![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Если это уравнение можно разрешить относительно у', то его можно записать в виде
y'=f(x, y). (1') В этом случае мы говорим, что дифференциальное уравнение разрешено относительно производной. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения ДУ В том случае, когда необходимо найти решение дифференциального уравнения (1) при заданном значении аргумента х=х0, принимающего у=у0 говорят, что задана задача Коши. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка (1) состоит в том, чтобы найти решение, которое при заданном значении аргумента Геометрически задача Коши формулируется следующим образом: среди всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения выделить ту, которая проходит через заданную точку Теорема (существования и единственности решения задачи Коши) Если правая часть Иными словами, при этих условиях задача Коши имеет единственное решение для любой точки 55.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Решение методом Бернулли и методом вариации произвольных постоянных. Уравнение вида где Р(х) и Q(x) непрерывные функции от х, называется линейным. Для решения уравнения (1) при Подставляем выражения y и Или Так как искомое решение у – есть произведение двух функций, то одна из них может быть выбрана произвольно, другая же должна определятся уравнением (2). Выберем функцию Для этого достаточно, чтобы Решая его находим Подставляя найденную функцию Иногда дифференциальное уравнение первого порядка является линейным не относительно у, а относительно х, т.е. может быть приведено к виду Для нахождения частных решений уч линейных неоднородных уравнений 56. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Функция n-го измерения относительно переменных x и y, если при любом λ справедливо тождество Например, функция Уравнение первого порядка 57.Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Простейшим уравнением n-го порядка является уравнение вида Т.е. разрешенное относительно n-ой производной. Его решение может быть получено путем n последовательных интегрирований по х левой и правой части. Интегрируя получим Интегрируя еще раз, получим Продолжая далее, после n интегрирований получим выражение общего интеграла Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям Достаточно положить Уравнение вида т.е уравнение, не содержащее явно неизвестной функции после которой получаем дифференциальное уравнение первого порядка где неизвестной функцией является Уравнение вида т.е. дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее в явном виде независимую переменную х. Для его решения полагаем в нем где неизвестной функцией является 58. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение. Пусть имеем линейное однородное уравнение 2-го порядка Тогда Отсюда, так как Очевидно, что если |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 434; Нарушение авторского права страницы