - момент инерции поперечного сечния балки, относительно ее нейтральной оси; Е - модуль упругости материала; E I_x - изгибная жесткость балки.

Уравнение (5.19), строго говоря, справедливо для случая чистого изгиба балки, т.е. когда изгибающий момент M_x(z) имеет постоянное значение, а поперечная сила равна нулю. Однако это уравнение используется и в случае поперечного изгиба, что равносильно пренебрежению искривлений поперечных сечений за счет сдвигов, на основании гипотезы плоских сечений.

Введем еще одно упрощение, связанное с углом поворота поперечного сечения. Если изогнутая ось балки является достаточно пологой кривой, то углы поворота сечений с высокой степенью точности можно принимать равными первой производной от прогибов. Отсюда следует, что прогиб балки принимает экстремальные значения в тех сечениях, где поворот равен нулю.

В общем случае, для того, чтобы найти функции прогибов y (z) и углов поворота j (z), необходимо решить уравнение (5.19), с учетом граничных условий между смежными участками.

Для балки, имеющей несколько участков, определение формы упругой линии является достаточно сложной задачей. Уравнение (5.19), записанное для каждого участка, после интегрирования, содержит две произвольные постоянные.

На границах соседних участков прогибы и углы поворота являются непрерывными функциями. Данное обстоятельство позволяет определить необходимое число граничных условий для вычисления произвольных постоянных интегрирования.

Если балка имеет n - конечное число участков, из 2n числа граничных условий получим 2n алгебраических уравнений относительно 2n постоянных интегрирования.

Если момент и жесткость являются непрерывными по всей длине балки функциями M_x(z) и E I_x(z), то решение может быть получено, как результат последовательного интегрирования уравнения (5.19) по всей длине балки:

интегрируя один раз, получаем закон изменения углов поворота

интегрируя еще раз, получаем функцию прогибов

Здесь C₁и С₂произвольные постоянные интегрирования должны быть определены из граничных условий.

⇐ Предыдущая 1 2 345 Следующая ⇒