Тангенс угла наклона прямой к оси OX называется угловым коэффициентом прямой

и обозначают . Формулу на основании данного определения, можно записать в виде: y-b=kx или y=kx+b. В случае, если b=0, прямая y=kx проходит через начало координат.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть даны две точки М₁ и М₂ и требуется написать уравнение прямой проходящей через две данные точки. Тогда, очевидно в качестве точки, лежащей на прямой можно взять любую из двух данных точек. Возьмем, например, точку М₁. За направляющий вектор примем вектор . Тогда, если рассмотреть точки на плоскости, то М1(x₁, y₁) и М2(x₂, y₂) и ={x₂-x₁, y₂-y₁} и уравнение имеет вид: – каноническое уравнение прямой на плоскости.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть дана прямая линия, которая не проходит через начало координат и отсекает от координатных осей соответственно отрезки a и b, где a=вел.ОМ, b=вел.ОN.

Покажем, что уравнение этой прямой можно записать в виде (4.11)

Действительно напишем уравнение прямой в общем виде Ax+By+C=0 (4.12)

Так как точки М и N лежат на прямой, то имеем равенства Aa+C=0, откуда A=-C/a, Bb+c=0, откуда B=-C/b.

Так как прямая не проходит через начало координат и прямая отсекает от осей координат отрезки не равные нулю, то в уравнении (4.12) A, B, C 0. Подставив значения A и B в уравнении (4.12), получим: , откуда (4.11)

Общее уравнение прямой на плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени относительно x и y: Ax+By+C=0 (4.10), где A, B, C – произвольные числа. Очевидно, A и B не могут быть одновременно равны нулю. Предположив B 0, получим из (4.10)

Обозначив и , получим: y=kx+b

Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом, т.е. уравнение (4.10) определяет прямую линию на плоскости.

Относительно коэффициентов A, B, С могут быть следующие случаи:

1) С=0, А 0, В 0, т.е. уравнение (4.10) имеет вид: Ax+By=0. Прямая проходит через начало координат.

2) А=0, В 0, С 0, т.е. имеем уравнение By+C=0, y=-C/B. Прямая проходит параллельно оси OX.

3) B=0, A и C 0, т.е. имеем уравнение Ax+C=0, x=-C/A. Прямая проходит параллельно оси OY.

4) A=0, C=0, B 0, т.е. имеем уравнение By=0 или y=0. Прямая совпадает с осью OX.

5) C=0, B=0, A 0, т.е. имеем уравнение Ax=0 или x=0. Прямая совпадает с осью OY.

Уравнения плоскости: в векторной, координатной формах.

Пусть дана точка M₀(x₀, y₀, z₀). Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через данную точку. Возьмем искомое уравнение в виде Ax + By + Cz + D = 0 (4.42)

Так как искомая плоскость проходит через точку M₀(X₀, Y₀, Z₀), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (4.42), т.е. Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0 (4.43)

Вычитая из (4.42) равенство (4.43), получим: A (x – x₀) + B (y – y₀) + C (z – z₀) = 0 (4.44), где A, B, C – произвольные числа. Изменяя их любым способом, мы получим разные плоскости, но все они будут проходить через точку Mo(xo, yo, zo). Таким образом, уравнение (4.44) есть уравнение плоскости, проходящей через точку Mo.

Замечание. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, можно получить векторным методом.

Действительно, пусть дана точка M₀(x₀, y₀, z₀), пусть вектор – радиус-вектор точки M₀(x₀, y₀, z₀), т.е. , и пусть задан ненулевой вектор . Рассмотрим на плоскости произвольную точку M(x, y, z). Тогда . Так как вектор перпендикулярен плоскости, то . Следовательно, (4.45) Уравнение (4.45) есть векторное уравнение плоскости, проходящей через точку M₀.

Уравнение плоскости, проходящей через три данных точки

Пусть даны различные точки M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃), не лежащие на одной прямой. Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через данные три точки. Для этого рассмотрим на плоскости произвольную точку M(x, y, z) и рассмотрим векторы , и , причем:

Отметим, что все три вектора расположены на одной плоскости. Следовательно, они компланарны, т.е. смешанное произведение этих векторов равно нулю:

(4.46)

Уравнение (4.46) и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Уравнение плоскости и прямой в пространстве.

Общие уравнения прямой в пространстве

Пусть дано каноническое уравнение прямой в трехмерном пространстве:

(4.6) и пусть n ≠ 0, т.е. прямая не параллельна плоскости xOy. Тогда из (4.6) имеем:

(4.56)

Каждое из уравнений (4.56) представляет собой плоскость, т.е. уравнение прямой задается как пересечение двух плоскостей. Если в (4.6) n=0, то мы возьмем m≠ 0 (или l≠ 0) и опять получим уравнение прямой в виде пересечения двух плоскостей. Таким образом, любая прямая в трехмерном пространстве может быть выражена уравнениями двух плоскостей:

(4.57)

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: