Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Дифференциал функции.

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢ (x)Dx, т.е. f¢ (x)Dx- главная часть приращения Dу.

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢ (x)Dx или

dy = f¢ (x)dx.

Можно также записать:

Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции имеет простой геометрический смысл: значение дифференциала функции, при данном значении аргумента и данном при­ращении , равно прираще­нию ординаты касательной,, проведенной в точке с абсцис­сой графика этой функции, при переходе от точки каса­ния (с абсциссой ) к соседней точке касательной с абсциссой .

y

f(x)

K

dy

M Dy

L

a

x x + Dx x

Из треугольника DMKL: KL = dy = tga× Dx = y¢ × Dx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

Свойства дифференциала.

Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

1) d(u ± v) = (u ± v)¢ dx = u¢ dx ± v¢ dx = du ± dv

2) d(uv) = (uv)¢ dx = (u¢ v + v¢ u)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

4)

 

 

Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

Если найти производную функции f¢ (x), получим вторую производную функции f(x).

, т.е. y¢ ¢ = (y¢ )¢ или .

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

.

Правило Лопиталя.

К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢ (x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Пример: Найти предел .

Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f¢ (x) = 2x + ; g¢ (x) = e^x;

;

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Исследование функций с помощью производной.

Возрастание и убывание функций.

Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢ (x) ³ 0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢ (x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f¢ (x)£ 0 на этом отрезке. Если f¢ (x)< 0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

Данную теорему можно проиллюстрировать геометрически:

y y

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума). Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: