Нахождение наклонной асимптоты

Теорема (условиях существования наклонной асимптоты)

Если для функции существуют пределы и , то функция имеет наклонную асимптоту при .

Замечание Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при .

Замечание Если при нахождении горизонтальной асимптоты получается, что , то функция может иметь наклонную асимптоту.

Замечание Кривая может пересекать свою асимптоту, причем неоднократно.

51) Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i ² = –1. Число a называется абсциссой, a b – ординатойкомплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Основные договорённости:

1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a+ 0 i или a – 0 i. Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5.

2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi.

3. Два комплексных числа a+ bi и c+ di считаются равными, если a= c и b= d. В противном случае комплексные числа не равны.
52) Сложение. Суммой комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число ( a+ c ) + ( b+ d ) i. Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + ( b – d ) i.

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение. Произведением комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число:

( ac – bd ) + ( ad + bc ) i. Это определение вытекает из двух требований:

 

1) числа a+ bi и c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством: i ² = –1.

Деление. Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число e+ f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

Сравнение: означает, что и (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

Сложение:

Вычитание:

Умножение:

Деление:

В частности,:

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа в виде , , называется алгебраической формойкомплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел может быть вычислена непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, с учетом тождества .

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент , то комплексное число можно записать втригонометрической форме:

.

Также может быть полезна следующая форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

,

где — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Геометрическое представление

Если на плоскости по оси абсцисс расположить действительную часть, а по оси ординат — мнимую, то комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами и (или ее радиус-вектор, что то же самое), а модуль и аргумент будут полярными координатами этой точки.

В геометрическом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Отсюда, в частности, получается Формула Муавра.

Формула Муавра

Формула, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме:

,

где — модуль, а — аргумент комплексного числа.

54) Решение квадратных уравнений с комплексными числами
Запишем квадратное уравнение в общем виде: kx² + px + q = 0,
где k, p, q - действительные числа. Из курса элементарной математики известно, что если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня, а если D = 0, то один. Случай при D < 0 в элементарной математике не рассматривается, а просто делается вывод, что корней нет. Однако с использованием комплексных чисел можно доопределить множество решений квадратного трехчлена при D < 0. Если это так, то будем говорить, что уравнение имеет комплексные корни. При этом обозначают и корни находят по формуле

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: