Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Пример: f(x) = ô xô Пример: f(x) =

y y

x

x

В точке х = 0 функция имеет минимум, но В точке х = 0 функция не имеет ни

Не имеет производной. максимума, ни минимума, ни производной.

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х₁).

Если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции f¢ (x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х₁ функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

29. Теоремы Ролля, Ферма.

Т. Ролля: Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в промежутке и принимает на концах отрезка равные значения , то в промежутке найдется по крайней мере одна такая точка , в которой производная будет равна нулю:

Т. Ферма: Необходимые условия экстремума: Если функция f(x, y) в точке (х₀, у₀) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.

Эту точку (х₀, у₀) будем называть критической точкой.

Теоремы Лагранжа, Коши.

Теорема Коши. Если две функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы в промежутке , причем производная второй из них не обращается в нуль в этом промежутке, то отношение конечных приращений этих функ­ций на отрезке равно отно­шению их производных в некоторой точке с промежутка , быть может, не единственной:

Заметим, что , так как иначе по теореме Ролля произ­водная обращалась бы в нуль хотя бы в одной точке промежутка , а по условию теоремы Коши в этом промежутке.

Теорему Лагранжа получим, положив , в силу чего , и .

Внося эти значения в равенство , получаем или

Полученная формула называется формулой Лагранжа, и опре­деляет содержание теоремы Лагранжа: конечное приращение на отрезке функции, непрерывной на этом отрезке и дифференцируемой внутри него, равно произведению конечного приращения аргумента на этом отрезке на значение производной в некоторой внутренней точке отрезка .

Экстремум: необходимое и достаточные условия экстремума.

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. Необходимое условие экстремума:

Для того чтобы функция y=f(X) имела экстремум в точке x₀, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю ( ) или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются критическими (или стационарными). Критическая точка вовсе не обязательна являться точкой экстремума.

Первое достаточное условие экстремума.

Теорема: Если при переходе через точку x₀производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка x₀ есть точка максимума функции y=f(x), а если с минуса на плюс - то точка минимума.

Схема исследования функции у=f(x) на экстремум:

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции, в которых производная или не существует.

Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

Найти экстремумы функции.

Второе достаточное условие экстремума.

Теорема: Если первая производная дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке x₀, а вторая производная в этой точке положительна, то x₀ есть точка минимума функции ; если отрицательна, то x₀-точка максимума.

Схема исследования функции у=f(x) на экстремум:

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции, в которых производная или не существует.

3. Найти вторую производную и определить ее знак в каждой критической точке.

Найти экстремумы функции.

Третий достаточный признак экстремума. Если в критической точке функции f(x) обращаются в нуль не только первая производная f(x0), но и все последовательные производные до ( — 1)-й включительно, a производная n-го порядка существует, непре­рывна и отлична от нуля , то точка х0 будет точкой экстремума, если n — число четное, и не будет ею при n нечетном.

Характер экстремума при n четном определяется знаком f(n)(x₀): мак­симум при f(n)(x₀) < 0, минимум при f(n)(x₀)> 0

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: