Если это уравнение можно разрешить относительно у', то его можно записать в виде

y'=f(x, y). (1')

В этом случае мы говорим, что дифференциальное уравнение разрешено относительно производной.

Задача Коши. Теорема существования и единственности решения ДУ

В том случае, когда необходимо найти решение дифференциального уравнения (1) при заданном значении аргумента х=х₀, принимающего у=у₀ говорят, что задана задача Коши.

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка (1) состоит в том, чтобы найти решение, которое при заданном значении аргумента принимает заданное значение , т.е. удовлетворяет начальному условию .

Геометрически задача Коши формулируется следующим образом: среди всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения выделить ту, которая проходит через заданную точку . Решение задачи Коши является частным решением дифференциального уравнения.

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши)

Если правая часть дифференциального уравнения непрерывна в области D и имеет в этой области непрерывную частную производную , то через каждую точку (x₀, y₀) этой области проходит и притом только одна интегральная кривая.

Иными словами, при этих условиях задача Коши имеет единственное решение для любой точки в области D.

55.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Решение методом Бернулли и методом вариации произвольных постоянных.

Уравнение вида

, (1)

где Р(х) и Q(x) непрерывные функции от х, называется линейным.

Для решения уравнения (1) при применим метод Бернулли. Будем искать неизвестную функцию в виде произведения двух пока неизвестных функций от х, т.е. положим , тогда .

Подставляем выражения y и в (4) имеем: ,

Или (2)

Так как искомое решение у – есть произведение двух функций, то одна из них может быть выбрана произвольно, другая же должна определятся уравнением (2). Выберем функцию (x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обращалось в нуль, т.е. .

Для этого достаточно, чтобы (x) было каким-либо частным решением уравнения с разделяющимися переменными: .

Решая его находим , .

Подставляя найденную функцию в уравнение (2) имеем уравнение с разделяющимися переменными. Тогда искомое решение линейного дифференциального уравнения будет иметь вид .

Иногда дифференциальное уравнение первого порядка является линейным не относительно у, а относительно х, т.е. может быть приведено к виду .

Для нахождения частных решений у_ч линейных неоднородных уравнений

(3) пользуются методом Лагранжа – методом вариации произвольных постоянных.Сущность этого метода заключается в том, что для соответствующего однородного уравнения записывают общее решение , где С₁ и С₂ рассматриваются как функции от х. Их подбирают так, чтобы общее решение было решением уравнения (3).

56. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Функция называется однородной функцией

n-го измерения относительно переменных x и y, если при любом λ справедливо тождество

.

Например, функция есть однородная функция третьего порядка:

.

Уравнение первого порядка называется однородным относительно x и y, если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно x и y.

57.Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Простейшим уравнением n-го порядка является уравнение вида , (1)

Т.е. разрешенное относительно n-ой производной.

Его решение может быть получено путем n последовательных интегрирований по х левой и правой части. Интегрируя получим .

Интегрируя еще раз, получим .

Продолжая далее, после n интегрирований получим выражение общего интеграла

.

Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Достаточно положить

Уравнение вида ,

т.е уравнение, не содержащее явно неизвестной функции , решается подстановкой

, ,

после которой получаем дифференциальное уравнение первого порядка ,

где неизвестной функцией является .

Уравнение вида ,

т.е. дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее в явном виде независимую переменную х. Для его решения полагаем в нем . Теперь, считая p функцией от y, находим

. Подставляя в уравнение выражения и , получим дифференциальное уравнение 1-го порядка ,

где неизвестной функцией является , а независимой переменной является у.

58. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение.

Пусть имеем линейное однородное уравнение 2-го порядка , (1)где p, q – постоянные действительные числа. Чтобы найти общий интеграл этого уравнения, достаточно найти два линейно независимых частных решения. Будем искать решения в виде где (2)

Тогда , .Подставляя найденные значения , , в уравнение (1), получим , .

Отсюда, так как , то . (3)

Очевидно, что если будет удовлетворять уравнению (3), то будет искомым решением уравнения (1). Уравнение (3) называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (1).

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться: