Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой.

Теорема 1. Общее решение неоднородного уравнения (1), представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения у_ч и общего решения соответствующего однородного уравнения

Доказательство. Нужно доказать, что сумма (3)

Есть общее решение уравнения (1).

Докажем сначала, что функция (3) есть решение уравнения (1). Подставляя вместо у сумму в уравнение (1) будем иметь:

Или

. (4)

Так как – есть решение уравнения (2) то выражение, стоящее в первых скобках уравнения (4) тождественно равно нулю. Так как y_ч есть решение уравнения (1), то выражение, стоящее во второй скобке (4) равно f(x). Следовательно равенство (4) является тождеством. Таким образом, первая часть теоремы доказана.

Докажем теперь, что выражение (3) есть общее решение уравнения (1), т.е. докажем, что входящие в него произвольные постоянные можно подобрать так, чтобы выполнялись начальные условия (5)

каковы бы ни были числа х₀, у₀, и (лишь бы области, где функции a₁, a₂ и f(x) непрерывны).

Заметив, что можно представить в виде , где у₁ , у₂ линейно независимые решения уравнения (2), а С₁ и С₂ – произвольные постоянные, можем переписать равенство (3) в виде . Тогда на основании условия (5) будем иметь систему

.

Из этой системы уравнений нужно определить С₁ и С₂. Перепишем систему в виде

(6)

Определитель системы – есть определитель Вронского для решений у₁ и у₂ в точке . Так как эти функции по условию, линейно независимые, то определитель Вронского не равен нулю, следовательно система (6) имеет единственное решение С₁ и С₂, т.е. существуют такие значения С₁ и С₂ при, которых формула (3) определяет решение уравнения (1), удовлетворяющее данным начальным условиям.

Таким образом, если известно общее решение однородного уравнения (2), то основная задача при интегрировании неоднородного уравнения (1) состоит в нахождении какого-либо его частного решения у_ч.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов.

Иногда бывает возможно найти решение проще, не прибегая к интегрированию. Это имеет место в особых случаях, когда функция f(x) имеет специальный вид.

Пусть имеем уравнение , (1)

где p и q действительные числа, а f(х) имеет специальный вид. Рассмотрим несколько таких возможностей для уравнения (1).

Пусть правая часть уравнения (1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, т.е. имеет вид , (2)

где - многочлен n-ой степени. Тогда возможны следующие случаи:

а) число – не является корнем характеристического уравнения .

В этом случае частное решение нужно искать в виде (3)

т.е. в виде многочлена тоже n-ой степени, где А₀, А₁, …, А_n коэффициенты, подлежат определению.

Для того, чтобы их определить, находим производные и .

.

Подставив у_ч, и в уравнение (1) и сокращая обе части на множитель будем иметь:

_, .

Здесь – многочлен n-ой степени, – многочлен (n-1)-ой степени, –многочлен (n-2)-ой степени.

Таким образом, слева и справа от знака равенства стоят многочлены n-ой степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (число неизвестных коэффициентов равно ), получаем систему уравнений для определения коэффициентов А₀, А₁, …, А_n.

если правая часть уравнения (1) имеет вид:

где и - многочлены от х, то форма частного решения определяется так:

а) Если число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде:

где и – многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов и .

б) Если число есть корень характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

Итак, решение y неоднородного линейного дифференциального уравнения

ищется в виде суммы , где общее решение находится с помощью характеристического уравнения, а частное решение находим из правой части.

Классификация событий. Сумма, произведение событий, их свойства, графическое представление.

Всякие явления (факты), которые могут произойти или не произойти, называются событиями. Обозначаются: А, В, С… События делятся на: 1. Случайные. 2. Достоверные. 3. Невозможные

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться: