Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы (без перестановок) называется определителем матрицы А.

Определитель матрицы будет обозначаться либо Δ (А), либо det A (детерминант – определитель матрицы).

Квадратная матрица А называется диагональной, если все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю.

Диагональная матрица называется единичной, если элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице.

Если матрица состоит из одного столбца (одной строки), то ее называют матрица-столбец (матрица-строка).

или

Две матрицы А и В считаются равными, если они имеют одинаковое количество строк и столбцов и соответствующие их элементы равны, т.е. a_ij=b_ij для любых i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n.

Пусть дана квадратная матрица A n-го порядка. Минором M_ij элемента a_ij матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j: A_ij=(-1)^i+jM_ij

Операции над матрицами.

1. Произведением матрицы A на число называется матрица B= A, элементы которой b_ij = a_ij для любых i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. В частности, произведение матрицы A на число 0 есть нулевая матрица, т.е. 0*A=0.

2. Суммой двух матриц A и B одинакового размера m*n называется матрица C=A+B, элементы которой c_ij=a_ij+b_ij для любых i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n (т.е матрицы складываются поэлементно). В частном случае A+0=A.

3. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: A-B=A+(-1)B.

4. Умножение матрицы A на матрицу B определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведение матриц называется такая матрица , каждый элемент которой c_ij равен сумме произведений элементов I-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.

5. Возведение в степень. Целой положительной степенью A^m(m> 1) квадратной матрицы A называется произведение m матриц, равных A, т.е A^m=A*A*…A, повторяющихся m- раз. По определению полагают, что A⁰=E, A¹=A. Нетрудно доказать, что A^mA^k=A^m+k, (A^m)^k=A^mk.

6. Транспонирование матрицы. Матрица А^Т называется транспонированной по отношению к матрице А, если столбцы матрицы А являются строками матрицы А^Т.

7. Обратной для квадратной матрицы A называется такая матрица A^-1, что AA^-1=A^-1A=E.

Решение систем линейных алгебраических уравнений: методом Гаусса; по правилам Крамера; с помощью обратной матрицы.

Рассмотрим произвольную систему m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n - неизвестными:

(3.7)

Решением системы (3.7) называется совокупность значений неизвестных при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система, имеющая единственной решение, называется определенной, система, имеющая более одного решения, - неопределенной.

Рассмотрим матрицу A, составленную из коэффициентов при неизвестных системы (3.7) и матрицу B, получаемую из A добавлением столбца свободных членов:

и

Матрицу A назовем матрицей системы (3.7), а матрицу B назовем расширенной матрицей системы (3.7).

I. Метод Крамера рассматривается для систем из n уравнений с n неизвестными, т.е. для систем вида:

Пусть определитель основной матрицы такой системы отличен от нуля:

тогда неизвестные x₁, x₂, …, x_n можно найти по формулам Крамера:

…, где - определитель основной матрицы системы, (j=1, n) – определитель, получаемый из заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Если определитель =0, то либо система (2) не имеет решения, либо имеет множество решений. Если все (j=1, n) равны нулю, то система совместна, но неопределенна, если хотя бы одно то система (2) не совместна.

II. Метод Гаусса.

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений

(3.8)

Будем производить над системой следующие элементарные преобразования:

1. Вычеркивание уравнения вида

Так как этому уравнению удовлетворяют любые значения неизвестных.

Прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: