Уравнения (4.57) определяют общее уравнение прямой в пространстве, если плоскости, определяемые этими уравнениями, различны и не параллельны.

Так как плоскости (4.57) не совпадают и не параллельны, то нарушается хотя бы одна из пропорций:

.

Но тогда хотя бы один из определителей второго порядка

отличен от нуля.

Расстояние от точки до плоскости.

Пусть даны уравнение плоскости в нормальном виде x cos α + y cos β + z cos γ – P = 0 и точка M₀(x₀, y₀, z₀), не лежащая на плоскости. Требуется найти расстояние от точки M₀ до плоскости, т.е. длину отрезка .

Рассмотрим ломаную OP₁SM₀R и найдем ее проекцию на ось l. Т.к. проекция ломаной равна проекции замыкающего отрезка, то

(4.53)

С другой стороны, проекция ломаной равна сумме проекций ее звеньев, т.е.

(4.54)

Проекции звеньев равны:

; ; ; (4.55)

где α, β, γ – углы, образованные единичным вектором n0, лежащим на оси l, с осями координат. Подставив (4.55) в (4.54), получим: или

Тогда расстояние от точки M₀ до данной прямой есть:

Если уравнение плоскости задано в общем виде Ax + By + Cz + D = 0, то, чтобы найти расстояние от данной точки M₀(x₀, y₀, z₀), до данной плоскости, необходимо привести к нормальному виду данное уравнение и применить формулу:

.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Пусть в трехмерном пространстве даны две прямые:

и (1)

Углом между двумя прямыми в пространстве будем называть любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку параллельно данным.

Очевидно, за угол φ между прямыми можно взять угол между их направляющими векторами: и .

Поэтому по формуле имеем:

(2)

Пусть прямые (1) перпендикулярны. Тогда и из (2) имеем условие перпендикулярности двух прямых: .

Пусть прямые (1) параллельны. Тогда параллельны их направляющие векторы: и, следовательно, – это условие параллельности двух прямых.

Кривые второго порядка

Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Окружность.

Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки. В окружности

(x – a)² + (y – b)² = R² центр имеет координаты (a; b). Если же центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид x² + y² = R².

Эллипс.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами). Уравнение эллипса: .

у

М

r₁ r₂

F₁ O F₂ х

F₁, F₂ – фокусы. F₁ = (c; 0); F₂(-c; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

B – малая полуось.

Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

y

M(x, y)

b

r₁

r₂

x

F₁ a F₂

c

Парабола.

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

у

А М(х, у)

О F x

P/2 p/2

y² = 2px

 

Предел функции в точке.

y f(x)

A + e

A

A - e

0 a - D a a + D x

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e> 0 существует такое число D> 0, что для всех х таких, что 0 < ï x - aï < D

верно неравенство ï f(x) - Aï < e

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Запись предела функции в точке:

Определение. Если f(x) ® A₁ при х ® а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A₂ при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.

у

F(x)

А₂

А₁

A x

Пределы А₁ и А₂ называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

Действия над пределами.

1. Если и имеют конечные пределы , , то и сумма (разность) их также имеет конечный предел

2. Если и имеют конечные пределы: , , то их произведение также имеют конечный предел

3. Если и имеют конечные пределы: , причем b¹ 0, то их отношение также имеет конечный предел .

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: