Касательная и нормаль к кривой

Определение

Касательная прямая - прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Определение

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой.

Если кривая определена уравнением , то уравнение касательной к ней в точке имеет вид:

а уравнение нормали:

45) 1. Неопределенность вида 0/0. Первое правило Лопиталя.

Если = 0, то , когда последний существует.

2. Неопределенность вида ∞ /∞. Второе правило Лопиталя.

Если = ∞, то , когда последний существует.

3. Неопределенности вида 0× ⋅ ∞, ∞ - ∞, 1^∞ и 0⁰ сводятся к неопределенностям 0/0 и ∞ /∞ путем алгебраических преобразований.

46) Общая схема исследования функций

и построения их графиков

При исследовании функций и построении их графиков целесообразно пользоваться следующей схемой.

1. Нахождение области определения функции.

2. Исследование функции на четность и нечетность.

3. Установление области непрерывности функции и точек разрыва. Отыскание вертикальных асимптот.

4. Исследование поведения функции при (если она там определена). Отыскание горизонтальных и наклонных асимптот.

5. Нахождение экстремумов и интервалов монотонности функции. Составление таблицы.

6. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции.

7. Нахождение точек пересечения графика функции с осями, интервалов знакопостоянства функции. Составление таблицы. Отыскание дополнительных точек для построения графика.

8. Построение графика функции.

47) Неопределенности типа

Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что

В этом случае говорят, что функция имеет неопределенность типа в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция содержит неопределенность , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю.
Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя.

Неопределенности типа

Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством

где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция имеет в точке a неопределенность типа . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени.

Неопределенности типа

Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа и .

 

48) Функция называется возрастающей (неубывающей ) на интервале если для любых таких, что значения функции и удовлетворяют неравенству ( ).

Функция называется убывающей ( невозрастающей ) на интервале если для любых таких, что значения функции и удовлетворяют неравенству
( ).

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции.

Из определения возрастающей функции следует, что если возрастает на , то на этом интервале приращение аргумента и соответствующее ему приращение функции будут иметь одинаковый знак.

Точка называется точкой максимума функции если существует такая -окрестность точки , что , . Значение функции в точке максимума называется максимумом функции.

Точка называется точкой минимума функции если существует такая -окрестность точки , что , . Значение функции в точке минимума называется минимумом функции.

Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума. Минимумы и максимумы функции называются ее экстремумами.

Выпуклость графика функции.

Точки перегиба графика

Определение 1. График функции y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a, b), если касательная к графику, проведенная в любой точке этого интервала, расположена над (под) графиком функции.

Выпуклый график, Вогнутый график

< 0. > 0.

Теорема 1. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции на некотором интервале отрицательна (положительна), то график функции на данном интервале выпуклый (вогнутый).

Верна и обратная теорема.

Определение 2. Точки, в которой график функции меняет направление выпуклости, называют точками перегиба графика функции.

Теорема 2. (необходимый признак точки перегиба). Если точка х₀ является точкой перегиба графика дважды дифференцируемой функции, то в этой точке вторая производная равна нулю: =0.

Определение 3. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками второй производной. Если функция имеет точки перегиба, то они могут быть только в критических точках.

Теорема 3 (достаточный признак точки перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через нее вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.

50) Виды асимптот Определение Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

Замечание. Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Определение Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно .

Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

Определение Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: