Сложные ставки ссудных процентов

 

Обозначения:

i_с – годовая ставка сложных ссудных процентов;

PV – первоначальная сумма денег, которую получает заемщик

FV_n – наращенная сумма, которая должна быть возвращена кредитору через n лет;

FV_d - наращенная сумма, которая должна быть возвращена кредитору через d дней.

I – сумма процентных денег, выплачиваемых за весь период начисления;

n – период начисления в годах

m – количество интервалов начисления в одном году;

j – номинальная ставка сложных ссудных процентов

При использовании схемы сложных ссудных процентов база начисления на каждом интервале начисления включает не только первоначальную сумму PV, но и сумму процентных денег (I), невостребованных кредитором по прошествии соответствующего интервала начисления. Т.е. база начисления сложных процентов постоянно возрастает.

Рассмотрим, каким образом происходит начисления процентов в случае, когда интервалом начисления процентов является один год.

Наращенная сумма за первый год начисления процентов по схеме сложных ссудных процентов FV₁ рассчитывается по следующеё формуле:

FV₁ = PV + I = PV + PV х i_c = PV (1 + i_c)

Во втором году к базе начисления в размере первоначальной сумме PV прибавится сумма процентных денег за год I. Таким образом, базой начисления процентов во втором году будет наращенная сумма первого года FV₁:

FV₂ = FV₁ + FV₁ х i_с = PV (1 + i_c) + PV (1 + i_c) х i_с = PV (1 + i_c)(1 + i_c) = PV (1 + i_c)²

 

В третьем году базой начисления процентов будет выступать наращенная сумма второго года FV₂:

FV₃ = FV₂ + FV₂ х i_с = PV (1 + i_c)² + PV (1 + i_c)² х i_с = PV (1 + i_c)²(1 + i_c) = PV (1 + i_c)³

 

Соответственно в n-ом году базой начисления процентов будет выступать наращенная сумма предыдущего года FV_n-1:

FV_n-1 = FV_n-1 + FV_n-1 х i_с = PV (1 + i_c)^n-1 + PV (1 + i_c)^n-1 х i_с = PV (1 + i_c)^n-1(1 + i_c) = PV (1 + i_c)ⁿ

FVn = PV (1 + ic)n

Итоговая формула расчета наращенной суммы за период в n лет будет выглядеть следующим образом

 

 

Начисление сложных процентов может осуществляться несколько раз в году. В этом случае устанавливается величина годовой процентной ставки (j – номинальная ставка процентов), по которой определяется величина ставки процентов, применяемой на каждом интервале начисления внутри года.

Если число интервалов начисления внутри года равно m, то на каждом интервале начисления величина ставки процентов составит j/m. Таким образом, при сроке ссуды n лет общее число интервалов начисления составит m х n.

Итоговая формула расчета наращенной суммы за период в n лет, если проценты начисляются m раз в году, будет выглядеть следующим образом

	FVn = PV (1 + j/m) mn

 

Коэффициент наращения за n лет, при использовании схемы сложных ссудных процентов рассчитывается по формуле

FV_n (1 + i_c)ⁿ

К_н = -------- = ---------------

PV PV

Сфера применения сложных учетных ставок процентов: большинство финансовых операций, связанных в предоставлением денег в долг. Данная схема является наиболее распространенной в настоящее время.

 

Сложные учетные ставки процентов

 

Обозначения:

d_с – ставка сложных учетных процентов;

D – сумма дисконта за весь период;

PV – первоначальная сумма, которую получает на руки заемщик;

FV_n – наращенная сумма, которая должна быть возвращена кредитору через n лет;

При использовании схемы сложных учетных процентов база начисления (наращенная сумма FV_n) будет ежегодно уменьшаться на сумму начисленного дисконта D.

Рассмотрим, каким образом происходит начисления процентов в случае, когда интервалом начисления процентов является один год.

Наращенная сумма за первый год начисления процентов по схеме сложных ссудных процентов FV₁ рассчитывается по следующеё формуле:

PV

FV₁ = -------, т.к. PV = FV – D = FV – FV х d_c = FV (1 - d_c)

1 - d_c

Во втором году база начисления в размере сумме FV уменьшится на сумму дисконта, начисленного за первый год D. Таким образом, базой начисления процентов во втором году будет сумма FV (1 - d_c):

PV

FV₂ = (--------),

(1 – d_c)²

т.к. PV = FV (1 - d_c) – FV (1 - d_c) х d_c = FV (1 - d_c)(1 - d_c) = FV (1 - d_c)²

Во втором году база начисления в размере сумме FV (1 - d_c) уменьшится на сумму дисконта, начисленного за второй год D. Таким образом, базой начисления процентов во втором году будет сумма FV (1 - d_c)²:

PV

FV₃ = (--------),

(1 – d_c)³

т.к. PV = FV (1 - d_c)² – FV (1 - d_c)² х d_c = FV (1 - d_c)²(1 - d_c) = FV (1 - d_c)³

Соответственно в n-ом году базой начисления процентов будет выступать сумма FV, уменьшенная на сумму дисконта предыдущего года FV(1 - d_c)^n-1:

PV

FV_n = (--------),

(1 – d_c)ⁿ

т.к. PV = FV (1 - d_c)^n-1 – FV (1 - d_c)^n-1 х d_c = FV (1 - d_c)^n-1(1 - d_c) = FV (1 - d_c)ⁿ

PV FVn = ---------- (1 – dc)n

Итоговая формула расчета наращенной суммы за период в n лет будет выглядеть следующим образом

 

Учет инфляции при принятии финансовых решений

 

Инфляция характеризуется обесценением национальной валюты (снижением ее покупательной способности). Влияние инфляции сказывается на различных аспектах деятельности предприятия:

1) относительное снижение стоимости материальных активов;

2) занижение себестоимости производства продукции;

3) падение реального уровня доходности предприятия;

4) снижение покупательной способности населения, что сказывается на доходности предприятия.

Учет фактора инфляции в управлении различными аспектами деятельности предприятия заключается в необходимости реального отражения стоимости его активов и денежных потоков, а также в возмещении потерянных доходов, вызванных инфляционными процессами при осуществлении финансовых операций.

S_a - сумма, покупательная способность которой с учетом инфляции равна покупательной способности суммы S при отсутствии инфляции.

D S = S_a - S - изменение покупательной способности денег в абсолютном выражении.

D S

a = ------------ - темп инфляции.

S

a – показатель, характеризующий снижение покупательной способности денег в определенном периоде. Он выражается отношением прироста среднего уровня цен к их базовому уровню на начало периода. Это показатель уровня инфляции.

I_инфл. = (1 + a)ⁿ – это величина, показывающая, во сколько раз в среднем выросли цены за период времени n, если годовой уровень инфляции равен a.

В условиях инфляции первоначальная сумма (PV) должна превратиться в наращенную сумму FV_a, учитывающую инфляцию.

Обозначения:

i_a – ставка простого ссудного процента, учитывающая инфляцию;

i_sa – ставка сложного ссудного процента, учитывающая инфляцию;

d_a – ставка простого учетного процента, учитывающая инфляцию;

j_a – номинальная ставка процента, учитывающая инфляцию.

Учесть сумму инфляционного обесценения денег при расчете наращенной суммы возможно путем умножения наращенной суммы без учета инфляции на индекс инфляции, либо при помощи использования процентных ставок, скорректированных на инфляцию.

Приведем формулы для расчета наращенной суммы, учитывающей инфляцию, а для разных схем начисления

1.Простые ссудные проценты

FV_a = FV_a (1 + i х n) I_{инфляции} или FV_a = FV_a (1 + i_a х n)

2. Простые учетные проценты

	PV PV FVa = ------------- х IинфляцииилиFVa = ----------------- (1 – d х n) (1 – da х n)

 

 

3.Сложные ссудные проценты

FV_a = PV (1 + i_c)ⁿ Iинфляции или FV_a = PV (1 + i_ca)ⁿ

FV_a = PV (1 + j/m)^mn*Iинф или PV (1 + j_a/m)^mn

 

4. Сложные учетные ставки

	PV PV FVa = ------------- х IинфляцииилиFVa = ----------------- (1 – dс)n (1 – dca)n

 

Приведем формулы для расчета процентных ставок, учитывающих инфляцию, для разных схем начисления.

1.Простые ссудные проценты

	(1 + n х i) х Iинф. - 1 ia = --------------------------- n

 

 

2.Простые учетные проценты

	Iинф. - 1 + n х d da = ---------------------- Iинф. х n

 

3.Сложные ссудные проценты

i_ca = (1 + i_c) ⁿÖ I_инф. – 1

j_a = m[(1 + j/m) ^mnÖ I_инф. – 1 ]

4. Сложные учетные ставки

	1 – dc dca = 1 - ---------- nÖ Iнф.

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: