Функция R является нечетной относительно cosx.

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.

Функция может содержать cosx только в четных степенях, а, следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.

Интеграл вида если

Функция R является нечетной относительно sinx.

По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

Тогда

Интеграл вида

Функция R четная относительно sinx и cosx.

Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка t = tgx.

Тогда

Интеграл произведения синусов и косинусов

Различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

37.Универсальная тригонометрическая подстановка.

Интеграл вида .

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx. Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

,

Тогда

Таким образом:

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

Интеграл вида , где n- натуральное число.

С помощью подстановки функция рационализируется.

Тогда

Интегрирование биноминальных дифференциалов.

Биноминальным дифференциалом называется выражение x^m(a + bxⁿ)^pdx, где m, n, и p – рациональные числа.

Интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1) Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки

, где l - общий знаменатель m и n.

2) Если - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой

, где s – знаменатель числа р.

3) Если - целое число, то используется подстановка , где s – знаменатель числа р.

Интегралы вида .

Интеграл приводится к одному из трех типов:

1)

2)

3)

Способ. Тригонометрическая подстановка.

Теорема: Интеграл вида подстановкой или

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.

Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

Способ. Подстановки Эйлера.

1) Если а> 0, то интеграл вида рационализируется подстановкой

.

2) Если a< 0 и c> 0, то интеграл вида рационализируется подстановкой .

3) Если a< 0, а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(x – x₁)(x – x₂), то интеграл вида рационализируется подстановкой .

Способ. Метод неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим интегралы следующих трех типов:

Где P(x) – многочлен, n – натуральное число.

Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду интеграла I типа.

Далее делается следующее преобразование:

В этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена P(x), а l - некоторая постоянная величина.

Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного выражения, затем умножают на и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют l и коэффициенты многочлена Q(x).

Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является производной подкоренного выражения.

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: