Аналитическая геометрия и векторный анализ

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 14Следующая ⇒

Аналитическая геометрия

Прямая на плоскости

Пример: Даны координаты вершин треугольника АВС: А (-2; 7), В(10; -2), С(8; 12).

Найти:

1) Длину стороны АВ.

2) Внутренний угол А.

3) Уравнение медианы СМ.

4) Уравнение высоты СК

5) Точку F пересечения высот CK и BN.

6) Площадь треугольника
Решение

По координатам точек А, В, С построим

треугольник на плоскости XOY.

1)Что бы найти длину стороны АВ

воспользуемся формулой:

2) Для нахождения внутреннего угла А напишем уравнения сторон АВ и АС. Воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

АВ: ,

АС:

Угол между прямыми находим по формуле:

arc tg 2

3) Для нахождения уравнения медианы СМ, определим координаты точки М, как середины отрезка АВ:

Уравнение медианы:

Окончательно получим .

4) Для нахождения уравнения высоты СК воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении: , где (из условия перпендикулярности прямых).

5) Для нахождения координат точки пересечения высот (т.F) напишем уравнение высоты BN: , где .

Тогда , следовательно - уравнение BN.

Далее решим систему уравнений

- уравнение высоты СК

- уравнение высоты BN

x_F= 5 y_F= 8 т.е. F(5, 8).

6) Чтобы вычислить площадь треугольника предварительно найдем длину высоты СК как расстояние от точки С до прямой АВ по формуле:

Площадь треугольника АВС вычислим по формуле

S (кв.ед)

Задания для самостоятельной работы

1) А(-8; -3), В(4; -12), С(8; 10).

2) А(-5; 7), В(7; -2), С(11; 20).

3) А(-12; -1), В (0; -10), С (4; 12).

4) А (-10; 9), В (2; 0), С (6; 22).

5) А (0; 2), В (12; -7), С (16; 15).

6) А(-9; 6), В (3; -3), С (17; 19).

7) А(1; 0), В(13; -9), С(17; 16).

8) А (-4; 10), В(8; 1), С (12; 23).

9) А(2; 5), В(14; -4), С18; 18).

10) А(-1; 4), В(11; -5), С(15; 17).

Кривые второго порядка

Пример 1. Найти центр и радиус окружности 2x²+ 2y²+8x - 12y - 6 = 0. Определить количество пересечений с осями координат.

Решение. Приведем исходное уравнение к нормальному виду. Для этого поделим правую и левую части на 2 и сгруппируем переменные

( x²+ 4x ) + ( y²- 6y )- 3 = 0.

Затем дополним выражения в скобках до полных квадратов

( x²+ 4x + 4 ) - 4 + ( y²- 6y + 9) - 9- 3 = 0.

Свернув выражения в скобках и собрав свободные члены, получим

( x²+ 2 )² + ( y²- 3)² = 16.

Следовательно, центр окружности О(x₀, y₀) находится точке О(-2; 3), радиус равен R = 4.

Так как радиус окружности больше расстояний от центра до осей координат, т.е. R> |x₀|, R> |y₀| или R> |-2|, R> |3|, то окружность «достает» до обеих осей и, следовательно, имеет четыре точки пересечения.

Пример 2. Написать каноническое уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат, если расстояние между фокусами F₁F₂ = 6, а эксцентриситет = 3/5.

Решение. Значение с найдем как половину расстояния между фокусами

с = 6/2 = 3.

Так как эксцентриситет = c/a, имеем

3/5 = 3/a или 3a = 15, a = 5

Далее обе части выражения возведем в квадрат.

В итоге получим c²= a²– b², откуда 9 = 25 - b²или b²= 16.

Окончательно запишем .

Пример 3. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(10; 0) и до данной прямой х = 2, 5 равно числу 2. Полученное уравнение привести к каноническому виду и затем построить кривую.

Решение. Пусть точка М(х, у) лежит на искомой линии, точка B на прямой. По условию задачи .

Подставим в это соотношение координаты точек. Будем иметь:

Разделив обе части данного уравнения на 75, приведём его к каноническому виду:

Получили уравнение гиперболы, написанное в каноническом виде, где вещественная полуось a = 5, а мнимая полуось

Задания для самостоятельной работы

1. Найти центр и радиус окружности, определить количество пересечений с осями координат и расстояние от центра окружности до данной точки М(х, у), если окружность задана уравнением:

1) x²+ y²- 4x - 8y -11 = 0; M(-3; 2).

2) 2x²+ 2y² + 12x - 8y - 6 = 0; M(0; -2).

3) x²+ y²- 10x + 6y - 2 = 0; M(4; - 4).

4) 3x²+ 3y² + 6x - 72 = 0; M(1; 3).

2. Написать каноническое уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат, если известно расстояние между фокусами F₁F₂ и эксцентриситет :

1) F₁F₂ = 2 , = 1/2.

2) F₁F₂ = 2 , = 1/3.

4. Написать каноническое уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат, если известна большая полуось а и эксцентриситет :

1) а = , = .

2) а = , = .

5. Составить уравнения геометрического места точек, отношения расстояний которых до данной точки А(x, y) и до данной прямой x=a равно числу h. Полученное уравнение привести к каноническому виду. Затем построить кривую.

1) A(-8; 0), x = -9, h = ;

2) A(-6; 0), x = -8, h = ;

3) A(-4; 0), x = -1, h = 2;

4) A(-3; 0), x = -4/3, h = 1, 5;

5) A(-2; 0), x = 2, 5, h = 1;

6) A(2; 0), x = 4, 5, h = 2/3;

7) A(3; 0), x = 4/3, h = 1, 5;

8) A(4; 0), x = 5, h = 1;

9) A(6; 0), x = 1, 5, h = 2.

Форма контроля: Проверка решений задач и заданий

Векторный анализ

Вектор в декартовой системе координат

Пример 1.

Даны векторы . Показать, что векторы и образуют базис на плоскости и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Если два вектора неколлинеарны ( ), то они образуют базис на плоскости. Так как , то векторы и неколлинеарны и, значит, образуют базис. Пусть в этом базисе вектор имеет координаты , тогда разложение вектора по векторам и имеет вид , или в координатной форме