Следствия из первого замечательного предела

Свойства определителей

Определитель не изменяется при транспонировании: det A^T = det A.

При перестановке любых двух строк, определитель меняет знак.

Если в определителе есть две одинаковые строки, то он равен нулю.

Если все элементы строки определителя умножить на отличное от нуля число, то определитель умножается на это число

Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю

Если каждый элемент какой либо строки определителя представлен в виде суммы двух слагаемыхто его можно представить в виде суммы двух определителей

Определитель не изменится, если к элементам любой его строки прибавить элементы любой другой строки, умноженные на одно и то же число.Поскольку определитель не меняется при транспонировании, приведенные выше утверждения справедливы и для столбцов.

2)Вычисление определителей второго порядка.
Определитель второго порядка (матрицы размера 2 на 2) вычисляется по правилу:

Вычисление определителей третьего порядка.
Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольника

3) Основные виды матриц:
Квадратная – в которой число строк равно числу столбцов (m=n)
Нулевая – все элементы этой матрицы равны 0.
Транспонированная матрица — матрица В, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.
Единичная – все элементы главной диагонали равны 1, все остальные 0.
Обратная матрица — матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу.
Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. То есть, если а12=а21, а13=а31, ….а23=а32…. аm-1n=аmn-1. то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными бывают только квадратные матрицы.

Матричные операции

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Ассоциативность сложения:

Коммутативность сложения:

Ассоциативность умножения:

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.

Свойства операции транспонирования матриц:

, если обратная матрица существует .

 

 

 

 

4)Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что элемент матрицы , стоящий в -ой строке и -ом столбце, т.е. элемент , равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы

-ого столбца матрицы .

Умножать матрицы можно тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

5)основные операции с матрицами: сложение, разность, умножение.

Суммой двух матриц A=(a_ij) и B=(b_ij) с одинаковым количеством m строк и n столбцов называется матрица C=(cij), элементы которой определяются равенством a_ij+b_ij=c_ij(i=1, 2..., m; j==1, 2..., n; ).

.

Произведением матрицы A=(aij) на число называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число :

6)Минором к элементу определителя -го порядка называется определитель -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием -той строки и -того столбца.

Задание. Найти минор к элементу определителя .

Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:

 

тогда

Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением к элементу определителя -го порядка называется число

Задание. Найти алгебраическое дополнение к элементу определителя .

Решение.

 

7) Обра́ тная ма́ трица — такая матрица A^{− 1}, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

8) Общее число линейно независимых строк или столбцов называется рангом матрицы.Ранг определятся числом числом не нулевых строк матрицы треугольного вида

9) Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:

I. Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.

II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.

II. Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на одно и то же число.

Матрица B, полученная из исходной матрицы A конечным числом элементарных преобразований, называется эквивалентной. Это обозначается A\sim B.

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду нужно выполнить следующие действия.

1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля (ведущий элемент). Строку с ведущим элементом (ведущая строка), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.

2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.

3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).

4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.

10) Система линейных алгебраических уравнений с неизвестными — это система уравнений вида

Здесь — неизвестные, которые надо определить. Коэффициенты системы и её свободные члены предполагаются известными. Индексы коэффициента системы обозначают номера уравнения и неизвестного , при котором стоит этот коэффициент.

Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю, , иначе — неоднородной.

Система называется квадратной, если число уравнений равно числу неизвестных.

Решение системы уравнений — совокупность чисел , таких что подстановка каждого вместо в систему обращает все её уравнения в тождества.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения. Совместная система может иметь одно или более решений.Решения и совместной системы называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённо

Методы решения Прямые (или точные) методы решения СЛАУ позволяют найти решение за определенное количество шагов. К прямым методам относятся метод Гаусса, метод Гаусса — Жордана, метод Крамера, матричный метод и метод прогонки (для трёхдиагональных матриц).Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса. Они позволяют получить решение в результате последовательных приближений. К итерационным методам относятся метод Якоби (метод простой итерации), метод Гаусса — Зейделя, метод релаксации и многосеточный метод.

11) Теоре́ ма Кро́ некера — Капе́ лли — критерий совместности системы

линейных

алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и

только тогда, когда ранг её основной

матрицы равен рангу её расширенной матрицы,

причём система имеет единственное решение, если

ранг равен числу неизвестных,

и бесконечное множество решений, если ранг меньше

числа неизвестных.

12) Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Суть метода Крамера можно выразить в трёх пунктах:

1. Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. Δ ≠ 0.

2. Для каждой переменной xi(i=1, n¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ) необходимо составить определитель Δ xi, полученный из определителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.

3. Найти значения неизвестных по формуле xi=Δ xiΔ (i=1, n¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ).

13) Метод Гаусса является одним из самых наглядных и

простых способов

решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): как

однородных,

так и неоднородных. Коротко говоря, суть этого метода состоит в

последовательном исключении неизвестных.

14) Метод обратной матрицы (Матричный метод) решения систем линейных

алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы состоит

в поиске матрицы, обратной к основной матрице, и умножению ее на матрицу

свободных членов.

16) Если в общем уравнении прямой , то его можно записать в виде уравнения с угловым коэффициентом

 

где угловой коэффициент,

a – угол, образованный прямой с положительным направлением оси , – свободный член, равный ординате точки пересечения прямой с осью .

Однозначно определить прямую можно, задав одну точку и угловой коэффициент. А именно, уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом , определяется по формуле

.

 

17) Пусть даны точки A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂). Уравнение прямой, проходящей через точки A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) имеет вид: Если данные точки A и B лежат на прямой, параллельной оси O_x (у₂-у₁=0) или оси O_у (х₂-х₁=0), то уравнение прямой будет соответственно иметь вид у=у₁ или х=

18) Если прямая отсекает на осях отрезки a, b (не равные нулю), то её можно представить уравнением
Такое ыражение называется уравнение прямой в отрезках.

19)

Пусть две неперпендикулярные прямые A₁, A₂ (взятые в данном порядке) представляются уравнениями
y=a₁x+b₁
y=a₂x+b₂
Тогда формула
Даёт угол, на который надо повернуть первую прямую, чтобы она стала параллельно второй.

Замечание 1.
Если хотя бы одна из прямых A₁, A₂ параллельно оси OY, то выше написанная формула неприменима. В этом случае уголθ определяется следующим образом:

1. Когда прямая A₂ параллельно оси OY, а A₁ не параллельна, применяем формулу

2. Когда прямая A₁ параллельно оси OY, а A₂ не параллельна, применяем формулу
3. Когда обе прямая параллельно оси OY, они и параллельны и между собой, так что

Замечание 2.
Угол между прямыми, заданными уравнениями
A₁ x+B₁ y+C₁=0 и A₂ x+B₂ y+C₂=0
Можно найти по формуле
При A₁A₂+B₁B₂=0, то угол θ =±90

Замечание 3.
Если прямые перпендикулярны (θ =±90), то выражение 1+a₁a₂, стоящее в знаменателе, обращается в нуль, тогда θ надо считать равным ±90

Если данные точки A и B лежат на прямой, параллельной

оси O_x (у₂-у₁=0) или оси O_у (х₂-х₁=0), то уравнение

прямой будет соответственно иметь вид у=у₁ или х=х₁

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20) Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через 2а. Фокусы эллипса обозначают буквами и , расстояние между ними - через 2с. По определению эллипса или .

Пусть дан эллипс. Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение данного эллипса имеет вид

 

где ; очевидно, . Уравнение вида (1) называется каноническим уравнением эллипса

Уравнение (35) и есть каноническое уравнение окружности с центром в точке С(а, b) и радиусом R.

21) Гипербола представляет собой плоскую кривую, для каждой точки которой модуль разности расстояний до двух заданных точек (фокусов гиперболы) является постоянным. Расстояние между фокусами гиперболы называется фокусным расстоянием и обозначается через 2c. Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром. У гиперболы имеются две оси симметрии: фокальная или действительная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей мнимая ось, проходящая через центр. Действительная ось пересекает ветви гиперболы в точках, которые называются вершинами. Отрезок, соединяющий центр гиперболы с вершиной, называется действительной полуосью и обозначается через a. Мнимая полуось обозначается символом b. Каноническое уравнение гиперболызаписывается в виде

Параболой называется плоская кривая, в каждой точки которой выполняется следующее свойство: расстояние до заданной точки (фокуса параболы) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p. Парабола имеет единственную ось симметрии, которая пересекает параболу в ее вершине.Каноническое уравнение параболы имеет вид y = 2px.

22) Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида в котором по крайней мере один из коэффициентов , , , , , отличен от нуля.

Пусть поверхность S задана в прямоугольной системе координат уравнением F(x, y, z)=0. Поверхность S пересекаем плоскостями, параллельными координатным плоскостям (или самими координатными плоскостями), и находим линии пересеченияповерхности с этими плоскостями. По виду этих линий и выносится суждение о форме поверхности S. Применение метода сечений основано на следующей теореме.

Теорема 132. Пусть в прямоугольной системе координат заданы поверхность S уравнением (1) и плоскость, параллельная плоскости или совпадающая с ней, уравнением z = h. Если поверхность S пересекается с плоскостью по

23) В декартовых прямоугольных координатах уравнение любой плоскости приводиться к виду Ax+By+Cz+D=0 (14) Уравнение (14) называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты A, B, C являются координатами вектора , перпендикулярного к плоскости, заданной уравнением (14). Он называется нормальным вектором этой плоскости и определяет ориентацию плоскости в пространстве относительно системы координат.Существуют различные способы задания плоскости и соответствующие им виды уравнения. 1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Если плоскость проходит через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и перпендикулярна к вектору =(A, B, C), то ее уравнение записывается в виде: A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 2. Уравнение плоскости в «отрезках». Если плоскость пересекает оси координат O_x, O_y, O_z в точках M₁(a, 0, 0) M₂(0, b, 0) M₃(0, 0, c) соответственно, то ее уравнение можно записать в виде: где a≠ 0, b≠ 0, c≠ 0 3. Уравнение плоскости по трем точкам. Если плоскость проходит через точки M_i(x_i, y_i, z_i (i=1, 3), не лежащие на одной прямой, то ее уравнение можно записать в виде:

25)

Каноническое уравнение прямой где (х₀; у₀; z₀) – точка прямой, (k; l; m) – направляющий вектор.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две данные точки

Прямая как пересечение двух плоскостей

, где – направляющий вектор прямой, и – векторы нормалей данных плоскосте линии, то проекция линии на плоскость в системе координат имеет уравнение F (x, y, h) = 0

26) Определение. Цилиндрической поверхностью называется поверхность (рис. 18), образованная прямыми (образующими), параллельными некоторой данной прямой L и пересекающими данную линию С (направляющую).

27) Определение. Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением какой-либо плоской линии вокруг прямой, лежащей в плоскости этой линии.

Для вывода уравнения поверхности вращения необходимо выбрать систему координат. Чтобы уравнение поверхности вращения выглядело проще, ось вращения принимают за одну из координатных осей.

 

Пусть в координатной плоскости Oyz задана кривая L уравнением F(Y, Z)=0 (рис. 24). Вращаем кривую L вокруг оси Oy. Получим некоторую поверхность. Пусть M(x, y, z) - произвольная точка получившейся поверхности. Тогда
, но т.к. если взять точку M₁ с отрицательной аппликатой, то

Следовательно, имеем Y = y, и координаты точки M(x, y, z) удовлетворяют уравнению Уравнение (62) и есть искомое уравнение поверхности вращения.

Конические поверхности

Определение. Конической поверхностью называется поверхность (рис. 23), образованная прямыми (образующими конуса), проходящими через данную точку (вершину конуса) и пересекающими данную линию (направляющую конуса). Пусть направляющая конуса задана уравнениями: а вершина S конуса имеет координаты x₀, y₀, z₀.Уравнения образующей запишем как уравнения прямой, проходящей через две точки S(x₀, y₀, z₀) и M(x, y, z), принадлежащие направляющей (60): где X, Y, Z - текущие координаты точек образующих.

Исключая из уравнений (60) и (61) x, y, z, получим уравнение относительно переменных X, Y, Z, т.е. уравнение конической поверхности.

28) ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИФункцией называется закон, по которому числу х из заданного множества Х, поставлено в соответствие только одно число у, пишут , при этом x называют аргументом функции, y называют значением функции.
Существуют разные способы задания функций.
1. Аналитический способ.
Аналитический способ - это наиболее часто встречающийся способ задания функции.

Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у. Например .

Рассмотрим первый пример - . Здесь значению x = 1 соответствует , значению x = 3 соответствует и т. д.
Функция может быть задана на разных частях множества X разными функциями.
При аналитическом способе задания, функция может быть задана параметрически - это, когда х и у выражены через некоторый параметр t. Например,

Здесь при t = 2, x = 2, y = 4. То есть, значение функции при х = 2 равно 4.
2. Графический способ.
При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x, y). При этом .
3. Словесный способ.
Функция задается с помощью словесной формулировки. Классический пример – функция Дирихле.
«Функция равна 1, если х – рациональное число; функция равна 0, если х – иррациональное число».
4. Табличный способ.
Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y

.

 

 

29). Понятие о сложной функции
Пусть даны две функции z = f(y) и у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций f и g) называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу h(x) = f(g(x)) (т. е. сначала вычисляется g(x), при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется значение в точке у).

2. Взаимно обратные функции
Пусть дана функция у = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости у = f(x) можно переменную х однозначно выразить через переменную у. Выразив х через у, мы получим равенство вида х = g(y). В этой записи g обозначает функцию, обратную к f.
Если функция g является обратной для функции f, то и функция является обратной для функции g.
Пару функций f и g называют взаимно обратными функциями

3. График обратной функции
Если мы одновременно построим графики функций f и g в одной и той же системе координат, откладывая по оси абсцисс аргументы обеих функций, а по оси ординат – их значения, то эти графики будут симметричны друг другу относительно прямой у = х.

4. Свойства взаимно обратных функций
Отметим некоторые свойства взаимно обратных функций.
1) Тождества. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Тогда: f(g(y)) = у и g(f(x)) = х.
2) Область определения. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Область определения функции f совпадает с областью значений функции g, и наоборот, область значений функции f совпадает с областью определения функции g.
3) Монотонность. Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное утверждение верно и для убывающих функций.
4) Графики. Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой у = х.

30) Предел последовательности Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое вещественное число то говорят, что задана числовая последовательность Кратко она обозначается символом называют n-м членом последовательности. Совокупность этих чисел называют множеством значений последовательности.

Существует несколько способов задания числовых последовательностей.

1. Последовательность может быть задана при помощи формулы, позволяющей вычислить каждый ее член по номеру (например, ).

2. Часто последовательность задается при помощи рекуррентной формулы, позволяющей определить каждый член последовательности по одному или нескольким предыдущим; при этом необходимо задание одного или нескольких первых членов последовательности. К таковым относятся арифметическая и геометрическая прогрессии или, например, последовательность Фибоначчи, задаваемая формулой

xn + 2 = xn + 1 + xn при n > 0

3. и условиями x₁ = 1, x₂ = 1.

4. Иногда последовательность задается описанием ее членов, например, последовательность, у которой x_n равен n-му знаку после запятой в десятичной записи числа π = 3, 14159265358979323..., задается следующим образом: x₁ = 1, x₂ = 4, x₃ = 1, x₄ = 5, x₅ = 9, x₆ = 2, x₇ = 6, x₈ = 5, x₉ = 3, x₁₀ = 5 и т. д.

Число a называется пределом последовательности {x_n}, если для каждого ε > 0 существует такой номер N_ε , что для всех n ≥ N_ε выполняется неравенство

|xn – a| < ε,

т. е. При этом пишут, что или при n → ∞. Кратко это определение можно записать так:

Интервал (a – ε; a + ε ) называют ε -окрестностью точки a.

31) Предел функции. ЧислоL называется пределом функции y = f ( x ) при x, стремящемся к a: если для любого > 0 найдётся такое положительное число = ( ), зависящее от , что из условия | x  a | <  следует | f ( x ) – L | <   Это определение означает, что L есть предел функции y = f ( x ), если значение функции неограниченно приближается к L, когда значение аргумента x приближается к a. Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число , что если x находится в интервале ( a     a    ), то значение функции лежит в интервале ( L   , L +  ). Отметим, что в соответствии с этим определением аргумент функции лишь приближается к a, не принимая этого значения! Это следует учитывать при вычислении предела любой функции в точке её разрыва, где функция не существует.

32) Первый замечательный предел

Теорема

Асимптоты графика функции

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Вертикальная[

Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

1.

2.

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

Горизонтальная

Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела

.

Наклонная

Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов

Пример наклонной асимптоты

1.

2.

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.

Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.

 

39) Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f ( x ) в двух точках x₀ и x₀ + : f ( x₀ ) и f ( x₀ + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: f ( x₀ + )  f ( x₀ ) называется приращением функции. Производной функции y = f ( x ) в точке x₀ называется предел:

 

Если этот предел существует, то функция f ( x ) называется дифференцируемой в точке x₀ . Производная функции f ( x ) обозначается так:

 

Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f ( x ):

 

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: где - угол наклона секущей AB.Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x₀, f ( x₀ ) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’( x₀ ) имеет вид: y = f ’( x₀ ) · x + b.Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: f ( x₀ ) = f ’( x₀ ) · x₀ + b, отсюда, b = f ( x₀ ) – f ’( x₀ ) · x₀, и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной: y = f ( x₀ ) + f ’( x₀ ) · ( x – x₀ ).

1234567Следующая ⇒

Поделиться: