Признаки существования предела функции

Не всякая функция может иметь предел. Зачастую практические задачи сводятся не к вопросу нахождения конкретного значения предела, а к вопросу: существует ли предел рассматриваемой функции. Для ответа на этот вопрос используют признаки существования предела.

Предел промежуточной функции Теорема(О пределе промежуточной функции). Если имеет место соотношение и , , то и

Предел монотонной функциТеорема(О пределе монотонной функции). Если функция является монотонной и ограниченной в области или , то соответственно существует ее левый предел или ее правый предел .

 

37) Непрерывность функций Функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a, быть может, за исключением самой точки a. Точка a называется точкой разрыва, если эта функция либо не определена в точке a, либо определена, но не является непрерывной в точке a.

Чаще всего разрыв возникает по двум причинам:

1. функция задана различными выражениями на разных участках, и в граничных точках эти выражения имеют различные пределы;

2. функция не определена в данной точке.

Примером разрывной функции может служить функция зависимости плотности воды в окрестности 0 º C. Примером непрерывной функции является зависимость площади квадрата от длины его стороны. Подчеркнем еще раз, что непрерывность функции рассматривается только на области ее определения.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то она называется непрерывной на этом промежутке. Большинство функций, изучаемых в элементарной математике, непрерывны на всей области определения. Таковыми являются линейная функция y = kx + b, квадратичная y = ax² + bx + c, показательная и тригонометрические функции.

Если функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x₀, то их сумма и произведение также непрерывны в этой точке, а функция непрерывна в ней при условии, что g (x₀) ≠ 0.

Отсюда следует, что рациональные функции непрерывны во всех тех точках, в которых их знаменатель не обращается в нуль.

Из непрерывности функции y = f (x) в точке x₀ и функции z = g (y) в точке y = f (x₀) следует непрерывность сложной функции g (f (x)) в точке x₀.

Функцию f (x) называют непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a; b) и, кроме того, непрерывна справа в точке a и слева в точке b.

Теорема Вейерштрасса. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то она ограничена на этом отрезке и достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

Теорема Коши. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке [a; b] имеется хотя бы один нуль функции f. При этом, если функция строго монотонна на этом отрезке, то она принимает значение 0 лишь один раз.

Теорема о промежуточных значениях. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и f (a) ≠ f (b), то для каждого значения y, заключенного между f (a) и f (b), найдется точка (и возможно, не одна) такая, что f (x) = y.

Асимптоты графика функции

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Вертикальная[

Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

1.

2.

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

Горизонтальная

Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела

.

Наклонная

Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов

Пример наклонной асимптоты

1.

2.

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.

Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.

 

39) Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f ( x ) в двух точках x₀ и x₀ + : f ( x₀ ) и f ( x₀ + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: f ( x₀ + )  f ( x₀ ) называется приращением функции. Производной функции y = f ( x ) в точке x₀ называется предел:

 

Если этот предел существует, то функция f ( x ) называется дифференцируемой в точке x₀ . Производная функции f ( x ) обозначается так:

 

Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f ( x ):

 

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: где - угол наклона секущей AB.Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x₀, f ( x₀ ) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’( x₀ ) имеет вид: y = f ’( x₀ ) · x + b.Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: f ( x₀ ) = f ’( x₀ ) · x₀ + b, отсюда, b = f ( x₀ ) – f ’( x₀ ) · x₀, и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной: y = f ( x₀ ) + f ’( x₀ ) · ( x – x₀ ).

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t₀ до t₀ + точка перемещается на расстояние: x ( t₀ + )  x ( t₀ ) = , а её средняя скорость равна: v_a =    . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t₀ ) материальной точки в момент времени t₀. Но по определению производной мы имеем: отсюда, v ( t₀ ) = x’ ( t₀ ), т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t )

Экономический смысл производной Производительность труда есть производная объема продукции по времени. Рассмотрим некоторые понятия, иллюстрирующие экономический смысл производной.

Пусть y(x) — функция, характеризующая, например, издержки производства, где x — количество выпускаемой продукции. Тогда отношение описывает средние издержки, приходящиеся на одно изделие. Средняя величина обозначается Ay или Af (от английского «average».) Среднее приращение, средний прирост, средняя скорость изменения определяется отношением . Производная выражает предельные (маргинальные от английского «marginal») издержки производства. Величину Mf(x) = y' называют мгновенным приростом или мгновенной скоростью

изменения y. Аналогично можно определить предельную выручку, предельный доход, предельную полезность и другие предельные величины. Определение. Отношение называется темпом прироста функции y. Отношение называется мгновенным темпом прироста.

Обычно степень влияния одной переменной на другую, зависимую от нее, измеряют производной данной функции. Однако часто экономистов интересуют относительные изменения величин. Например, если маленькое яблоко подорожало на 2, 5 рубля, то при этом большое, скажем, на 5. В тоже время, если яблоки подорожали в 1, 5 раза, то в 1, 5 раза дороже стало и маленькое, и большое яблоко, и килограмм, и вагон яблок. Поэтому для анализа относительных изменений вместе с понятием производной используют понятие эластичности.

Определение (эластичность). Эластичностью функции Ex(y) называется величина Будем говорить, что y(x) эластична в точке x, если | Ex(y) | > 1, y(x) неэластична, если | Ex(y) | < 1, и нейтральна, если | Ex(y) | = 1.

Рассмотрим некоторые свойства эластичности.

· Эластичность — безразмерная величина, ее значение не зависит от того, в каких единицах измерены аргумент и функция. Если u = Ax, v = By, то ;

· Эластичности взаимно обратных функций — взаимно обратные величины

 

· Эластичность функции равна произведению независимой переменной x на темп изменения функции , то есть E_x(y) = xT_y.

· Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций:

· E_x(uv) = E_x(u) + E_x(v), .

· Из последнего свойства следуют формулы

E_x(xy) = E_x(x) + E_x(y) = 1 + E_x(y) отсюда, если E_x(y) > − 1, то xy монотонно возрастает; если E_x(y) < − 1, то xy монотонно убывает. Аналогично,

 

40)

41) Правила дифференцирования

(k⋅ f(x))′ =k⋅ f ′ (x).

(f(x)+g(x))′ =f′ (x)+g′ (x).

(f(x)⋅ g(x))′ =f′ (x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′ (x).

 

\

42) Производная сложной функции. Если y=F(u), а u=u(x), то функция y=f(x)=F(u(x)) называется сложной функцией от x. Равна y′ (x)=Fu′ ⋅ ux′.

Производная неявной функции. Функция y=f(x) называется неявной функцией, заданной соотношением F(x, y)=0, если F(x, f(x))≡ 0.

Производная обратной функции. Если g(f(x))=x, то функция g(x) называется обратной функцией для функции y=f(x). Производная параметрически заданной функции. Пусть x и y заданы как функции от переменной t: x=x(t), y=y(t). Говорят, что y=y(x) параметрически заданная функция на промежутке x∈ (a; b), если на этом промежутке уравнение x=x(t) можно выразить в виде t=t(x) и определить функцию y=y(t(x))=y(x).

Производная степенно-показательной функции. Находится путем логарифмирования по основанию натурального логарифма.

43)

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: