Теорема умножения вероятностей

Теорема. (Умножения вероятностей) Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

Также можно записать:

Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения условной вероятности.

Если события независимые, то, и теорема умножения вероятностей принимает вид:

В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились.

Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события.

Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна

Здесь событие А обозначает наступление хотя бы одного из событий A_i, а q_i – вероятность противоположных событий.

Условной вероятностью события при условии, что произошло событие , называется число

Условная вероятность определена только в случае, когда .

62) Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Определение 1. События А и В называют совместными, ес­ли в одном и том же испытании появление одного из них не исключает появления другого.

Для таких событий справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 5. Вероятность суммы совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произве­дения:

Из формулы (17.12) получается ряд следующих частных случаев.

1. Для независимых событий с учетом формулы (17.7)

2. Для зависимых событий с учетом формулы (17.5)

3. Для несовместных событий Р(АВ) = 0, и в этом случае имеем подтверждение теоремы 17.1 и формулы (17.3):

63) виды случайных величин

Случайные величины можно разделить на две категории.
Определение. Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).
Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.
Например,

1. количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.

2. число детей, родившихся в течение суток в г. Москве

3. количество бракованных изделий в данной партии

Определение. Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

1. дальность полета артиллерийского снаряда

2. расход электроэнергии предприятием за месяц

3. время безотказной работы прибора

64 ) Задание дискретной случайной величины по определению равносильно заданию закона распределения случайной величины в следующем виде:

где

Следующее утверждение отражает связь между функцией распределения дискретной случайной величины и законом распределения случайной величины.

Утверждение 1: Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины взаимно однозначно определяют друг друга.

65) Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значенийна их вероятности: M(X) = x₁ p₁+ x₂ p₂+...+ x_n p_n.
Реально на основе данных выборки мы не можем вычислить M(X). Однако эту характеристику можно оценить. В качествеоценки можно использовать среднее арифметическое, то есть M(X) ≈  X. Чем больше объём выборки (число наблюдений), тем точнее эта оценка. Математическое ожидание обладает следующими свойствами:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C) = C.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX) = CM(X).
3. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M(X+Y+Z) = M(X)+M(Y)+M(Z).
4. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(X Y Z) = M(X) M(Y) M(Z). Все эти свойства имеют большое практическое значение.

66) Дисперсией дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D ( X ) = M ( X - M ( X )) ². Для вычислений удобнее пользоваться формулой:
D ( X ) = M ( X ² ) - ( M ( X )) ².
Дисперсия обладает следующими свойствами.
1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D ( C ) = 0.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D ( CX ) = C ²D ( X ).
3. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
D ( X+Y+Z ) = D ( X )+D ( Y )+D ( Z ).
4. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной - равна дисперсии случайной величины: D ( C+X ) = D ( X ).

67) характеристики непрерывных случайных величин

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a, b].

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называется определенный интеграл

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле: При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

Определение. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.

Определение. Модой М₀ дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум. Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным.

Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным.

Определение. Медианой M_D случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Определение. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Х^k.

Для дискретной случайной величины: .Для непрерывной случайной величины: .

Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию.

Определение. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины

Для дискретной случайной величины: .

Для непрерывной случайной величины: .

Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.

Определение. Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии.

 

Определение. Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом.

Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты: Абсолютный начальный момент: . Абсолютный центральный момент: .

Абсолютный центральный момент первого порядка называется средним арифметическим отклонением.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: