Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.

Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:

Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.

Пример.

- не существует.

Несобственный интеграл расходится.

Частные производные, геометрический смысл, вычисление.

Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина D_xz = f( x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Можно записать

.

Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение:

Аналогично определяется частная производная функции по у.

Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N₀(x₀, y₀, z₀) к сечению поверхности плоскостью у = у₀.

Дифференциал функции многих переменных

Установлены следующие предложения, характеризующие свойства дифференциала и связь его с приращением функции.

1. Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента (независимого переменного)

2. Разность между приращением функции ⌂ y и ее дифференциалом есть величина бесконечно малая более высокого порядка, чем приращение аргумента ⌂ x, а также (при y≠ 0 ) более высокого порядка, чем приращение функции ⌂ y и ее дифференциал dy (в самом деле, при y≠ 0 и ⌂ x стремится 0, ⌂ y есть бесконечно малая того же порядка малости, что и ⌂ x, так как ; dy также будет бесконечно малой того же порядка, посколькуdy=y’*⌂ x

3. В силу этого последнего свойства при y’≠ 0 приращение функции ⌂ y и ее дифференциал dy будут при бесконечно малом ⌂ x равносильными бесконечно малыми: Дифференциал функции имеет простой геометрический смысл: значение дифференциала функции, при данном значении аргумента x и данном приращении ⌂ x, равно приращению ординаты касательной,, проведенной в точке с абсциссой x графика этой функции, при переходе от точки касания (с абсциссой x ) к соседней точке касательной с абсциссой x+⌂ x.

Производная по направлению и градиент, их вычисление.

Производная по направлению. Если в n-мерном пространстве задан единичный вектор , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению: . В частности, для функции трех переменных , - направляющие косинусы вектора .

Градиент. Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора и вектора с координатами , который называется градиентом функции и обозначается . Поскольку , где - угол между и , то вектор указывает направление скорейшего возрастания функции , а его модуль равен производной по этому направлению.

47. Числовые ряды, основные определения. Сходимость и сумма ряда.

Числовым рядом называется выражение вида (1.1)где - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, - общим членом ряда.

Сумма первых n членов ряда (1.1) называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через S_n, т.е. . Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (1.1) и говорят, что ряд сходится. Теорема. Если ряд сходится, то его общий член u_n стремится к нулю при , .

 

48. Знакоположительные ряды. Достаточные признаки сходимости .

При изучении знакопостоянных рядов достаточно остановиться на рядах с положительными членами, точнее с неотрицательными членами (допускаем существование члена ряда а=0).

Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы последовательность частных сумм ряда была ограничена.

Т.к. ряд имеет неотрицательные члены, то его частные суммы образуют неубывающую последовательность, при любом n. По условию последовательность частных сумм ряда ограничена, а значит, по теореме о монотонных последовательностях она сходится.

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: