Определенный интеграл, как предел интегральных сумм.

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [а, b] называется предел, к которому стремится интегральная сумма, составленная для этой функции на этом отрезке, когда наибольшая длина элементарных отрезков, на которые разбит отрезок [а, b], стремится к нулю:

В символе определенного интеграла а и b называются нижним и верхним пределами интегрирования, отрезок [а, b] - отрезком интегрирования, f(x) называется под интегральной функцией, a f(x)dx - подинтегральным выражением; х называется переменной интегрирования.

Формула Ньютона – Лейбница

Если функция F(x) – какая-либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

. Это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда функция - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое–то постоянное число С, то при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а: , ,

Тогда . А при х = b:

Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

Теорема доказана.

Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x) .

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Свойства определенного интеграла.

1)

2)

3)

4) Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] a < b, то

5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

6) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка e такая, что

7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:

8)

Методы вычислений определенного интеграла

Замена переменных.

Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).

Тогда если

1) j(a) = а, j(b) = b

2) j(t) и j¢ (t) непрерывны на отрезке [a, b]

3) f(j(t)) определена на отрезке [a, b], то

Тогда

Интегрирование по частям.

Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Непосредственное интегрирование представляет собой метод, основанный на свойствах интеграла.

42. Геометрические приложения определенного интеграла.

Вычисление площадей плоских фигур.

у

+ +

A - b x

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула .

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

Вычисление длины дуги кривой.

y y = f(x)

DS_i Dy_i

Dx_i

A b x

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .

Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений:

В то же время

Тогда можно показать, что

Т.е.

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции, получаем ,

где х = j(t) и у = y(t).

Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то

Если кривая задана в полярных координатах, то

, r = f(j).

Объем тел вращения.

Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

y = f(x)

x

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

Несобственные интегралы.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ¥ ). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b].

Определение: Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ¥ ).

Обозначение:

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: