Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

Свойства определителей.

Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число .

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: .

4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0, т.е. при .

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

9. Сумма произведений произвольных чисел b₁, b₂, …, b_n на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа b₁, b₂, …, b_n. Данное свойство вытекает из теоремы Лапласа.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: где C=AB; A и B – матрицы n-го порядка. Из данного свойства следует, что даже если , то

2. Матрицы, основные определения, действия над ними.

Матрицей размера m´ n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке.

А =

Если в матрице число строк равняется числу столбцов, т.е. m = n, то матрица называется квадратной.

Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы (без перестановок) называется определителем матрицы А.

Определитель матрицы будет обозначаться либо Δ (А), либо det A (детерминант – определитель матрицы).

Квадратная матрица А называется диагональной, если все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю.

Диагональная матрица называется единичной, если элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице.

Если матрица состоит из одного столбца (одной строки), то ее называют матрица-столбец (матрица-строка).

или

Две матрицы А и В считаются равными, если они имеют одинаковое количество строк и столбцов и соответствующие их элементы равны, т.е. a_ij=b_ij для любых i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n.

Пусть дана квадратная матрица A n-го порядка. Минором M_ij элемента a_ij матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j: A_ij=(-1)^i+jM_ij

Операции над матрицами.

1. Произведением матрицы A на число называется матрица B= A, элементы которой b_ij = a_ij для любых i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. В частности, произведение матрицы A на число 0 есть нулевая матрица, т.е. 0*A=0.

2. Суммой двух матриц A и B одинакового размера m*n называется матрица C=A+B, элементы которой c_ij=a_ij+b_ij для любых i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n (т.е матрицы складываются поэлементно). В частном случае A+0=A.

3. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: A-B=A+(-1)B.

4. Умножение матрицы A на матрицу B определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведение матриц называется такая матрица , каждый элемент которой c_ij равен сумме произведений элементов I-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.

5. Возведение в степень. Целой положительной степенью A^m(m> 1) квадратной матрицы A называется произведение m матриц, равных A, т.е A^m=A*A*…A, повторяющихся m- раз. По определению полагают, что A⁰=E, A¹=A. Нетрудно доказать, что A^mA^k=A^m+k, (A^m)^k=A^mk.

6. Транспонирование матрицы. Матрица А^Т называется транспонированной по отношению к матрице А, если столбцы матрицы А являются строками матрицы А^Т.

7. Обратной для квадратной матрицы A называется такая матрица A^-1, что AA^-1=A^-1A=E.

Решением системы (3.7) называется совокупность значений неизвестных при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система, имеющая единственной решение, называется определенной, система, имеющая более одного решения, - неопределенной.

Рассмотрим матрицу A, составленную из коэффициентов при неизвестных системы (3.7) и матрицу B, получаемую из A добавлением столбца свободных членов:

и

II. Метод Гаусса.

Сложение и вычитание.

Умножение.

Деление.

Возведение в степень.

, где n – целое положительное число.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть дана прямая линия, которая не проходит через начало координат и отсекает от координатных осей соответственно отрезки a и b, где a=вел.ОМ, b=вел.ОN.

Покажем, что уравнение этой прямой можно записать в виде (4.11)

Действительно напишем уравнение прямой в общем виде Ax+By+C=0 (4.12)

Так как точки М и N лежат на прямой, то имеем равенства Aa+C=0, откуда A=-C/a, Bb+c=0, откуда B=-C/b.

Так как прямая не проходит через начало координат и прямая отсекает от осей координат отрезки не равные нулю, то в уравнении (4.12) A, B, C 0. Подставив значения A и B в уравнении (4.12), получим: , откуда (4.11)

Кривые второго порядка

Окружность.

Эллипс.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами). Уравнение эллипса: .

у

М

r₁ r₂

F₁ O F₂ х

F₁, F₂ – фокусы. F₁ = (c; 0); F₂(-c; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

B – малая полуось.

Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

y

M(x, y)

b

r₁

r₂

x

F₁ a F₂

c

Парабола.

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

у

А М(х, у)

О F x

P/2 p/2

y² = 2px

 

Предел функции в точке.

y f(x)

A + e

A

A - e

0 a - D a a + D x

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e> 0 существует такое число D> 0, что для всех х таких, что 0 < ï x - aï < D

верно неравенство ï f(x) - Aï < e

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Запись предела функции в точке:

Определение. Если f(x) ® A₁ при х ® а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A₂ при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.

у

F(x)

А₂

А₁

A x

Пределы А₁ и А₂ называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

Действия над пределами.

1. Если и имеют конечные пределы , , то и сумма (разность) их также имеет конечный предел

2. Если и имеют конечные пределы: , , то их произведение также имеют конечный предел

3. Если и имеют конечные пределы: , причем b¹ 0, то их отношение также имеет конечный предел .

Бесконечно малые функции.

Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .

Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.

Раскрытие неопределенностей

Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢ (x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Второй замечательный предел:

F(x)

f(x₀ +Dx) P

Df

f(x₀) M

A b Dx

0 x₀ x₀ + Dx x

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

, где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

Дифференциал функции.

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢ (x)Dx, т.е. f¢ (x)Dx- главная часть приращения Dу.

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢ (x)Dx или

dy = f¢ (x)dx.

Можно также записать:

M Dy

L

a

x x + Dx x

Из треугольника DMKL: KL = dy = tga× Dx = y¢ × Dx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

Свойства дифференциала.

Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

1) d(u ± v) = (u ± v)¢ dx = u¢ dx ± v¢ dx = du ± dv

2) d(uv) = (uv)¢ dx = (u¢ v + v¢ u)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

4)

 

 

Правило Лопиталя.

К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢ (x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Пример: Найти предел .

Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f¢ (x) = 2x + ; g¢ (x) = e^x;

;

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Теоремы Лагранжа, Коши.

Теорема Коши. Если две функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы в промежутке , причем производная второй из них не обращается в нуль в этом промежутке, то отношение конечных приращений этих функ­ций на отрезке равно отно­шению их производных в некоторой точке с промежутка , быть может, не единственной:

Заметим, что , так как иначе по теореме Ролля произ­водная обращалась бы в нуль хотя бы в одной точке промежутка , а по условию теоремы Коши в этом промежутке.

Теорему Лагранжа получим, положив , в силу чего , и .

Внося эти значения в равенство , получаем или

Полученная формула называется формулой Лагранжа, и опре­деляет содержание теоремы Лагранжа: конечное приращение на отрезке функции, непрерывной на этом отрезке и дифференцируемой внутри него, равно произведению конечного приращения аргумента на этом отрезке на значение производной в некоторой внутренней точке отрезка .

Найти экстремумы функции.

Найти экстремумы функции.

Третий достаточный признак экстремума. Если в критической точке функции f(x) обращаются в нуль не только первая производная f(x0), но и все последовательные производные до ( — 1)-й включительно, a производная n-го порядка существует, непре­рывна и отлична от нуля , то точка х0 будет точкой экстремума, если n — число четное, и не будет ею при n нечетном.

Характер экстремума при n четном определяется знаком f(n)(x₀): мак­симум при f(n)(x₀) < 0, минимум при f(n)(x₀)> 0

Таблица интегралов.

1. 9.

2. 10.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

7. 15.

8. 16.

Методы интегрирования.

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим на примере: Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv)¢ = u¢ v + v¢ u

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интеграл вида .

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx. Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

,

Тогда

Таким образом:

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Интеграл вида если

Различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

37.Универсальная тригонометрическая подстановка.

Интеграл вида .

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx. Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

,

Тогда

Таким образом:

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Способ. Подстановки Эйлера.

1) Если а> 0, то интеграл вида рационализируется подстановкой

.

2) Если a< 0 и c> 0, то интеграл вида рационализируется подстановкой .

3) Если a< 0, а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(x – x₁)(x – x₂), то интеграл вида рационализируется подстановкой .

Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является производной подкоренного выражения.

Формула Ньютона – Лейбница

Теорема доказана.

Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x) .

Замена переменных.

Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).

Тогда если

1) j(a) = а, j(b) = b

2) j(t) и j¢ (t) непрерывны на отрезке [a, b]

3) f(j(t)) определена на отрезке [a, b], то

Тогда

Интегрирование по частям.

Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

A - b x

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула .

A b x

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .

Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений:

В то же время

Тогда можно показать, что

Т.е.

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции, получаем ,

где х = j(t) и у = y(t).

Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то

Объем тел вращения.

Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

y = f(x)

x

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

Несобственные интегралы.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ¥ ). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b].

Определение: Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ¥ ).

Обозначение:

Пример.

- не существует.

Можно записать

.

Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение:

Признак Лейбница.

Знакочередующимся рядом называется ряд вида , (1)

где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).

Ряды Тейлора и Маклорена.

Разложить функцию в степенной ряд, на некотором промежутке изменения х означает, представить в этом промежутке f(x) в виде суммы степенного ряда: 1

Этот ряд называется рядом Тейлора. Если с=0, то получим ряд 2 который называется рядом Маклорена.

Формулы 1 и 2 единственным образом определяют коэффициенты, поэтому если функция разлагается в ряды Тейлора и Маклорена, то это разложение единственно. 3 или

Уравнение вида

, (1)

где Р(х) и Q(x) непрерывные функции от х, называется линейным.

Для решения уравнения (1) при применим метод Бернулли. Будем искать неизвестную функцию в виде произведения двух пока неизвестных функций от х, т.е. положим , тогда .

Подставляем выражения y и в (4) имеем: ,

Или (2)

Так как искомое решение у – есть произведение двух функций, то одна из них может быть выбрана произвольно, другая же должна определятся уравнением (2). Выберем функцию (x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обращалось в нуль, т.е. .

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: