Любой вектор в пространстве Oxyz можно представить в виде

= где - единичные векторы, направленные вдоль координатных осей Ox, Oy, Oz соответственно. Числа a₁, a₂, a₃ есть проекции вектора на координатные оси, называемые координатами вектора в пространстве Oxyz.

Произведением вектора на число называется вектор , имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если

При умножении вектора = на число необходимо умножить координаты вектора на число: = .

Суммой двух векторов и называется вектор, определяемый по правилу треугольника или параллелограмма.

Разностью двух векторов и называется вектор = +(- )

При сложении (вычитании) векторов = и = складываются (вычитаются) их одноименные координаты.

Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме.

Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения векторов на числа.

Суммой двух векторов и называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора .

Произведением вектора на число называется вектор, коллинеарный вектору , имеющий длину , сонаправленный с при , и противонаправленный при .

Операция построения вектора называется умножением вектора на число .

Если или , то произведение имеет модуль, равный нулю, и, следовательно, представляет собой нулевой вектор. В этом случае направление произ­ведения является неопределенным.

Смысл операции умножения вектора на число можно выразить: при умножении вектора на число , вектор «растягивается в «раз». Конечно, это выражение условно; на­пример, если , то «растяжение» в «раз» по существу означает уменьшение длины в два раза; если – число отрицательное, то «растяжение» в «раз» следует понимать как такое изменение вектора, при котором этот вектор удлиняется в раз («модуль раз») и меняет свое направление на противоположное.

Основные свойства линейных операций:

1. Коммутативность сложения: .

2. Ассоциативность сложения: .

3. Существование нейтрального элемента относительно сложения: : .

4. Существование симметричного элемента относительно сложения:

: .

Векторы и называются иногда равнопротивопо­ложными.

5. Ассоциативность умножения на число: .

6. Существование нейтрального элемента относительно умножения на число:

: .

7. Дистрибутивность относительно сложения чисел: .

8. Дистрибутивность относительно сложения векторов: .

Из свойства ассоциативности сложения векторов следует общее правило сложения векторов. Чтобы построить сумму векторов , , …, , необходимо к концу век­тора приложить вектор , затем к концу вектора приложить вектор , затем к концу вектора приложить вектор и т. д., пока не дойдем до вектора . Тогда суммой будет вектор, идущий из начала вектора в конец вектора .

Опр. Разностью векторов и . называется вектор, который в сумме с вектором со­ставляет вектор .

7. Коллинеарность и компланарность векторов.

Векторы и коллинеарны в том и только в том случае, когда один из них может быть получен умножением другого на неко­торое число: . Это условие записывается в координатах как , , , откуда следует , т.е. координаты векторов и пропорциональны.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. а - сонаправленны, а - противоположнонаправленны. ОПР компланарные вектора- 3 вектора которые лежат в одной плоскости или В||2.

Признак комплонарности векторов: три ненулевых вектора а, в, с компланарны тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией двух других: С=λ ₁А+λ ₂В.

Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Отсюда следует, что если векторы , , заданы своими координатами: , , , то необходимым и достаточным условием компланарности этих векторов является соотношение

т. е. равенство нулю определителя, составленного из координат векторов , , .

Уравнения прямой на плоскости

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: